Theorem fvmpt2 5761

Description: Value of a function given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmpt2.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fvmpt2	|- ( ( x e. A /\ B e. C ) -> ( F ` x ) = B )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   F( x)

Proof of Theorem fvmpt2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1 3141	. . 3 |- ( y = x -> [_ y / x ]_ B = [_ x / x ]_ B )
2		csbid 3146	. . 3 |- [_ x / x ]_ B = B
3	1, 2	eqtrdi 2281	. 2 |- ( y = x -> [_ y / x ]_ B = B )
4		fvmpt2.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
5		nfcv 2384	. . . 4 |- F/_ y B
6		nfcsb1v 3171	. . . 4 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
7		csbeq1a 3147	. . . 4 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
8	5, 6, 7	cbvmpt 4205	. . 3 |- ( x e. A |-> B ) = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
9	4, 8	eqtri 2253	. 2 |- F = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
10	3, 9	fvmptg 5753	1 |- ( ( x e. A /\ B e. C ) -> ( F ` x ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   [_csb 3138   |-> cmpt 4171   ` cfv 5352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360

This theorem is referenced by:  fvmptssdm  5762  fvmpt2d  5764  fvmptdf  5765  mpteqb  5768  fvmptt  5769  fvmptf  5770  fnmptfvd  5782  ralrnmpt  5819  rexrnmpt  5820  fmptco  5843  f1mpt  5944  offval2  6282  ofrfval2  6283  mptelixpg  6969  dom2lem  7011  mapxpen  7101  xpmapenlem  7102  mkvprop  7449  cc2lem  7580  cc3  7582  fsum3cvg  12064  summodclem2a  12067  fsumf1o  12076  fsum3cvg2  12080  fsumadd  12092  isummulc2  12112  fproddccvg  12258  fprodf1o  12274  prdsbas3  13500  txcnp  15136  cnmpt11  15148  cnmpt1t  15150  elplyd  15606  dvply1  15630  lgseisenlem2  15944