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Theorem psmettri2 14648
Description: Triangle inequality for the distance function of a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmettri2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
Proof of Theorem psmettri2
Dummy variables a b c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-psmet 14175 . . . . . . . . 9 |- PsMet = ( d e. _V |-> { e e. ( RR* ^m ( d X. d ) ) | A. a e. d ( ( a e a ) = 0 /\ A. b e. d A. c e. d ( a e b ) <_ ( ( c e a ) +e ( c e b ) ) ) } )
21mptrcl 5647 . . . . . . . 8 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> X e. _V )
3 ispsmet 14643 . . . . . . . 8 |- ( X e. _V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. a e. X ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) ) )
42, 3syl 14 . . . . . . 7 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. a e. X ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) ) )
54ibi 176 . . . . . 6 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. a e. X ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) )
65simprd 114 . . . . 5 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> A. a e. X ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
76r19.21bi 2585 . . . 4 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ a e. X ) -> ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
87simprd 114 . . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ a e. X ) -> A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
98ralrimiva 2570 . 2 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> A. a e. X A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
10 oveq1 5932 . . . . 5 |- ( a = A -> ( a D b ) = ( A D b ) )
11 oveq2 5933 . . . . . 6 |- ( a = A -> ( c D a ) = ( c D A ) )
1211oveq1d 5940 . . . . 5 |- ( a = A -> ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) = ( ( c D A ) +e ( c D b ) ) )
1310, 12breq12d 4047 . . . 4 |- ( a = A -> ( ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) <-> ( A D b ) <_ ( ( c D A ) +e ( c D b ) ) ) )
14 oveq2 5933 . . . . 5 |- ( b = B -> ( A D b ) = ( A D B ) )
15 oveq2 5933 . . . . . 6 |- ( b = B -> ( c D b ) = ( c D B ) )
1615oveq2d 5941 . . . . 5 |- ( b = B -> ( ( c D A ) +e ( c D b ) ) = ( ( c D A ) +e ( c D B ) ) )
1714, 16breq12d 4047 . . . 4 |- ( b = B -> ( ( A D b ) <_ ( ( c D A ) +e ( c D b ) ) <-> ( A D B ) <_ ( ( c D A ) +e ( c D B ) ) ) )
18 oveq1 5932 . . . . . 6 |- ( c = C -> ( c D A ) = ( C D A ) )
19 oveq1 5932 . . . . . 6 |- ( c = C -> ( c D B ) = ( C D B ) )
2018, 19oveq12d 5943 . . . . 5 |- ( c = C -> ( ( c D A ) +e ( c D B ) ) = ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
2120breq2d 4046 . . . 4 |- ( c = C -> ( ( A D B ) <_ ( ( c D A ) +e ( c D B ) ) <-> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
2213, 17, 21rspc3v 2884 . . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( A. a e. X A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
23223comr 1213 . 2 |- ( ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A. a e. X A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
249, 23mpan9 281 1 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   {crab 2479   _Vcvv 2763   class class class wbr 4034   X. cxp 4662   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   ^m cmap 6716   0cc0 7896   RR*cxr 8077   <_ cle 8079   +ecxad 9862  PsMetcpsmet 14167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-map 6718  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-psmet 14175
This theorem is referenced by:  psmetsym  14649  psmettri  14650  psmetge0  14651  psmetres2  14653  xblss2ps  14724
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