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Theorem uzennn 10379
Description: An upper integer set is equinumerous to the set of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
uzennn |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) ~~ NN )
Proof of Theorem uzennn
Dummy variables x y j k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-uz 9475 . . . . 5 |- ZZ>= = ( j e. ZZ |-> { k e. ZZ | j <_ k } )
2 zex 9208 . . . . . 6 |- ZZ e. _V
32mptex 5719 . . . . 5 |- ( j e. ZZ |-> { k e. ZZ | j <_ k } ) e. _V
41, 3eqeltri 2243 . . . 4 |- ZZ>= e. _V
5 fvexg 5513 . . . 4 |- ( ( ZZ>= e. _V /\ M e. ZZ ) -> ( ZZ>= ` M ) e. _V )
64, 5mpan 422 . . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) e. _V )
7 nn0ex 9128 . . . 4 |- NN0 e. _V
87a1i 9 . . 3 |- ( M e. ZZ -> NN0 e. _V )
9 eluzelz 9483 . . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. ZZ )
109adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ZZ )
11 simpl 108 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ZZ )
1210, 11zsubcld 9326 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( x - M ) e. ZZ )
13 eluzle 9486 . . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ x )
1413adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M <_ x )
1510zred 9321 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. RR )
1611zred 9321 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. RR )
1715, 16subge0d 8441 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 0 <_ ( x - M ) <-> M <_ x ) )
1814, 17mpbird 166 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 <_ ( x - M ) )
19 elnn0z 9212 . . . . 5 |- ( ( x - M ) e. NN0 <-> ( ( x - M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( x - M ) ) )
2012, 18, 19sylanbrc 415 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( x - M ) e. NN0 )
2120ex 114 . . 3 |- ( M e. ZZ -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( x - M ) e. NN0 ) )
22 simpl 108 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> M e. ZZ )
23 nn0z 9219 . . . . . . 7 |- ( y e. NN0 -> y e. ZZ )
2423adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> y e. ZZ )
2524, 22zaddcld 9325 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> ( y + M ) e. ZZ )
26 nn0ge0 9147 . . . . . . 7 |- ( y e. NN0 -> 0 <_ y )
2726adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> 0 <_ y )
2822zred 9321 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> M e. RR )
2924zred 9321 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> y e. RR )
3028, 29addge02d 8440 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> ( 0 <_ y <-> M <_ ( y + M ) ) )
3127, 30mpbid 146 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> M <_ ( y + M ) )
32 eluz2 9480 . . . . 5 |- ( ( y + M ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( y + M ) e. ZZ /\ M <_ ( y + M ) ) )
3322, 25, 31, 32syl3anbrc 1176 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> ( y + M ) e. ( ZZ>= ` M ) )
3433ex 114 . . 3 |- ( M e. ZZ -> ( y e. NN0 -> ( y + M ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )
359ad2antrl 487 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> x e. ZZ )
3635zcnd 9322 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> x e. CC )
37 simpl 108 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> M e. ZZ )
3837zcnd 9322 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> M e. CC )
39 simprr 527 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> y e. NN0 )
4039nn0cnd 9177 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> y e. CC )
4136, 38, 40subadd2d 8236 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> ( ( x - M ) = y <-> ( y + M ) = x ) )
42 bicom 139 . . . . . 6 |- ( ( ( x - M ) = y <-> ( y + M ) = x ) <-> ( ( y + M ) = x <-> ( x - M ) = y ) )
43 eqcom 2172 . . . . . . 7 |- ( ( y + M ) = x <-> x = ( y + M ) )
44 eqcom 2172 . . . . . . 7 |- ( ( x - M ) = y <-> y = ( x - M ) )
4543, 44bibi12i 228 . . . . . 6 |- ( ( ( y + M ) = x <-> ( x - M ) = y ) <-> ( x = ( y + M ) <-> y = ( x - M ) ) )
4642, 45bitri 183 . . . . 5 |- ( ( ( x - M ) = y <-> ( y + M ) = x ) <-> ( x = ( y + M ) <-> y = ( x - M ) ) )
4741, 46sylib 121 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> ( x = ( y + M ) <-> y = ( x - M ) ) )
4847ex 114 . . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) -> ( x = ( y + M ) <-> y = ( x - M ) ) ) )
496, 8, 21, 34, 48en3d 6743 . 2 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) ~~ NN0 )
50 nn0ennn 10376 . 2 |- NN0 ~~ NN
51 entr 6758 . 2 |- ( ( ( ZZ>= ` M ) ~~ NN0 /\ NN0 ~~ NN ) -> ( ZZ>= ` M ) ~~ NN )
5249, 50, 51sylancl 411 1 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) ~~ NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   {crab 2452   _Vcvv 2730   class class class wbr 3987   |-> cmpt 4048   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   ~~ cen 6712   0cc0 7761   + caddc 7764   <_ cle 7942   - cmin 8077   NNcn 8865   NN0cn0 9122   ZZcz 9199   ZZ>=cuz 9474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-ltadd 7877
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-er 6509  df-en 6715  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475
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