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Theorem psmettri2 14496
Description: Triangle inequality for the distance function of a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmettri2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
Proof of Theorem psmettri2
Dummy variables a b c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-psmet 14039 . . . . . . . . 9 |- PsMet = ( d e. _V |-> { e e. ( RR* ^m ( d X. d ) ) | A. a e. d ( ( a e a ) = 0 /\ A. b e. d A. c e. d ( a e b ) <_ ( ( c e a ) +e ( c e b ) ) ) } )
21mptrcl 5640 . . . . . . . 8 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> X e. _V )
3 ispsmet 14491 . . . . . . . 8 |- ( X e. _V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. a e. X ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) ) )
42, 3syl 14 . . . . . . 7 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. a e. X ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) ) )
54ibi 176 . . . . . 6 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. a e. X ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) )
65simprd 114 . . . . 5 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> A. a e. X ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
76r19.21bi 2582 . . . 4 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ a e. X ) -> ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
87simprd 114 . . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ a e. X ) -> A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
98ralrimiva 2567 . 2 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> A. a e. X A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
10 oveq1 5925 . . . . 5 |- ( a = A -> ( a D b ) = ( A D b ) )
11 oveq2 5926 . . . . . 6 |- ( a = A -> ( c D a ) = ( c D A ) )
1211oveq1d 5933 . . . . 5 |- ( a = A -> ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) = ( ( c D A ) +e ( c D b ) ) )
1310, 12breq12d 4042 . . . 4 |- ( a = A -> ( ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) <-> ( A D b ) <_ ( ( c D A ) +e ( c D b ) ) ) )
14 oveq2 5926 . . . . 5 |- ( b = B -> ( A D b ) = ( A D B ) )
15 oveq2 5926 . . . . . 6 |- ( b = B -> ( c D b ) = ( c D B ) )
1615oveq2d 5934 . . . . 5 |- ( b = B -> ( ( c D A ) +e ( c D b ) ) = ( ( c D A ) +e ( c D B ) ) )
1714, 16breq12d 4042 . . . 4 |- ( b = B -> ( ( A D b ) <_ ( ( c D A ) +e ( c D b ) ) <-> ( A D B ) <_ ( ( c D A ) +e ( c D B ) ) ) )
18 oveq1 5925 . . . . . 6 |- ( c = C -> ( c D A ) = ( C D A ) )
19 oveq1 5925 . . . . . 6 |- ( c = C -> ( c D B ) = ( C D B ) )
2018, 19oveq12d 5936 . . . . 5 |- ( c = C -> ( ( c D A ) +e ( c D B ) ) = ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
2120breq2d 4041 . . . 4 |- ( c = C -> ( ( A D B ) <_ ( ( c D A ) +e ( c D B ) ) <-> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
2213, 17, 21rspc3v 2880 . . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( A. a e. X A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
23223comr 1213 . 2 |- ( ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A. a e. X A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
249, 23mpan9 281 1 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   {crab 2476   _Vcvv 2760   class class class wbr 4029   X. cxp 4657   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   ^m cmap 6702   0cc0 7872   RR*cxr 8053   <_ cle 8055   +ecxad 9836  PsMetcpsmet 14031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-map 6704  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-psmet 14039
This theorem is referenced by:  psmetsym  14497  psmettri  14498  psmetge0  14499  psmetres2  14501  xblss2ps  14572
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