Theorem mptrcl 5732

Description: Reverse closure for a mapping: If the function value of a mapping has a member, the argument belongs to the base class of the mapping. (Contributed by AV, 4-Apr-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmpt2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mptrcl	⊢ (𝐼 ∈ (𝐹‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem mptrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt2.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	dmmptss 5235	. 2 ⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝐴
3	1	funmpt2 5367	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
4		funrel 5345	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel 𝐹
6		relelfvdm 5674	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐼 ∈ (𝐹‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
7	5, 6	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐹‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
8	2, 7	sselid 3224	1 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐹‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   ↦ cmpt 4151  dom cdm 4727  Rel wrel 4732  Fun wfun 5322  ‘cfv 5328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fv 5336

This theorem is referenced by:  bitsval  12527  divsfval  13434  submrcl  13577  issubg  13783  isnsg  13812  issubrng  14237  issubrg  14259  zrhval  14655  psmetdmdm  15077  psmetf  15078  psmet0  15080  psmettri2  15081  psmetres2  15086  plybss  15486  edgval  15940  wlkmex  16199  wlkreslem  16258  trlsv  16264  isclwwlk  16274  clwwlkbp  16275  clwwlknonmpo  16308  eupthv  16326  trlsegvdegfi  16347  eupth2lem3lem1fi  16348  eupth2lem3lem2fi  16349  eupth2lem3lem6fi  16351  eupth2lem3lem4fi  16353