ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnenom Unicode version

Theorem nnenom 10214
Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
nnenom  |-  NN  ~~  om

Proof of Theorem nnenom
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 4507 . . 3  |-  om  e.  _V
2 nn0ex 8990 . . 3  |-  NN0  e.  _V
3 eqid 2139 . . . 4  |- frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )
43frechashgf1o 10208 . . 3  |- frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 ) : om -1-1-onto-> NN0
5 f1oen2g 6649 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  NN0 
e.  _V  /\ frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 ) : om -1-1-onto-> NN0 )  ->  om  ~~  NN0 )
61, 2, 4, 5mp3an 1315 . 2  |-  om  ~~  NN0
7 nn0ennn 10213 . 2  |-  NN0  ~~  NN
86, 7entr2i 6681 1  |-  NN  ~~  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1480   _Vcvv 2686   class class class wbr 3929    |-> cmpt 3989   omcom 4504   -1-1-onto->wf1o 5122  (class class class)co 5774  freccfrec 6287    ~~ cen 6632   0cc0 7627   1c1 7628    + caddc 7630   NNcn 8727   NN0cn0 8984   ZZcz 9061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-recs 6202  df-frec 6288  df-er 6429  df-en 6635  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334
This theorem is referenced by:  nnct  10215  xpomen  11915  ennnfonelemen  11941  exmidunben  11946  ctinfom  11948  ctinf  11950  qnnen  11951  trilpo  13266
  Copyright terms: Public domain W3C validator