Theorem mulsubfacd 8581

Description: Multiplication followed by the subtraction of a factor. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
muls1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
muls1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulsubfacd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) − 𝐵) = ((𝐴 − 1) · 𝐵))

Proof of Theorem mulsubfacd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muls1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ax-1cn 8108	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4		muls1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	1, 3, 4	subdird 8577	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) − (1 · 𝐵)))
6	4	mulid2d 8181	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
7	6	oveq2d 6026	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) − (1 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) − 𝐵))
8	5, 7	eqtr2d 2263	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) − 𝐵) = ((𝐴 − 1) · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6010  ℂcc 8013  1c1 8016   · cmul 8020   − cmin 8333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-setind 4630  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-sub 8335

This theorem is referenced by:  subhalfhalf  9362  maxabslemlub  11739  gausslemma2dlem1a  15758