Theorem fvmpt2 5662

Description: Value of a function given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmpt2.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fvmpt2	|- ( ( x e. A /\ B e. C ) -> ( F ` x ) = B )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   F( x)

Proof of Theorem fvmpt2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1 3095	. . 3 |- ( y = x -> [_ y / x ]_ B = [_ x / x ]_ B )
2		csbid 3100	. . 3 |- [_ x / x ]_ B = B
3	1, 2	eqtrdi 2253	. 2 |- ( y = x -> [_ y / x ]_ B = B )
4		fvmpt2.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
5		nfcv 2347	. . . 4 |- F/_ y B
6		nfcsb1v 3125	. . . 4 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
7		csbeq1a 3101	. . . 4 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
8	5, 6, 7	cbvmpt 4138	. . 3 |- ( x e. A |-> B ) = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
9	4, 8	eqtri 2225	. 2 |- F = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
10	3, 9	fvmptg 5654	1 |- ( ( x e. A /\ B e. C ) -> ( F ` x ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1372   e. wcel 2175   [_csb 3092   |-> cmpt 4104   ` cfv 5270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278

This theorem is referenced by:  fvmptssdm  5663  fvmpt2d  5665  fvmptdf  5666  mpteqb  5669  fvmptt  5670  fvmptf  5671  fnmptfvd  5683  ralrnmpt  5721  rexrnmpt  5722  fmptco  5745  f1mpt  5839  offval2  6173  ofrfval2  6174  mptelixpg  6820  dom2lem  6862  mapxpen  6944  xpmapenlem  6945  mkvprop  7259  cc2lem  7377  cc3  7379  fsum3cvg  11631  summodclem2a  11634  fsumf1o  11643  fsum3cvg2  11647  fsumadd  11659  isummulc2  11679  fproddccvg  11825  fprodf1o  11841  prdsbas3  13061  txcnp  14685  cnmpt11  14697  cnmpt1t  14699  elplyd  15155  dvply1  15179  lgseisenlem2  15490