Theorem subdird 8584

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
mulnegd.2	|- ( ph -> B e. CC )
subdid.3	|- ( ph -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
subdird	|- ( ph -> ( ( A - B ) x. C ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) )

Proof of Theorem subdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		mulnegd.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		subdid.3	. 2 |- ( ph -> C e. CC )
4		subdir 8555	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A - B ) x. C ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1271	1 |- ( ph -> ( ( A - B ) x. C ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6013   CCcc 8020   x. cmul 8027   - cmin 8340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-setind 4633  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-sub 8342

This theorem is referenced by:  mulsubfacd  8588  ltmul1a  8761  lemul1a  9028  xp1d2m1eqxm1d2  9387  div4p1lem1div2  9388  lincmb01cmp  10228  iccf1o  10229  qbtwnrelemcalc  10505  modqmul1  10629  remullem  11422  resqrexlemcalc1  11565  bdtrilem  11790  mulcn2  11863  fsumparts  12021  geo2sum  12065  modprm0  12817  mul4sqlem  12956  dvmulxxbr  15416  dvrecap  15427  sin0pilem1  15495  tangtx  15552  logdivlti  15595  perfectlem2  15714  lgsquadlem1  15796