![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > mulsubfacd | GIF version |
Description: Multiplication followed by the subtraction of a factor. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Aug-2018.) |
Ref | Expression |
---|---|
mulsubfacd.1 | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
mulsubfacd.2 | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
Ref | Expression |
---|---|
mulsubfacd | โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ต) โ ๐ต) = ((๐ด โ 1) ยท ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mulsubfacd.1 | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | ax-1cn 7923 | . . . 4 โข 1 โ โ | |
3 | 2 | a1i 9 | . . 3 โข (๐ โ 1 โ โ) |
4 | mulsubfacd.2 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
5 | 1, 3, 4 | subdird 8391 | . 2 โข (๐ โ ((๐ด โ 1) ยท ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ต) โ (1 ยท ๐ต))) |
6 | 4 | mulid2d 7995 | . . 3 โข (๐ โ (1 ยท ๐ต) = ๐ต) |
7 | 6 | oveq2d 5907 | . 2 โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ต) โ (1 ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ต) โ ๐ต)) |
8 | 5, 7 | eqtr2d 2223 | 1 โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ต) โ ๐ต) = ((๐ด โ 1) ยท ๐ต)) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1364 โ wcel 2160 (class class class)co 5891 โcc 7828 1c1 7831 ยท cmul 7835 โ cmin 8147 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-sep 4136 ax-pow 4189 ax-pr 4224 ax-setind 4551 ax-resscn 7922 ax-1cn 7923 ax-icn 7925 ax-addcl 7926 ax-addrcl 7927 ax-mulcl 7928 ax-addcom 7930 ax-mulcom 7931 ax-addass 7932 ax-mulass 7933 ax-distr 7934 ax-i2m1 7935 ax-1rid 7937 ax-0id 7938 ax-rnegex 7939 ax-cnre 7941 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-br 4019 df-opab 4080 df-id 4308 df-xp 4647 df-rel 4648 df-cnv 4649 df-co 4650 df-dm 4651 df-iota 5193 df-fun 5233 df-fv 5239 df-riota 5847 df-ov 5894 df-oprab 5895 df-mpo 5896 df-sub 8149 |
This theorem is referenced by: maxabslemlub 11235 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |