Theorem subdird 8486

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
mulnegd.2	|- ( ph -> B e. CC )
subdid.3	|- ( ph -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
subdird	|- ( ph -> ( ( A - B ) x. C ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) )

Proof of Theorem subdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		mulnegd.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		subdid.3	. 2 |- ( ph -> C e. CC )
4		subdir 8457	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A - B ) x. C ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1249	1 |- ( ph -> ( ( A - B ) x. C ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1372   e. wcel 2175  (class class class)co 5943   CCcc 7922   x. cmul 7929   - cmin 8242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-setind 4584  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-sub 8244

This theorem is referenced by:  mulsubfacd  8490  ltmul1a  8663  lemul1a  8930  xp1d2m1eqxm1d2  9289  div4p1lem1div2  9290  lincmb01cmp  10124  iccf1o  10125  qbtwnrelemcalc  10396  modqmul1  10520  remullem  11153  resqrexlemcalc1  11296  bdtrilem  11521  mulcn2  11594  fsumparts  11752  geo2sum  11796  modprm0  12548  mul4sqlem  12687  dvmulxxbr  15145  dvrecap  15156  sin0pilem1  15224  tangtx  15281  logdivlti  15324  perfectlem2  15443  lgsquadlem1  15525