Theorem fvmpt2 5739

Description: Value of a function given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmpt2.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fvmpt2	|- ( ( x e. A /\ B e. C ) -> ( F ` x ) = B )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   F( x)

Proof of Theorem fvmpt2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1 3131	. . 3 |- ( y = x -> [_ y / x ]_ B = [_ x / x ]_ B )
2		csbid 3136	. . 3 |- [_ x / x ]_ B = B
3	1, 2	eqtrdi 2280	. 2 |- ( y = x -> [_ y / x ]_ B = B )
4		fvmpt2.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
5		nfcv 2375	. . . 4 |- F/_ y B
6		nfcsb1v 3161	. . . 4 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
7		csbeq1a 3137	. . . 4 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
8	5, 6, 7	cbvmpt 4189	. . 3 |- ( x e. A |-> B ) = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
9	4, 8	eqtri 2252	. 2 |- F = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
10	3, 9	fvmptg 5731	1 |- ( ( x e. A /\ B e. C ) -> ( F ` x ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   [_csb 3128   |-> cmpt 4155   ` cfv 5333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341

This theorem is referenced by:  fvmptssdm  5740  fvmpt2d  5742  fvmptdf  5743  mpteqb  5746  fvmptt  5747  fvmptf  5748  fnmptfvd  5760  ralrnmpt  5797  rexrnmpt  5798  fmptco  5821  f1mpt  5922  offval2  6260  ofrfval2  6261  mptelixpg  6946  dom2lem  6988  mapxpen  7077  xpmapenlem  7078  mkvprop  7400  cc2lem  7528  cc3  7530  fsum3cvg  12002  summodclem2a  12005  fsumf1o  12014  fsum3cvg2  12018  fsumadd  12030  isummulc2  12050  fproddccvg  12196  fprodf1o  12212  prdsbas3  13433  txcnp  15065  cnmpt11  15077  cnmpt1t  15079  elplyd  15535  dvply1  15559  lgseisenlem2  15873