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Theorem uzennn 10658
Description: An upper integer set is equinumerous to the set of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
uzennn |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) ~~ NN )
Proof of Theorem uzennn
Dummy variables x y j k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-uz 9723 . . . . 5 |- ZZ>= = ( j e. ZZ |-> { k e. ZZ | j <_ k } )
2 zex 9455 . . . . . 6 |- ZZ e. _V
32mptex 5865 . . . . 5 |- ( j e. ZZ |-> { k e. ZZ | j <_ k } ) e. _V
41, 3eqeltri 2302 . . . 4 |- ZZ>= e. _V
5 fvexg 5646 . . . 4 |- ( ( ZZ>= e. _V /\ M e. ZZ ) -> ( ZZ>= ` M ) e. _V )
64, 5mpan 424 . . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) e. _V )
7 nn0ex 9375 . . . 4 |- NN0 e. _V
87a1i 9 . . 3 |- ( M e. ZZ -> NN0 e. _V )
9 eluzelz 9731 . . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. ZZ )
109adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ZZ )
11 simpl 109 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ZZ )
1210, 11zsubcld 9574 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( x - M ) e. ZZ )
13 eluzle 9734 . . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ x )
1413adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M <_ x )
1510zred 9569 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. RR )
1611zred 9569 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. RR )
1715, 16subge0d 8682 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 0 <_ ( x - M ) <-> M <_ x ) )
1814, 17mpbird 167 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 <_ ( x - M ) )
19 elnn0z 9459 . . . . 5 |- ( ( x - M ) e. NN0 <-> ( ( x - M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( x - M ) ) )
2012, 18, 19sylanbrc 417 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( x - M ) e. NN0 )
2120ex 115 . . 3 |- ( M e. ZZ -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( x - M ) e. NN0 ) )
22 simpl 109 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> M e. ZZ )
23 nn0z 9466 . . . . . . 7 |- ( y e. NN0 -> y e. ZZ )
2423adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> y e. ZZ )
2524, 22zaddcld 9573 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> ( y + M ) e. ZZ )
26 nn0ge0 9394 . . . . . . 7 |- ( y e. NN0 -> 0 <_ y )
2726adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> 0 <_ y )
2822zred 9569 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> M e. RR )
2924zred 9569 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> y e. RR )
3028, 29addge02d 8681 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> ( 0 <_ y <-> M <_ ( y + M ) ) )
3127, 30mpbid 147 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> M <_ ( y + M ) )
32 eluz2 9728 . . . . 5 |- ( ( y + M ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( y + M ) e. ZZ /\ M <_ ( y + M ) ) )
3322, 25, 31, 32syl3anbrc 1205 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> ( y + M ) e. ( ZZ>= ` M ) )
3433ex 115 . . 3 |- ( M e. ZZ -> ( y e. NN0 -> ( y + M ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )
359ad2antrl 490 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> x e. ZZ )
3635zcnd 9570 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> x e. CC )
37 simpl 109 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> M e. ZZ )
3837zcnd 9570 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> M e. CC )
39 simprr 531 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> y e. NN0 )
4039nn0cnd 9424 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> y e. CC )
4136, 38, 40subadd2d 8476 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> ( ( x - M ) = y <-> ( y + M ) = x ) )
42 bicom 140 . . . . . 6 |- ( ( ( x - M ) = y <-> ( y + M ) = x ) <-> ( ( y + M ) = x <-> ( x - M ) = y ) )
43 eqcom 2231 . . . . . . 7 |- ( ( y + M ) = x <-> x = ( y + M ) )
44 eqcom 2231 . . . . . . 7 |- ( ( x - M ) = y <-> y = ( x - M ) )
4543, 44bibi12i 229 . . . . . 6 |- ( ( ( y + M ) = x <-> ( x - M ) = y ) <-> ( x = ( y + M ) <-> y = ( x - M ) ) )
4642, 45bitri 184 . . . . 5 |- ( ( ( x - M ) = y <-> ( y + M ) = x ) <-> ( x = ( y + M ) <-> y = ( x - M ) ) )
4741, 46sylib 122 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> ( x = ( y + M ) <-> y = ( x - M ) ) )
4847ex 115 . . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) -> ( x = ( y + M ) <-> y = ( x - M ) ) ) )
496, 8, 21, 34, 48en3d 6920 . 2 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) ~~ NN0 )
50 nn0ennn 10655 . 2 |- NN0 ~~ NN
51 entr 6936 . 2 |- ( ( ( ZZ>= ` M ) ~~ NN0 /\ NN0 ~~ NN ) -> ( ZZ>= ` M ) ~~ NN )
5249, 50, 51sylancl 413 1 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) ~~ NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   _Vcvv 2799   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   ~~ cen 6885   0cc0 7999   + caddc 8002   <_ cle 8182   - cmin 8317   NNcn 9110   NN0cn0 9369   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-er 6680  df-en 6888  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723
This theorem is referenced by:  xnn0nnen  10659  exmidunben  12997
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