Theorem fvmpt2 5792

Description: Value of a function given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmpt2.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fvmpt2	|- ( ( x e. A /\ B e. C ) -> ( F ` x ) = B )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   F( x)

Proof of Theorem fvmpt2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1 3150	. . 3 |- ( y = x -> [_ y / x ]_ B = [_ x / x ]_ B )
2		csbid 3155	. . 3 |- [_ x / x ]_ B = B
3	1, 2	eqtrdi 2287	. 2 |- ( y = x -> [_ y / x ]_ B = B )
4		fvmpt2.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
5		nfcv 2392	. . . 4 |- F/_ y B
6		nfcsb1v 3180	. . . 4 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
7		csbeq1a 3156	. . . 4 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
8	5, 6, 7	cbvmpt 4228	. . 3 |- ( x e. A |-> B ) = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
9	4, 8	eqtri 2259	. 2 |- F = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
10	3, 9	fvmptg 5784	1 |- ( ( x e. A /\ B e. C ) -> ( F ` x ) = B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   [_csb 3147   |-> cmpt 4193   ` cfv 5380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388

This theorem is used by:  fvmptssdm  5793  fvmpt2d  5795  fvmptdf  5796  mpteqb  5799  fvmptt  5800  fvmptf  5801  fnmptfvd  5816  ralrnmpt  5853  rexrnmpt  5854  fmptco  5877  f1mpt  5980  offval2  6322  ofrfval2  6323  mptelixpg  7020  dom2lem  7062  mapxpen  7152  xpmapenlem  7153  mkvprop  7504  cc2lem  7638  cc3  7640  fsum3cvg  12170  summodclem2a  12173  fsumf1o  12182  fsum3cvg2  12186  fsumadd  12198  isummulc2  12218  fproddccvg  12364  fprodf1o  12380  prdsbas3  14294  txcnp  15497  cnmpt11  15509  cnmpt1t  15511  elplyd  15967  dvply1  15991  lgseisenlem2  16395