Theorem mptrcl 5640

Description: Reverse closure for a mapping: If the function value of a mapping has a member, the argument belongs to the base class of the mapping. (Contributed by AV, 4-Apr-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmpt2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mptrcl	⊢ (𝐼 ∈ (𝐹‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem mptrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt2.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	dmmptss 5162	. 2 ⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝐴
3	1	funmpt2 5293	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
4		funrel 5271	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel 𝐹
6		relelfvdm 5586	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐼 ∈ (𝐹‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
7	5, 6	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐹‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
8	2, 7	sselid 3177	1 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐹‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ↦ cmpt 4090  dom cdm 4659  Rel wrel 4664  Fun wfun 5248  ‘cfv 5254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262

This theorem is referenced by:  divsfval  12911  submrcl  13043  issubg  13243  isnsg  13272  issubrng  13695  issubrg  13717  zrhval  14105  psmetdmdm  14492  psmetf  14493  psmet0  14495  psmettri2  14496  psmetres2  14501  plybss  14879