ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulsubfacd GIF version

Theorem mulsubfacd 7875
Description: Multiplication followed by the subtraction of a factor. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mulsubfacd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
mulsubfacd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
mulsubfacd (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) − 𝐵) = ((𝐴 − 1) · 𝐵))

Proof of Theorem mulsubfacd
StepHypRef Expression
1 mulsubfacd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 ax-1cn 7417 . . . 4 1 ∈ ℂ
32a1i 9 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4 mulsubfacd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
51, 3, 4subdird 7872 . 2 (𝜑 → ((𝐴 − 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) − (1 · 𝐵)))
64mulid2d 7485 . . 3 (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
76oveq2d 5650 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) − (1 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) − 𝐵))
85, 7eqtr2d 2121 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) − 𝐵) = ((𝐴 − 1) · 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1289  wcel 1438  (class class class)co 5634  cc 7327  1c1 7330   · cmul 7334  cmin 7632
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-setind 4343  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-sub 7634
This theorem is referenced by:  maxabslemlub  10605
  Copyright terms: Public domain W3C validator