Theorem mptrcl 5647

Description: Reverse closure for a mapping: If the function value of a mapping has a member, the argument belongs to the base class of the mapping. (Contributed by AV, 4-Apr-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmpt2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mptrcl	⊢ (𝐼 ∈ (𝐹‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem mptrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmpt2.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	dmmptss 5167	. 2 ⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝐴
3	1	funmpt2 5298	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
4		funrel 5276	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel 𝐹
6		relelfvdm 5593	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐼 ∈ (𝐹‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
7	5, 6	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐹‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
8	2, 7	sselid 3182	1 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐹‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ↦ cmpt 4095  dom cdm 4664  Rel wrel 4669  Fun wfun 5253  ‘cfv 5259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267

This theorem is referenced by:  bitsval  12125  divsfval  13030  submrcl  13173  issubg  13379  isnsg  13408  issubrng  13831  issubrg  13853  zrhval  14249  psmetdmdm  14644  psmetf  14645  psmet0  14647  psmettri2  14648  psmetres2  14653  plybss  15053