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Theorem uzennn 10371
Description: An upper integer set is equinumerous to the set of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
uzennn |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) ~~ NN )
Proof of Theorem uzennn
Dummy variables x y j k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-uz 9467 . . . . 5 |- ZZ>= = ( j e. ZZ |-> { k e. ZZ | j <_ k } )
2 zex 9200 . . . . . 6 |- ZZ e. _V
32mptex 5711 . . . . 5 |- ( j e. ZZ |-> { k e. ZZ | j <_ k } ) e. _V
41, 3eqeltri 2239 . . . 4 |- ZZ>= e. _V
5 fvexg 5505 . . . 4 |- ( ( ZZ>= e. _V /\ M e. ZZ ) -> ( ZZ>= ` M ) e. _V )
64, 5mpan 421 . . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) e. _V )
7 nn0ex 9120 . . . 4 |- NN0 e. _V
87a1i 9 . . 3 |- ( M e. ZZ -> NN0 e. _V )
9 eluzelz 9475 . . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. ZZ )
109adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ZZ )
11 simpl 108 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ZZ )
1210, 11zsubcld 9318 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( x - M ) e. ZZ )
13 eluzle 9478 . . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ x )
1413adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M <_ x )
1510zred 9313 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. RR )
1611zred 9313 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. RR )
1715, 16subge0d 8433 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 0 <_ ( x - M ) <-> M <_ x ) )
1814, 17mpbird 166 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 <_ ( x - M ) )
19 elnn0z 9204 . . . . 5 |- ( ( x - M ) e. NN0 <-> ( ( x - M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( x - M ) ) )
2012, 18, 19sylanbrc 414 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( x - M ) e. NN0 )
2120ex 114 . . 3 |- ( M e. ZZ -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( x - M ) e. NN0 ) )
22 simpl 108 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> M e. ZZ )
23 nn0z 9211 . . . . . . 7 |- ( y e. NN0 -> y e. ZZ )
2423adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> y e. ZZ )
2524, 22zaddcld 9317 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> ( y + M ) e. ZZ )
26 nn0ge0 9139 . . . . . . 7 |- ( y e. NN0 -> 0 <_ y )
2726adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> 0 <_ y )
2822zred 9313 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> M e. RR )
2924zred 9313 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> y e. RR )
3028, 29addge02d 8432 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> ( 0 <_ y <-> M <_ ( y + M ) ) )
3127, 30mpbid 146 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> M <_ ( y + M ) )
32 eluz2 9472 . . . . 5 |- ( ( y + M ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( y + M ) e. ZZ /\ M <_ ( y + M ) ) )
3322, 25, 31, 32syl3anbrc 1171 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> ( y + M ) e. ( ZZ>= ` M ) )
3433ex 114 . . 3 |- ( M e. ZZ -> ( y e. NN0 -> ( y + M ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )
359ad2antrl 482 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> x e. ZZ )
3635zcnd 9314 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> x e. CC )
37 simpl 108 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> M e. ZZ )
3837zcnd 9314 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> M e. CC )
39 simprr 522 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> y e. NN0 )
4039nn0cnd 9169 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> y e. CC )
4136, 38, 40subadd2d 8228 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> ( ( x - M ) = y <-> ( y + M ) = x ) )
42 bicom 139 . . . . . 6 |- ( ( ( x - M ) = y <-> ( y + M ) = x ) <-> ( ( y + M ) = x <-> ( x - M ) = y ) )
43 eqcom 2167 . . . . . . 7 |- ( ( y + M ) = x <-> x = ( y + M ) )
44 eqcom 2167 . . . . . . 7 |- ( ( x - M ) = y <-> y = ( x - M ) )
4543, 44bibi12i 228 . . . . . 6 |- ( ( ( y + M ) = x <-> ( x - M ) = y ) <-> ( x = ( y + M ) <-> y = ( x - M ) ) )
4642, 45bitri 183 . . . . 5 |- ( ( ( x - M ) = y <-> ( y + M ) = x ) <-> ( x = ( y + M ) <-> y = ( x - M ) ) )
4741, 46sylib 121 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> ( x = ( y + M ) <-> y = ( x - M ) ) )
4847ex 114 . . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) -> ( x = ( y + M ) <-> y = ( x - M ) ) ) )
496, 8, 21, 34, 48en3d 6735 . 2 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) ~~ NN0 )
50 nn0ennn 10368 . 2 |- NN0 ~~ NN
51 entr 6750 . 2 |- ( ( ( ZZ>= ` M ) ~~ NN0 /\ NN0 ~~ NN ) -> ( ZZ>= ` M ) ~~ NN )
5249, 50, 51sylancl 410 1 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) ~~ NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   {crab 2448   _Vcvv 2726   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   ~~ cen 6704   0cc0 7753   + caddc 7756   <_ cle 7934   - cmin 8069   NNcn 8857   NN0cn0 9114   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-er 6501  df-en 6707  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467
This theorem is referenced by:  exmidunben  12359
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