Theorem psmet0 12535

Description: The distance function of a pseudometric space is zero if its arguments are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
psmet0	|- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X ) -> ( A D A ) = 0 )

Proof of Theorem psmet0

Dummy variables a b c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-psmet 12195	. . . . . . . . 9 |- PsMet = ( d e. _V |-> { e e. ( RR* ^m ( d X. d ) ) | A. a e. d ( ( a e a ) = 0 /\ A. b e. d A. c e. d ( a e b ) <_ ( ( c e a ) +e ( c e b ) ) ) } )
2	1	mptrcl 5511	. . . . . . . 8 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> X e. _V )
3		ispsmet 12531	. . . . . . . 8 |- ( X e. _V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. a e. X ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) ) )
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. a e. X ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) ) )
5	4	ibi 175	. . . . . 6 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. a e. X ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) )
6	5	simprd 113	. . . . 5 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> A. a e. X ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
7	6	r19.21bi 2523	. . . 4 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ a e. X ) -> ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
8	7	simpld 111	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ a e. X ) -> ( a D a ) = 0 )
9	8	ralrimiva 2508	. 2 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> A. a e. X ( a D a ) = 0 )
10		id 19	. . . . 5 |- ( a = A -> a = A )
11	10, 10	oveq12d 5800	. . . 4 |- ( a = A -> ( a D a ) = ( A D A ) )
12	11	eqeq1d 2149	. . 3 |- ( a = A -> ( ( a D a ) = 0 <-> ( A D A ) = 0 ) )
13	12	rspcv 2789	. 2 |- ( A e. X -> ( A. a e. X ( a D a ) = 0 -> ( A D A ) = 0 ) )
14	9, 13	mpan9 279	1 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X ) -> ( A D A ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   {crab 2421   _Vcvv 2689   class class class wbr 3937   X. cxp 4545   -->wf 5127   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   ^m cmap 6550   0cc0 7644   RR*cxr 7823   <_ cle 7825   +ecxad 9587  PsMetcpsmet 12187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-map 6552  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-psmet 12195

This theorem is referenced by:  psmetsym  12537  psmetge0  12539  psmetres2  12541  distspace  12543  xblcntrps  12621  ssblps  12633