Theorem fvmpt2 5596

Description: Value of a function given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmpt2.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fvmpt2	|- ( ( x e. A /\ B e. C ) -> ( F ` x ) = B )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   F( x)

Proof of Theorem fvmpt2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1 3060	. . 3 |- ( y = x -> [_ y / x ]_ B = [_ x / x ]_ B )
2		csbid 3065	. . 3 |- [_ x / x ]_ B = B
3	1, 2	eqtrdi 2226	. 2 |- ( y = x -> [_ y / x ]_ B = B )
4		fvmpt2.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
5		nfcv 2319	. . . 4 |- F/_ y B
6		nfcsb1v 3090	. . . 4 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
7		csbeq1a 3066	. . . 4 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
8	5, 6, 7	cbvmpt 4096	. . 3 |- ( x e. A |-> B ) = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
9	4, 8	eqtri 2198	. 2 |- F = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
10	3, 9	fvmptg 5589	1 |- ( ( x e. A /\ B e. C ) -> ( F ` x ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   [_csb 3057   |-> cmpt 4062   ` cfv 5213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-id 4291  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fv 5221

This theorem is referenced by:  fvmptssdm  5597  fvmpt2d  5599  fvmptdf  5600  mpteqb  5603  fvmptt  5604  fvmptf  5605  fnmptfvd  5617  ralrnmpt  5655  rexrnmpt  5656  fmptco  5679  f1mpt  5767  offval2  6093  ofrfval2  6094  mptelixpg  6729  dom2lem  6767  mapxpen  6843  xpmapenlem  6844  mkvprop  7151  cc2lem  7260  cc3  7262  fsum3cvg  11377  summodclem2a  11380  fsumf1o  11389  fsum3cvg2  11393  fsumadd  11405  isummulc2  11425  fproddccvg  11571  fprodf1o  11587  txcnp  13553  cnmpt11  13565  cnmpt1t  13567