Theorem fvmpt2 5766

Description: Value of a function given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmpt2.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fvmpt2	|- ( ( x e. A /\ B e. C ) -> ( F ` x ) = B )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   F( x)

Proof of Theorem fvmpt2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1 3144	. . 3 |- ( y = x -> [_ y / x ]_ B = [_ x / x ]_ B )
2		csbid 3149	. . 3 |- [_ x / x ]_ B = B
3	1, 2	eqtrdi 2283	. 2 |- ( y = x -> [_ y / x ]_ B = B )
4		fvmpt2.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
5		nfcv 2386	. . . 4 |- F/_ y B
6		nfcsb1v 3174	. . . 4 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
7		csbeq1a 3150	. . . 4 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
8	5, 6, 7	cbvmpt 4210	. . 3 |- ( x e. A |-> B ) = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
9	4, 8	eqtri 2255	. 2 |- F = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
10	3, 9	fvmptg 5758	1 |- ( ( x e. A /\ B e. C ) -> ( F ` x ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   [_csb 3141   |-> cmpt 4176   ` cfv 5357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365

This theorem is referenced by:  fvmptssdm  5767  fvmpt2d  5769  fvmptdf  5770  mpteqb  5773  fvmptt  5774  fvmptf  5775  fnmptfvd  5787  ralrnmpt  5824  rexrnmpt  5825  fmptco  5848  f1mpt  5950  offval2  6291  ofrfval2  6292  mptelixpg  6982  dom2lem  7024  mapxpen  7114  xpmapenlem  7115  mkvprop  7462  cc2lem  7596  cc3  7598  fsum3cvg  12089  summodclem2a  12092  fsumf1o  12101  fsum3cvg2  12105  fsumadd  12117  isummulc2  12137  fproddccvg  12283  fprodf1o  12299  prdsbas3  14129  txcnp  15262  cnmpt11  15274  cnmpt1t  15276  elplyd  15732  dvply1  15756  lgseisenlem2  16070