Theorem nnenom 10365

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of natural numbers as ordinals). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	|- NN ~~ om

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4569	. . 3 |- om e. _V
2		nn0ex 9116	. . 3 |- NN0 e. _V
3		eqid 2165	. . . 4 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
4	3	frechashgf1o 10359	. . 3 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : om -1-1-onto-> NN0
5		f1oen2g 6717	. . 3 |- ( ( om e. _V /\ NN0 e. _V /\ frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : om -1-1-onto-> NN0 ) -> om ~~ NN0 )
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1327	. 2 |- om ~~ NN0
7		nn0ennn 10364	. 2 |- NN0 ~~ NN
8	6, 7	entr2i 6749	1 |- NN ~~ om

Syntax hints:   e. wcel 2136   _Vcvv 2725   class class class wbr 3981   |-> cmpt 4042   omcom 4566   -1-1-onto->wf1o 5186  (class class class)co 5841  freccfrec 6354   ~~ cen 6700   0cc0 7749   1c1 7750   + caddc 7752   NNcn 8853   NN0cn0 9110   ZZcz 9187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-recs 6269  df-frec 6355  df-er 6497  df-en 6703  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463

This theorem is referenced by:  nnct  10366  xpomen  12324  ennnfonelemen  12350  exmidunben  12355  ctinfom  12357  ctinf  12359  qnnen  12360  nninfdc  12382  trilpo  13882  redcwlpo  13894  nconstwlpo  13904  neapmkv  13906