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Theorem uzennn 10545
Description: An upper integer set is equinumerous to the set of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
uzennn |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) ~~ NN )
Proof of Theorem uzennn
Dummy variables x y j k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-uz 9619 . . . . 5 |- ZZ>= = ( j e. ZZ |-> { k e. ZZ | j <_ k } )
2 zex 9352 . . . . . 6 |- ZZ e. _V
32mptex 5791 . . . . 5 |- ( j e. ZZ |-> { k e. ZZ | j <_ k } ) e. _V
41, 3eqeltri 2269 . . . 4 |- ZZ>= e. _V
5 fvexg 5580 . . . 4 |- ( ( ZZ>= e. _V /\ M e. ZZ ) -> ( ZZ>= ` M ) e. _V )
64, 5mpan 424 . . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) e. _V )
7 nn0ex 9272 . . . 4 |- NN0 e. _V
87a1i 9 . . 3 |- ( M e. ZZ -> NN0 e. _V )
9 eluzelz 9627 . . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. ZZ )
109adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ZZ )
11 simpl 109 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ZZ )
1210, 11zsubcld 9470 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( x - M ) e. ZZ )
13 eluzle 9630 . . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ x )
1413adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M <_ x )
1510zred 9465 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. RR )
1611zred 9465 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. RR )
1715, 16subge0d 8579 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( 0 <_ ( x - M ) <-> M <_ x ) )
1814, 17mpbird 167 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 <_ ( x - M ) )
19 elnn0z 9356 . . . . 5 |- ( ( x - M ) e. NN0 <-> ( ( x - M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( x - M ) ) )
2012, 18, 19sylanbrc 417 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( x - M ) e. NN0 )
2120ex 115 . . 3 |- ( M e. ZZ -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( x - M ) e. NN0 ) )
22 simpl 109 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> M e. ZZ )
23 nn0z 9363 . . . . . . 7 |- ( y e. NN0 -> y e. ZZ )
2423adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> y e. ZZ )
2524, 22zaddcld 9469 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> ( y + M ) e. ZZ )
26 nn0ge0 9291 . . . . . . 7 |- ( y e. NN0 -> 0 <_ y )
2726adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> 0 <_ y )
2822zred 9465 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> M e. RR )
2924zred 9465 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> y e. RR )
3028, 29addge02d 8578 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> ( 0 <_ y <-> M <_ ( y + M ) ) )
3127, 30mpbid 147 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> M <_ ( y + M ) )
32 eluz2 9624 . . . . 5 |- ( ( y + M ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( y + M ) e. ZZ /\ M <_ ( y + M ) ) )
3322, 25, 31, 32syl3anbrc 1183 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> ( y + M ) e. ( ZZ>= ` M ) )
3433ex 115 . . 3 |- ( M e. ZZ -> ( y e. NN0 -> ( y + M ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )
359ad2antrl 490 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> x e. ZZ )
3635zcnd 9466 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> x e. CC )
37 simpl 109 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> M e. ZZ )
3837zcnd 9466 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> M e. CC )
39 simprr 531 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> y e. NN0 )
4039nn0cnd 9321 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> y e. CC )
4136, 38, 40subadd2d 8373 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> ( ( x - M ) = y <-> ( y + M ) = x ) )
42 bicom 140 . . . . . 6 |- ( ( ( x - M ) = y <-> ( y + M ) = x ) <-> ( ( y + M ) = x <-> ( x - M ) = y ) )
43 eqcom 2198 . . . . . . 7 |- ( ( y + M ) = x <-> x = ( y + M ) )
44 eqcom 2198 . . . . . . 7 |- ( ( x - M ) = y <-> y = ( x - M ) )
4543, 44bibi12i 229 . . . . . 6 |- ( ( ( y + M ) = x <-> ( x - M ) = y ) <-> ( x = ( y + M ) <-> y = ( x - M ) ) )
4642, 45bitri 184 . . . . 5 |- ( ( ( x - M ) = y <-> ( y + M ) = x ) <-> ( x = ( y + M ) <-> y = ( x - M ) ) )
4741, 46sylib 122 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) ) -> ( x = ( y + M ) <-> y = ( x - M ) ) )
4847ex 115 . . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. NN0 ) -> ( x = ( y + M ) <-> y = ( x - M ) ) ) )
496, 8, 21, 34, 48en3d 6837 . 2 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) ~~ NN0 )
50 nn0ennn 10542 . 2 |- NN0 ~~ NN
51 entr 6852 . 2 |- ( ( ( ZZ>= ` M ) ~~ NN0 /\ NN0 ~~ NN ) -> ( ZZ>= ` M ) ~~ NN )
5249, 50, 51sylancl 413 1 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) ~~ NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   {crab 2479   _Vcvv 2763   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   ~~ cen 6806   0cc0 7896   + caddc 7899   <_ cle 8079   - cmin 8214   NNcn 9007   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-er 6601  df-en 6809  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619
This theorem is referenced by:  xnn0nnen  10546  exmidunben  12668
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