Theorem mopnset 14687

Description: Getting a set by applying MetOpen. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mopnset	⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (MetOpen‘𝐷) ∈ V)

Proof of Theorem mopnset

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blfn 14686	. . . . . 6 ⊢ ball Fn V
2		vex 2815	. . . . . 6 ⊢ 𝑑 ∈ V
3		funfvex 5686	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun ball ∧ 𝑑 ∈ dom ball) → (ball‘𝑑) ∈ V)
4	3	funfni 5457	. . . . . 6 ⊢ ((ball Fn V ∧ 𝑑 ∈ V) → (ball‘𝑑) ∈ V)
5	1, 2, 4	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (ball‘𝑑) ∈ V
6	5	rnex 5024	. . . 4 ⊢ ran (ball‘𝑑) ∈ V
7		tgvalex 13465	. . . 4 ⊢ (ran (ball‘𝑑) ∈ V → (topGen‘ran (ball‘𝑑)) ∈ V)
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (ball‘𝑑)) ∈ V
9	8	ax-gen 1498	. 2 ⊢ ∀𝑑(topGen‘ran (ball‘𝑑)) ∈ V
10		df-mopn 14682	. . 3 ⊢ MetOpen = (𝑑 ∈ ∪ ran ∞Met ↦ (topGen‘ran (ball‘𝑑)))
11	10	mptfvex 5762	. 2 ⊢ ((∀𝑑(topGen‘ran (ball‘𝑑)) ∈ V ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (MetOpen‘𝐷) ∈ V)
12	9, 11	mpan 424	1 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (MetOpen‘𝐷) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1396   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812  ∪ cuni 3913  ran crn 4749   Fn wfn 5346  ‘cfv 5351  topGenctg 13456  ∞Metcxmet 14671  ballcbl 14673  MetOpencmopn 14676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-topgen 13462  df-bl 14681  df-mopn 14682

This theorem is referenced by:  cntopex  14689