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Theorem psmettri2 13379
Description: Triangle inequality for the distance function of a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmettri2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
Proof of Theorem psmettri2
Dummy variables a b c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-psmet 13038 . . . . . . . . 9 |- PsMet = ( d e. _V |-> { e e. ( RR* ^m ( d X. d ) ) | A. a e. d ( ( a e a ) = 0 /\ A. b e. d A. c e. d ( a e b ) <_ ( ( c e a ) +e ( c e b ) ) ) } )
21mptrcl 5590 . . . . . . . 8 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> X e. _V )
3 ispsmet 13374 . . . . . . . 8 |- ( X e. _V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. a e. X ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) ) )
42, 3syl 14 . . . . . . 7 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. a e. X ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) ) )
54ibi 176 . . . . . 6 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. a e. X ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) )
65simprd 114 . . . . 5 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> A. a e. X ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
76r19.21bi 2563 . . . 4 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ a e. X ) -> ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
87simprd 114 . . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ a e. X ) -> A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
98ralrimiva 2548 . 2 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> A. a e. X A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
10 oveq1 5872 . . . . 5 |- ( a = A -> ( a D b ) = ( A D b ) )
11 oveq2 5873 . . . . . 6 |- ( a = A -> ( c D a ) = ( c D A ) )
1211oveq1d 5880 . . . . 5 |- ( a = A -> ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) = ( ( c D A ) +e ( c D b ) ) )
1310, 12breq12d 4011 . . . 4 |- ( a = A -> ( ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) <-> ( A D b ) <_ ( ( c D A ) +e ( c D b ) ) ) )
14 oveq2 5873 . . . . 5 |- ( b = B -> ( A D b ) = ( A D B ) )
15 oveq2 5873 . . . . . 6 |- ( b = B -> ( c D b ) = ( c D B ) )
1615oveq2d 5881 . . . . 5 |- ( b = B -> ( ( c D A ) +e ( c D b ) ) = ( ( c D A ) +e ( c D B ) ) )
1714, 16breq12d 4011 . . . 4 |- ( b = B -> ( ( A D b ) <_ ( ( c D A ) +e ( c D b ) ) <-> ( A D B ) <_ ( ( c D A ) +e ( c D B ) ) ) )
18 oveq1 5872 . . . . . 6 |- ( c = C -> ( c D A ) = ( C D A ) )
19 oveq1 5872 . . . . . 6 |- ( c = C -> ( c D B ) = ( C D B ) )
2018, 19oveq12d 5883 . . . . 5 |- ( c = C -> ( ( c D A ) +e ( c D B ) ) = ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
2120breq2d 4010 . . . 4 |- ( c = C -> ( ( A D B ) <_ ( ( c D A ) +e ( c D B ) ) <-> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
2213, 17, 21rspc3v 2855 . . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( A. a e. X A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
23223comr 1211 . 2 |- ( ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A. a e. X A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
249, 23mpan9 281 1 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2146   A.wral 2453   {crab 2457   _Vcvv 2735   class class class wbr 3998   X. cxp 4618   -->wf 5204   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   ^m cmap 6638   0cc0 7786   RR*cxr 7965   <_ cle 7967   +ecxad 9739  PsMetcpsmet 13030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-map 6640  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-psmet 13038
This theorem is referenced by:  psmetsym  13380  psmettri  13381  psmetge0  13382  psmetres2  13384  xblss2ps  13455
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