Theorem fvmpt2 5789

Description: Value of a function given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmpt2.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fvmpt2	|- ( ( x e. A /\ B e. C ) -> ( F ` x ) = B )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   F( x)

Proof of Theorem fvmpt2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1 3150	. . 3 |- ( y = x -> [_ y / x ]_ B = [_ x / x ]_ B )
2		csbid 3155	. . 3 |- [_ x / x ]_ B = B
3	1, 2	eqtrdi 2287	. 2 |- ( y = x -> [_ y / x ]_ B = B )
4		fvmpt2.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
5		nfcv 2392	. . . 4 |- F/_ y B
6		nfcsb1v 3180	. . . 4 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
7		csbeq1a 3156	. . . 4 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
8	5, 6, 7	cbvmpt 4226	. . 3 |- ( x e. A |-> B ) = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
9	4, 8	eqtri 2259	. 2 |- F = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
10	3, 9	fvmptg 5781	1 |- ( ( x e. A /\ B e. C ) -> ( F ` x ) = B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   [_csb 3147   |-> cmpt 4192   ` cfv 5377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385

This theorem is used by:  fvmptssdm  5790  fvmpt2d  5792  fvmptdf  5793  mpteqb  5796  fvmptt  5797  fvmptf  5798  fnmptfvd  5813  ralrnmpt  5850  rexrnmpt  5851  fmptco  5874  f1mpt  5977  offval2  6318  ofrfval2  6319  mptelixpg  7016  dom2lem  7058  mapxpen  7148  xpmapenlem  7149  mkvprop  7498  cc2lem  7632  cc3  7634  fsum3cvg  12145  summodclem2a  12148  fsumf1o  12157  fsum3cvg2  12161  fsumadd  12173  isummulc2  12193  fproddccvg  12339  fprodf1o  12355  prdsbas3  14187  txcnp  15372  cnmpt11  15384  cnmpt1t  15386  elplyd  15842  dvply1  15866  lgseisenlem2  16190