Theorem fvmpt2 5730

Description: Value of a function given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmpt2.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fvmpt2	|- ( ( x e. A /\ B e. C ) -> ( F ` x ) = B )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   F( x)

Proof of Theorem fvmpt2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1 3130	. . 3 |- ( y = x -> [_ y / x ]_ B = [_ x / x ]_ B )
2		csbid 3135	. . 3 |- [_ x / x ]_ B = B
3	1, 2	eqtrdi 2280	. 2 |- ( y = x -> [_ y / x ]_ B = B )
4		fvmpt2.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
5		nfcv 2374	. . . 4 |- F/_ y B
6		nfcsb1v 3160	. . . 4 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
7		csbeq1a 3136	. . . 4 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
8	5, 6, 7	cbvmpt 4184	. . 3 |- ( x e. A |-> B ) = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
9	4, 8	eqtri 2252	. 2 |- F = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
10	3, 9	fvmptg 5722	1 |- ( ( x e. A /\ B e. C ) -> ( F ` x ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   [_csb 3127   |-> cmpt 4150   ` cfv 5326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334

This theorem is referenced by:  fvmptssdm  5731  fvmpt2d  5733  fvmptdf  5734  mpteqb  5737  fvmptt  5738  fvmptf  5739  fnmptfvd  5751  ralrnmpt  5789  rexrnmpt  5790  fmptco  5813  f1mpt  5911  offval2  6250  ofrfval2  6251  mptelixpg  6902  dom2lem  6944  mapxpen  7033  xpmapenlem  7034  mkvprop  7356  cc2lem  7484  cc3  7486  fsum3cvg  11938  summodclem2a  11941  fsumf1o  11950  fsum3cvg2  11954  fsumadd  11966  isummulc2  11986  fproddccvg  12132  fprodf1o  12148  prdsbas3  13369  txcnp  14994  cnmpt11  15006  cnmpt1t  15008  elplyd  15464  dvply1  15488  lgseisenlem2  15799