Theorem mulsubfacd 8709

Description: Multiplication followed by the subtraction of a factor. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
muls1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
muls1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulsubfacd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) − 𝐵) = ((𝐴 − 1) · 𝐵))

Proof of Theorem mulsubfacd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muls1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ax-1cn 8236	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4		muls1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	1, 3, 4	subdird 8705	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) − (1 · 𝐵)))
6	4	mullidd 8308	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
7	6	oveq2d 6074	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) − (1 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) − 𝐵))
8	5, 7	eqtr2d 2268	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) − 𝐵) = ((𝐴 − 1) · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  1c1 8144   · cmul 8148   − cmin 8460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-setind 4664  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-sub 8462

This theorem is referenced by:  subhalfhalf  9490  maxabslemlub  11917  gausslemma2dlem1a  16043