Theorem mptrcl 5644

Description: Reverse closure for a mapping: If the function value of a mapping has a member, the argument belongs to the base class of the mapping. (Contributed by AV, 4-Apr-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmpt2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mptrcl	⊢ (𝐼 ∈ (𝐹‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem mptrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt2.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	dmmptss 5166	. 2 ⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝐴
3	1	funmpt2 5297	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
4		funrel 5275	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel 𝐹
6		relelfvdm 5590	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐼 ∈ (𝐹‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
7	5, 6	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐹‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
8	2, 7	sselid 3181	1 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐹‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ↦ cmpt 4094  dom cdm 4663  Rel wrel 4668  Fun wfun 5252  ‘cfv 5258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266

This theorem is referenced by:  bitsval  12108  divsfval  12971  submrcl  13103  issubg  13303  isnsg  13332  issubrng  13755  issubrg  13777  zrhval  14173  psmetdmdm  14560  psmetf  14561  psmet0  14563  psmettri2  14564  psmetres2  14569  plybss  14969