Theorem psmetf 14645

Description: The distance function of a pseudometric as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
psmetf	|- ( D e. (PsMet ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )

Proof of Theorem psmetf

Dummy variables a b c w v x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-psmet 14175	. . . . 5 |- PsMet = ( x e. _V |-> { v e. ( RR* ^m ( x X. x ) ) | A. y e. x ( ( y v y ) = 0 /\ A. z e. x A. w e. x ( y v z ) <_ ( ( w v y ) +e ( w v z ) ) ) } )
2	1	mptrcl 5647	. . . 4 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> X e. _V )
3		ispsmet 14643	. . . 4 |- ( X e. _V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. a e. X ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) ) )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. a e. X ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) ) )
5	4	ibi 176	. 2 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. a e. X ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) )
6	5	simpld 112	1 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   {crab 2479   _Vcvv 2763   class class class wbr 4034   X. cxp 4662   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   ^m cmap 6716   0cc0 7896   RR*cxr 8077   <_ cle 8079   +ecxad 9862  PsMetcpsmet 14167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-map 6718  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-psmet 14175

This theorem is referenced by:  psmetcl  14646  psmetxrge0  14652  psmetres2  14653  distspace  14655