Theorem mopnset 14829

Description: Getting a set by applying MetOpen. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mopnset	⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (MetOpen‘𝐷) ∈ V)

Proof of Theorem mopnset

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blfn 14828	. . . . . 6 ⊢ ball Fn V
2		vex 2818	. . . . . 6 ⊢ 𝑑 ∈ V
3		funfvex 5692	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun ball ∧ 𝑑 ∈ dom ball) → (ball‘𝑑) ∈ V)
4	3	funfni 5463	. . . . . 6 ⊢ ((ball Fn V ∧ 𝑑 ∈ V) → (ball‘𝑑) ∈ V)
5	1, 2, 4	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (ball‘𝑑) ∈ V
6	5	rnex 5030	. . . 4 ⊢ ran (ball‘𝑑) ∈ V
7		tgvalex 13563	. . . 4 ⊢ (ran (ball‘𝑑) ∈ V → (topGen‘ran (ball‘𝑑)) ∈ V)
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (ball‘𝑑)) ∈ V
9	8	ax-gen 1498	. 2 ⊢ ∀𝑑(topGen‘ran (ball‘𝑑)) ∈ V
10		df-mopn 14824	. . 3 ⊢ MetOpen = (𝑑 ∈ ∪ ran ∞Met ↦ (topGen‘ran (ball‘𝑑)))
11	10	mptfvex 5768	. 2 ⊢ ((∀𝑑(topGen‘ran (ball‘𝑑)) ∈ V ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (MetOpen‘𝐷) ∈ V)
12	9, 11	mpan 424	1 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (MetOpen‘𝐷) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1396   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815  ∪ cuni 3919  ran crn 4755   Fn wfn 5352  ‘cfv 5357  topGenctg 13554  ∞Metcxmet 14813  ballcbl 14815  MetOpencmopn 14818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-topgen 13560  df-bl 14823  df-mopn 14824

This theorem is referenced by:  cntopex  14831