Theorem mptrcl 5762

Description: Reverse closure for a mapping: If the function value of a mapping has a member, the argument belongs to the base class of the mapping. (Contributed by AV, 4-Apr-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmpt2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mptrcl	⊢ (𝐼 ∈ (𝐹‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem mptrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt2.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	dmmptss 5261	. 2 ⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝐴
3	1	funmpt2 5393	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
4		funrel 5371	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel 𝐹
6		relelfvdm 5704	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐼 ∈ (𝐹‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
7	5, 6	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐹‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
8	2, 7	sselid 3238	1 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐹‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ↦ cmpt 4173  dom cdm 4751  Rel wrel 4756  Fun wfun 5348  ‘cfv 5354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362

This theorem is referenced by:  bitsval  12637  divsfval  13562  submrcl  13705  issubg  13911  isnsg  13940  issubrng  14367  issubrg  14389  zrhval  14814  psmetdmdm  15238  psmetf  15239  psmet0  15241  psmettri2  15242  psmetres2  15247  plybss  15647  edgval  16104  wlkmex  16363  wlkreslem  16422  trlsv  16428  isclwwlk  16438  clwwlkbp  16439  clwwlknonmpo  16472  eupthv  16490  trlsegvdegfi  16511  eupth2lem3lem1fi  16512  eupth2lem3lem2fi  16513  eupth2lem3lem6fi  16515  eupth2lem3lem4fi  16517