ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  psmettri2 Unicode version
Theorem psmettri2 15193
Description: Triangle inequality for the distance function of a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmettri2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
Proof of Theorem psmettri2
Dummy variables a b c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-psmet 14691 . . . . . . . . 9 |- PsMet = ( d e. _V |-> { e e. ( RR* ^m ( d X. d ) ) | A. a e. d ( ( a e a ) = 0 /\ A. b e. d A. c e. d ( a e b ) <_ ( ( c e a ) +e ( c e b ) ) ) } )
21mptrcl 5760 . . . . . . . 8 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> X e. _V )
3 ispsmet 15188 . . . . . . . 8 |- ( X e. _V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. a e. X ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) ) )
42, 3syl 14 . . . . . . 7 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. a e. X ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) ) )
54ibi 176 . . . . . 6 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. a e. X ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) )
65simprd 114 . . . . 5 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> A. a e. X ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
76r19.21bi 2630 . . . 4 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ a e. X ) -> ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
87simprd 114 . . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ a e. X ) -> A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
98ralrimiva 2615 . 2 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> A. a e. X A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
10 oveq1 6057 . . . . 5 |- ( a = A -> ( a D b ) = ( A D b ) )
11 oveq2 6058 . . . . . 6 |- ( a = A -> ( c D a ) = ( c D A ) )
1211oveq1d 6065 . . . . 5 |- ( a = A -> ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) = ( ( c D A ) +e ( c D b ) ) )
1310, 12breq12d 4122 . . . 4 |- ( a = A -> ( ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) <-> ( A D b ) <_ ( ( c D A ) +e ( c D b ) ) ) )
14 oveq2 6058 . . . . 5 |- ( b = B -> ( A D b ) = ( A D B ) )
15 oveq2 6058 . . . . . 6 |- ( b = B -> ( c D b ) = ( c D B ) )
1615oveq2d 6066 . . . . 5 |- ( b = B -> ( ( c D A ) +e ( c D b ) ) = ( ( c D A ) +e ( c D B ) ) )
1714, 16breq12d 4122 . . . 4 |- ( b = B -> ( ( A D b ) <_ ( ( c D A ) +e ( c D b ) ) <-> ( A D B ) <_ ( ( c D A ) +e ( c D B ) ) ) )
18 oveq1 6057 . . . . . 6 |- ( c = C -> ( c D A ) = ( C D A ) )
19 oveq1 6057 . . . . . 6 |- ( c = C -> ( c D B ) = ( C D B ) )
2018, 19oveq12d 6068 . . . . 5 |- ( c = C -> ( ( c D A ) +e ( c D B ) ) = ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
2120breq2d 4121 . . . 4 |- ( c = C -> ( ( A D B ) <_ ( ( c D A ) +e ( c D B ) ) <-> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
2213, 17, 21rspc3v 2937 . . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( A. a e. X A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
23223comr 1238 . 2 |- ( ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A. a e. X A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
249, 23mpan9 281 1 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   {crab 2524   _Vcvv 2813   class class class wbr 4109   X. cxp 4747   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   ^m cmap 6882   0cc0 8127   RR*cxr 8307   <_ cle 8309   +ecxad 10103  PsMetcpsmet 14683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-map 6884  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-psmet 14691
This theorem is referenced by:  psmetsym  15194  psmettri  15195  psmetge0  15196  psmetres2  15198  xblss2ps  15269
  Copyright terms: Public domain W3C validator