Theorem subdird 8522

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
mulnegd.2	|- ( ph -> B e. CC )
subdid.3	|- ( ph -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
subdird	|- ( ph -> ( ( A - B ) x. C ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) )

Proof of Theorem subdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		mulnegd.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		subdid.3	. 2 |- ( ph -> C e. CC )
4		subdir 8493	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A - B ) x. C ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1250	1 |- ( ph -> ( ( A - B ) x. C ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2178  (class class class)co 5967   CCcc 7958   x. cmul 7965   - cmin 8278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-setind 4603  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-sub 8280

This theorem is referenced by:  mulsubfacd  8526  ltmul1a  8699  lemul1a  8966  xp1d2m1eqxm1d2  9325  div4p1lem1div2  9326  lincmb01cmp  10160  iccf1o  10161  qbtwnrelemcalc  10435  modqmul1  10559  remullem  11297  resqrexlemcalc1  11440  bdtrilem  11665  mulcn2  11738  fsumparts  11896  geo2sum  11940  modprm0  12692  mul4sqlem  12831  dvmulxxbr  15289  dvrecap  15300  sin0pilem1  15368  tangtx  15425  logdivlti  15468  perfectlem2  15587  lgsquadlem1  15669