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Theorem uzennn 10422
Description: An upper integer set is equinumerous to the set of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
uzennn |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) ~~ NN )
Proof of Theorem uzennn
Dummy variables x y j k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-uz 9518 . . . . 5 |- ZZ>= = ( j e. ZZ |-> { k e. ZZ | j <_ k } )
2 zex 9251 . . . . . 6 |- ZZ e. _V
32mptex 5738 . . . . 5 |- ( j e. ZZ |-> { k e. ZZ | j <_ k } ) e. _V
41, 3eqeltri 2250 . . . 4 |- ZZ>= e. _V
5 fvexg 5530 . . . 4 |- ( ( ZZ>= e. _V /\ M e. ZZ ) -> ( ZZ>= ` M ) e. _V )
64, 5mpan 424 . . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) e. _V )
7 nn0ex 9171 . . . 4 |- NN0 e. _V
87a1i 9 . . 3 |- ( M e. ZZ -> NN0 e. _V )
9 eluzelz 9526 . . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. ZZ )
109adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ZZ )
11 simpl 109 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ZZ )
1210, 11zsubcld 9369 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( x - M ) e. ZZ )
13 eluzle 9529 . . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ x )
1413adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M <_ x )
1510zred 9364 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. RR )
1611zred 9364 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. RR )
1715, 16subge0d 8482 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 0 <_ ( x - M ) <-> M <_ x ) )
1814, 17mpbird 167 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 <_ ( x - M ) )
19 elnn0z 9255 . . . . 5 |- ( ( x - M ) e. NN0 <-> ( ( x - M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( x - M ) ) )
2012, 18, 19sylanbrc 417 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( x - M ) e. NN0 )
2120ex 115 . . 3 |- ( M e. ZZ -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( x - M ) e. NN0 ) )
22 simpl 109 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> M e. ZZ )
23 nn0z 9262 . . . . . . 7 |- ( y e. NN0 -> y e. ZZ )
2423adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> y e. ZZ )
2524, 22zaddcld 9368 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> ( y + M ) e. ZZ )
26 nn0ge0 9190 . . . . . . 7 |- ( y e. NN0 -> 0 <_ y )
2726adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> 0 <_ y )
2822zred 9364 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> M e. RR )
2924zred 9364 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> y e. RR )
3028, 29addge02d 8481 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> ( 0 <_ y <-> M <_ ( y + M ) ) )
3127, 30mpbid 147 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> M <_ ( y + M ) )
32 eluz2 9523 . . . . 5 |- ( ( y + M ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( y + M ) e. ZZ /\ M <_ ( y + M ) ) )
3322, 25, 31, 32syl3anbrc 1181 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> ( y + M ) e. ( ZZ>= ` M ) )
3433ex 115 . . 3 |- ( M e. ZZ -> ( y e. NN0 -> ( y + M ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )
359ad2antrl 490 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> x e. ZZ )
3635zcnd 9365 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> x e. CC )
37 simpl 109 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> M e. ZZ )
3837zcnd 9365 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> M e. CC )
39 simprr 531 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> y e. NN0 )
4039nn0cnd 9220 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> y e. CC )
4136, 38, 40subadd2d 8277 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> ( ( x - M ) = y <-> ( y + M ) = x ) )
42 bicom 140 . . . . . 6 |- ( ( ( x - M ) = y <-> ( y + M ) = x ) <-> ( ( y + M ) = x <-> ( x - M ) = y ) )
43 eqcom 2179 . . . . . . 7 |- ( ( y + M ) = x <-> x = ( y + M ) )
44 eqcom 2179 . . . . . . 7 |- ( ( x - M ) = y <-> y = ( x - M ) )
4543, 44bibi12i 229 . . . . . 6 |- ( ( ( y + M ) = x <-> ( x - M ) = y ) <-> ( x = ( y + M ) <-> y = ( x - M ) ) )
4642, 45bitri 184 . . . . 5 |- ( ( ( x - M ) = y <-> ( y + M ) = x ) <-> ( x = ( y + M ) <-> y = ( x - M ) ) )
4741, 46sylib 122 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> ( x = ( y + M ) <-> y = ( x - M ) ) )
4847ex 115 . . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) -> ( x = ( y + M ) <-> y = ( x - M ) ) ) )
496, 8, 21, 34, 48en3d 6763 . 2 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) ~~ NN0 )
50 nn0ennn 10419 . 2 |- NN0 ~~ NN
51 entr 6778 . 2 |- ( ( ( ZZ>= ` M ) ~~ NN0 /\ NN0 ~~ NN ) -> ( ZZ>= ` M ) ~~ NN )
5249, 50, 51sylancl 413 1 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) ~~ NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   {crab 2459   _Vcvv 2737   class class class wbr 4000   |-> cmpt 4061   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   ~~ cen 6732   0cc0 7802   + caddc 7805   <_ cle 7983   - cmin 8118   NNcn 8908   NN0cn0 9165   ZZcz 9242   ZZ>=cuz 9517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-er 6529  df-en 6735  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518
This theorem is referenced by:  exmidunben  12410
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