Theorem mopnset 14051

Description: Getting a set by applying MetOpen. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mopnset	⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (MetOpen‘𝐷) ∈ V)

Proof of Theorem mopnset

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blfn 14050	. . . . . 6 ⊢ ball Fn V
2		vex 2763	. . . . . 6 ⊢ 𝑑 ∈ V
3		funfvex 5572	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun ball ∧ 𝑑 ∈ dom ball) → (ball‘𝑑) ∈ V)
4	3	funfni 5355	. . . . . 6 ⊢ ((ball Fn V ∧ 𝑑 ∈ V) → (ball‘𝑑) ∈ V)
5	1, 2, 4	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (ball‘𝑑) ∈ V
6	5	rnex 4930	. . . 4 ⊢ ran (ball‘𝑑) ∈ V
7		tgvalex 12877	. . . 4 ⊢ (ran (ball‘𝑑) ∈ V → (topGen‘ran (ball‘𝑑)) ∈ V)
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (ball‘𝑑)) ∈ V
9	8	ax-gen 1460	. 2 ⊢ ∀𝑑(topGen‘ran (ball‘𝑑)) ∈ V
10		df-mopn 14046	. . 3 ⊢ MetOpen = (𝑑 ∈ ∪ ran ∞Met ↦ (topGen‘ran (ball‘𝑑)))
11	10	mptfvex 5644	. 2 ⊢ ((∀𝑑(topGen‘ran (ball‘𝑑)) ∈ V ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (MetOpen‘𝐷) ∈ V)
12	9, 11	mpan 424	1 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (MetOpen‘𝐷) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1362   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  ∪ cuni 3836  ran crn 4661   Fn wfn 5250  ‘cfv 5255  topGenctg 12868  ∞Metcxmet 14035  ballcbl 14037  MetOpencmopn 14040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-topgen 12874  df-bl 14045  df-mopn 14046

This theorem is referenced by:  cntopex  14053