Theorem nnenom 10452

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of natural numbers as ordinals). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	|- NN ~~ om

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4607	. . 3 |- om e. _V
2		nn0ex 9200	. . 3 |- NN0 e. _V
3		eqid 2189	. . . 4 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
4	3	frechashgf1o 10446	. . 3 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : om -1-1-onto-> NN0
5		f1oen2g 6773	. . 3 |- ( ( om e. _V /\ NN0 e. _V /\ frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) : om -1-1-onto-> NN0 ) -> om ~~ NN0 )
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1348	. 2 |- om ~~ NN0
7		nn0ennn 10451	. 2 |- NN0 ~~ NN
8	6, 7	entr2i 6805	1 |- NN ~~ om

Syntax hints:   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   class class class wbr 4018   |-> cmpt 4079   omcom 4604   -1-1-onto->wf1o 5230  (class class class)co 5891  freccfrec 6409   ~~ cen 6756   0cc0 7829   1c1 7830   + caddc 7832   NNcn 8937   NN0cn0 9194   ZZcz 9271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-ltadd 7945

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-recs 6324  df-frec 6410  df-er 6553  df-en 6759  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-inn 8938  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547

This theorem is referenced by:  nnct  10453  xpomen  12414  ennnfonelemen  12440  exmidunben  12445  ctinfom  12447  ctinf  12449  qnnen  12450  nninfdc  12472  trilpo  15189  redcwlpo  15201  nconstwlpo  15212  neapmkv  15214