Theorem fvmpt2 5783

Description: Value of a function given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmpt2.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fvmpt2	|- ( ( x e. A /\ B e. C ) -> ( F ` x ) = B )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   F( x)

Proof of Theorem fvmpt2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1 3150	. . 3 |- ( y = x -> [_ y / x ]_ B = [_ x / x ]_ B )
2		csbid 3155	. . 3 |- [_ x / x ]_ B = B
3	1, 2	eqtrdi 2287	. 2 |- ( y = x -> [_ y / x ]_ B = B )
4		fvmpt2.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
5		nfcv 2392	. . . 4 |- F/_ y B
6		nfcsb1v 3180	. . . 4 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
7		csbeq1a 3156	. . . 4 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
8	5, 6, 7	cbvmpt 4221	. . 3 |- ( x e. A |-> B ) = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
9	4, 8	eqtri 2259	. 2 |- F = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
10	3, 9	fvmptg 5775	1 |- ( ( x e. A /\ B e. C ) -> ( F ` x ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   [_csb 3147   |-> cmpt 4187   ` cfv 5372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380

This theorem is referenced by:  fvmptssdm  5784  fvmpt2d  5786  fvmptdf  5787  mpteqb  5790  fvmptt  5791  fvmptf  5792  fnmptfvd  5804  ralrnmpt  5841  rexrnmpt  5842  fmptco  5865  f1mpt  5967  offval2  6308  ofrfval2  6309  mptelixpg  7006  dom2lem  7048  mapxpen  7138  xpmapenlem  7139  mkvprop  7488  cc2lem  7622  cc3  7624  fsum3cvg  12123  summodclem2a  12126  fsumf1o  12135  fsum3cvg2  12139  fsumadd  12151  isummulc2  12171  fproddccvg  12317  fprodf1o  12333  prdsbas3  14164  txcnp  15295  cnmpt11  15307  cnmpt1t  15309  elplyd  15765  dvply1  15789  lgseisenlem2  16104