Theorem psmetf 14797

Description: The distance function of a pseudometric as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
psmetf	|- ( D e. (PsMet ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )

Proof of Theorem psmetf

Dummy variables a b c w v x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-psmet 14305	. . . . 5 |- PsMet = ( x e. _V |-> { v e. ( RR* ^m ( x X. x ) ) | A. y e. x ( ( y v y ) = 0 /\ A. z e. x A. w e. x ( y v z ) <_ ( ( w v y ) +e ( w v z ) ) ) } )
2	1	mptrcl 5662	. . . 4 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> X e. _V )
3		ispsmet 14795	. . . 4 |- ( X e. _V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. a e. X ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) ) )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. a e. X ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) ) )
5	4	ibi 176	. 2 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. a e. X ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) )
6	5	simpld 112	1 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   {crab 2488   _Vcvv 2772   class class class wbr 4044   X. cxp 4673   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   ^m cmap 6735   0cc0 7925   RR*cxr 8106   <_ cle 8108   +ecxad 9892  PsMetcpsmet 14297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-map 6737  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-psmet 14305

This theorem is referenced by:  psmetcl  14798  psmetxrge0  14804  psmetres2  14805  distspace  14807