Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzennn Unicode version

Theorem uzennn 10260
 Description: An upper integer set is equinumerous to the set of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
uzennn

Proof of Theorem uzennn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-uz 9371 . . . . 5
2 zex 9107 . . . . . 6
32mptex 5655 . . . . 5
41, 3eqeltri 2213 . . . 4
5 fvexg 5449 . . . 4
64, 5mpan 421 . . 3
7 nn0ex 9027 . . . 4
87a1i 9 . . 3
9 eluzelz 9379 . . . . . . 7
109adantl 275 . . . . . 6
11 simpl 108 . . . . . 6
1210, 11zsubcld 9222 . . . . 5
13 eluzle 9382 . . . . . . 7
1413adantl 275 . . . . . 6
1510zred 9217 . . . . . . 7
1611zred 9217 . . . . . . 7
1715, 16subge0d 8341 . . . . . 6
1814, 17mpbird 166 . . . . 5
19 elnn0z 9111 . . . . 5
2012, 18, 19sylanbrc 414 . . . 4
2120ex 114 . . 3
22 simpl 108 . . . . 5
23 nn0z 9118 . . . . . . 7
2423adantl 275 . . . . . 6
2524, 22zaddcld 9221 . . . . 5
26 nn0ge0 9046 . . . . . . 7
2726adantl 275 . . . . . 6
2822zred 9217 . . . . . . 7
2924zred 9217 . . . . . . 7
3028, 29addge02d 8340 . . . . . 6
3127, 30mpbid 146 . . . . 5
32 eluz2 9376 . . . . 5
3322, 25, 31, 32syl3anbrc 1166 . . . 4
3433ex 114 . . 3
359ad2antrl 482 . . . . . . 7
3635zcnd 9218 . . . . . 6
37 simpl 108 . . . . . . 7
3837zcnd 9218 . . . . . 6
39 simprr 522 . . . . . . 7
4039nn0cnd 9076 . . . . . 6
4136, 38, 40subadd2d 8136 . . . . 5
42 bicom 139 . . . . . 6
43 eqcom 2142 . . . . . . 7
44 eqcom 2142 . . . . . . 7
4543, 44bibi12i 228 . . . . . 6
4642, 45bitri 183 . . . . 5
4741, 46sylib 121 . . . 4
4847ex 114 . . 3
496, 8, 21, 34, 48en3d 6672 . 2
50 nn0ennn 10257 . 2
51 entr 6687 . 2
5249, 50, 51sylancl 410 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1332   wcel 1481  crab 2421  cvv 2690   class class class wbr 3938   cmpt 3998  cfv 5132  (class class class)co 5783   cen 6641  cc0 7664   caddc 7667   cle 7845   cmin 7977  cn 8764  cn0 9021  cz 9098  cuz 9370 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-addcom 7764  ax-addass 7766  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-ltadd 7780 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-id 4224  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-er 6438  df-en 6644  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-inn 8765  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371 This theorem is referenced by:  exmidunben  11995
 Copyright terms: Public domain W3C validator