![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > mulsubfacd | GIF version |
Description: Multiplication followed by the subtraction of a factor. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Aug-2018.) |
Ref | Expression |
---|---|
mulsubfacd.1 | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
mulsubfacd.2 | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
Ref | Expression |
---|---|
mulsubfacd | โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ต) โ ๐ต) = ((๐ด โ 1) ยท ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mulsubfacd.1 | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | ax-1cn 7917 | . . . 4 โข 1 โ โ | |
3 | 2 | a1i 9 | . . 3 โข (๐ โ 1 โ โ) |
4 | mulsubfacd.2 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
5 | 1, 3, 4 | subdird 8385 | . 2 โข (๐ โ ((๐ด โ 1) ยท ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ต) โ (1 ยท ๐ต))) |
6 | 4 | mulid2d 7989 | . . 3 โข (๐ โ (1 ยท ๐ต) = ๐ต) |
7 | 6 | oveq2d 5904 | . 2 โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ต) โ (1 ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ต) โ ๐ต)) |
8 | 5, 7 | eqtr2d 2221 | 1 โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ต) โ ๐ต) = ((๐ด โ 1) ยท ๐ต)) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1363 โ wcel 2158 (class class class)co 5888 โcc 7822 1c1 7825 ยท cmul 7829 โ cmin 8141 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-sep 4133 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-setind 4548 ax-resscn 7916 ax-1cn 7917 ax-icn 7919 ax-addcl 7920 ax-addrcl 7921 ax-mulcl 7922 ax-addcom 7924 ax-mulcom 7925 ax-addass 7926 ax-mulass 7927 ax-distr 7928 ax-i2m1 7929 ax-1rid 7931 ax-0id 7932 ax-rnegex 7933 ax-cnre 7935 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-ral 2470 df-rex 2471 df-reu 2472 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-br 4016 df-opab 4077 df-id 4305 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fv 5236 df-riota 5844 df-ov 5891 df-oprab 5892 df-mpo 5893 df-sub 8143 |
This theorem is referenced by: maxabslemlub 11229 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |