ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulsubfacd GIF version

Theorem mulsubfacd 8394
Description: Multiplication followed by the subtraction of a factor. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mulsubfacd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
mulsubfacd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
mulsubfacd (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โˆ’ ๐ต) = ((๐ด โˆ’ 1) ยท ๐ต))

Proof of Theorem mulsubfacd
StepHypRef Expression
1 mulsubfacd.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 ax-1cn 7923 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
32a1i 9 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4 mulsubfacd.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
51, 3, 4subdird 8391 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) ยท ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ต) โˆ’ (1 ยท ๐ต)))
64mulid2d 7995 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐ต) = ๐ต)
76oveq2d 5907 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โˆ’ (1 ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ต) โˆ’ ๐ต))
85, 7eqtr2d 2223 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โˆ’ ๐ต) = ((๐ด โˆ’ 1) ยท ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160  (class class class)co 5891  โ„‚cc 7828  1c1 7831   ยท cmul 7835   โˆ’ cmin 8147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-setind 4551  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-cnre 7941
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-sub 8149
This theorem is referenced by:  maxabslemlub  11235
  Copyright terms: Public domain W3C validator