Theorem mulsubfacd 8439

Description: Multiplication followed by the subtraction of a factor. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulsubfacd.1	|- ( ph -> A e. CC )
mulsubfacd.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
mulsubfacd	|- ( ph -> ( ( A x. B ) - B ) = ( ( A - 1 ) x. B ) )

Proof of Theorem mulsubfacd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulsubfacd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
2		ax-1cn 7967	. . . 4 |- 1 e. CC
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> 1 e. CC )
4		mulsubfacd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
5	1, 3, 4	subdird 8436	. 2 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) x. B ) = ( ( A x. B ) - ( 1 x. B ) ) )
6	4	mulid2d 8040	. . 3 |- ( ph -> ( 1 x. B ) = B )
7	6	oveq2d 5935	. 2 |- ( ph -> ( ( A x. B ) - ( 1 x. B ) ) = ( ( A x. B ) - B ) )
8	5, 7	eqtr2d 2227	1 |- ( ph -> ( ( A x. B ) - B ) = ( ( A - 1 ) x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164  (class class class)co 5919   CCcc 7872   1c1 7875   x. cmul 7879   - cmin 8192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-setind 4570  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-sub 8194

This theorem is referenced by:  subhalfhalf  9220  maxabslemlub  11354  gausslemma2dlem1a  15215