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Theorem eftlub 11693
Description: An upper bound on the absolute value of the infinite tail of the series expansion of the exponential function on the closed unit disk. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eftl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
eftl.2  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  A ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) )
eftl.3  |-  H  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n ) ) )
eftl.4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
eftl.5  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
eftl.6  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <_  1 )
Assertion
Ref Expression
eftlub  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k ) )  <_  ( ( ( abs `  A ) ^ M )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  (
( ! `  M
)  x.  M ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, n, A   
k, F    k, G    k, M, n    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( n)    F( n)    G( n)    H( k, n)

Proof of Theorem eftlub
Dummy variables  j  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eftl.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 eftl.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
32nnnn0d 9227 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
4 eftl.1 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
54eftlcl 11691 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k )  e.  CC )
61, 3, 5syl2anc 411 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  k )  e.  CC )
76abscld 11185 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k ) )  e.  RR )
81abscld 11185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
9 eftl.2 . . . 4  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  A ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) )
109reeftlcl 11692 . . 3  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( G `
 k )  e.  RR )
118, 3, 10syl2anc 411 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k )  e.  RR )
128, 3reexpcld 10667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
) ^ M )  e.  RR )
13 peano2nn0 9214 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e. 
NN0 )
143, 13syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  NN0 )
1514nn0red 9228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
163faccld 10711 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  e.  NN )
1716, 2nnmulcld 8966 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  M )  x.  M
)  e.  NN )
1815, 17nndivred 8967 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  /  (
( ! `  M
)  x.  M ) )  e.  RR )
1912, 18remulcld 7986 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  x.  ( ( M  +  1 )  /  ( ( ! `
 M )  x.  M ) ) )  e.  RR )
20 eqid 2177 . . 3  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
212nnzd 9372 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
22 eqidd 2178 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
23 eluznn0 9597 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
k  e.  NN0 )
243, 23sylan 283 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  k  e.  NN0 )
254eftvalcn 11660 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( F `  k
)  =  ( ( A ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
261, 25sylan 283 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  =  ( ( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
27 eftcl 11657 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
281, 27sylan 283 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  CC )
2926, 28eqeltrd 2254 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
3024, 29syldan 282 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
314eftlcvg 11690 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  ->  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
321, 3, 31syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
3320, 21, 22, 30, 32isumclim2 11425 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( F `  k
) )
34 eqidd 2178 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
358recnd 7984 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  CC )
369eftvalcn 11660 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( G `  k
)  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
3735, 36sylan 283 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
38 reeftcl 11658 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( abs `  A ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  e.  RR )
398, 38sylan 283 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) )  e.  RR )
4037, 39eqeltrd 2254 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
4124, 40syldan 282 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  e.  RR )
4241recnd 7984 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  e.  CC )
439eftlcvg 11690 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  ->  seq M (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
4435, 3, 43syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
4520, 21, 34, 42, 44isumclim2 11425 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G )  ~~>  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  k
) )
46 eftabs 11659 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
471, 46sylan 283 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
4826fveq2d 5519 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( abs `  ( ( A ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) )
4947, 48, 373eqtr4rd 2221 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
5024, 49syldan 282 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  =  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
5120, 33, 45, 21, 30, 50iserabs 11478 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k ) )  <_  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k ) )
52 nn0uz 9560 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
53 0zd 9263 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
542nncnd 8931 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
55 nn0cn 9184 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN0  ->  j  e.  CC )
56 nn0ex 9180 . . . . . . . 8  |-  NN0  e.  _V
5756mptex 5742 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  e.  _V
589, 57eqeltri 2250 . . . . . 6  |-  G  e. 
_V
5958shftval4 10832 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  CC  /\  j  e.  CC )  ->  ( ( G  shift  -u M ) `  j
)  =  ( G `
 ( M  +  j ) ) )
6054, 55, 59syl2an 289 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( G  shift  -u M ) `  j )  =  ( G `  ( M  +  j ) ) )
6135adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
62 nn0addcl 9209 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( M  +  j )  e.  NN0 )
633, 62sylan 283 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( M  +  j )  e. 
NN0 )
649eftvalcn 11660 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  ( M  +  j
)  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( M  +  j )
)  =  ( ( ( abs `  A
) ^ ( M  +  j ) )  /  ( ! `  ( M  +  j
) ) ) )
6561, 63, 64syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( M  +  j ) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ ( M  +  j ) )  /  ( ! `  ( M  +  j
) ) ) )
668adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
67 reeftcl 11658 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  ( M  +  j
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ ( M  +  j )
)  /  ( ! `
 ( M  +  j ) ) )  e.  RR )
6866, 63, 67syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ ( M  +  j ) )  /  ( ! `  ( M  +  j
) ) )  e.  RR )
6965, 68eqeltrd 2254 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( M  +  j ) )  e.  RR )
70 simpr 110 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  NN0 )
7112, 16nndivred 8967 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  e.  RR )
7271adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  e.  RR )
732peano2nnd 8932 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
7473nnrecred 8964 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( M  +  1 ) )  e.  RR )
75 reexpcl 10534 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  /  ( M  +  1 ) )  e.  RR  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
)  e.  RR )
7674, 75sylan 283 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j )  e.  RR )
7772, 76remulcld 7986 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) )  e.  RR )
78 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( n  =  j  ->  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n )  =  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
j ) )
7978oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( n  =  j  ->  (
( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
n ) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) ) )
80 eftl.3 . . . . . 6  |-  H  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n ) ) )
8179, 80fvmptg 5592 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  NN0  /\  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) )  e.  RR )  ->  ( H `  j )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
j ) ) )
8270, 77, 81syl2anc 411 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( H `  j )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
j ) ) )
8366, 63reexpcld 10667 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  A ) ^
( M  +  j ) )  e.  RR )
8412adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  A ) ^ M )  e.  RR )
8563faccld 10711 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  ( M  +  j ) )  e.  NN )
8685nnred 8930 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  ( M  +  j ) )  e.  RR )
8786, 77remulcld 7986 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  ( M  +  j ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) ) )  e.  RR )
883adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
89 uzid 9540 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9021, 89syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
91 uzaddcl 9584 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( M  +  j )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9290, 91sylan 283 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( M  +  j )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
931absge0d 11188 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
9493adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
95 eftl.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <_  1 )
9695adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( abs `  A )  <_  1
)
9766, 88, 92, 94, 96leexp2rd 10680 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  A ) ^
( M  +  j ) )  <_  (
( abs `  A
) ^ M ) )
9816adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  M )  e.  NN )
99 nnexpcl 10530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 ) ^ j
)  e.  NN )
10073, 99sylan 283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  1 ) ^ j )  e.  NN )
10198, 100nnmulcld 8966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  e.  NN )
102101nnred 8930 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  e.  RR )
1038, 3, 93expge0d 10668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( abs `  A ) ^ M ) )
10412, 103jca 306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( abs `  A ) ^ M
) ) )
105104adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ M )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( abs `  A
) ^ M ) ) )
106 faclbnd6 10719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  M )  x.  (
( M  +  1 ) ^ j ) )  <_  ( ! `  ( M  +  j ) ) )
1073, 106sylan 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  <_  ( ! `  ( M  +  j ) ) )
108 lemul1a 8813 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  e.  RR  /\  ( ! `  ( M  +  j )
)  e.  RR  /\  ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( abs `  A ) ^ M
) ) )  /\  ( ( ! `  M )  x.  (
( M  +  1 ) ^ j ) )  <_  ( ! `  ( M  +  j ) ) )  -> 
( ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  x.  (
( abs `  A
) ^ M ) )  <_  ( ( ! `  ( M  +  j ) )  x.  ( ( abs `  A ) ^ M
) ) )
109102, 86, 105, 107, 108syl31anc 1241 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ! `  M
)  x.  ( ( M  +  1 ) ^ j ) )  x.  ( ( abs `  A ) ^ M
) )  <_  (
( ! `  ( M  +  j )
)  x.  ( ( abs `  A ) ^ M ) ) )
11086, 84remulcld 7986 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  ( M  +  j ) )  x.  ( ( abs `  A ) ^ M
) )  e.  RR )
111101nnrpd 9692 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  e.  RR+ )
11284, 110, 111lemuldiv2d 9745 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( ! `  M )  x.  (
( M  +  1 ) ^ j ) )  x.  ( ( abs `  A ) ^ M ) )  <_  ( ( ! `
 ( M  +  j ) )  x.  ( ( abs `  A
) ^ M ) )  <->  ( ( abs `  A ) ^ M
)  <_  ( (
( ! `  ( M  +  j )
)  x.  ( ( abs `  A ) ^ M ) )  /  ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) ) ) )
113109, 112mpbid 147 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  A ) ^ M )  <_  (
( ( ! `  ( M  +  j
) )  x.  (
( abs `  A
) ^ M ) )  /  ( ( ! `  M )  x.  ( ( M  +  1 ) ^
j ) ) ) )
11485nncnd 8931 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  ( M  +  j ) )  e.  CC )
11512recnd 7984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
) ^ M )  e.  CC )
116115adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  A ) ^ M )  e.  CC )
117101nncnd 8931 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  e.  CC )
118101nnap0d 8963 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) #  0 )
119114, 116, 117, 118divassapd 8781 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ! `  ( M  +  j )
)  x.  ( ( abs `  A ) ^ M ) )  /  ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) )  =  ( ( ! `  ( M  +  j
) )  x.  (
( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) ) ) )
12073nncnd 8931 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  CC )
121120adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( M  +  1 )  e.  CC )
12273adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
123122nnap0d 8963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( M  +  1 ) #  0 )
124 nn0z 9271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN0  ->  j  e.  ZZ )
125124adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  ZZ )
126121, 123, 125exprecapd 10658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j )  =  ( 1  /  (
( M  +  1 ) ^ j ) ) )
127126oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( 1  / 
( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) ) )
12871recnd 7984 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  e.  CC )
129128adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  e.  CC )
130100nncnd 8931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  1 ) ^ j )  e.  CC )
131100nnap0d 8963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  1 ) ^ j ) #  0 )
132129, 130, 131divrecapd 8748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  / 
( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( 1  / 
( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) ) )
13316nncnd 8931 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  e.  CC )
134133adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  M )  e.  CC )
13598nnap0d 8963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  M ) #  0 )
136116, 134, 130, 135, 131divdivap1d 8777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  / 
( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) ) )
137127, 132, 1363eqtr2rd 2217 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ M )  /  ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) ) )
138137oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  ( M  +  j ) )  x.  ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ( ! `  M )  x.  (
( M  +  1 ) ^ j ) ) ) )  =  ( ( ! `  ( M  +  j
) )  x.  (
( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
j ) ) ) )
139119, 138eqtrd 2210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ! `  ( M  +  j )
)  x.  ( ( abs `  A ) ^ M ) )  /  ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) )  =  ( ( ! `  ( M  +  j
) )  x.  (
( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
j ) ) ) )
140113, 139breqtrd 4029 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  A ) ^ M )  <_  (
( ! `  ( M  +  j )
)  x.  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) ) ) )
14183, 84, 87, 97, 140letrd 8079 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  A ) ^
( M  +  j ) )  <_  (
( ! `  ( M  +  j )
)  x.  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) ) ) )
14285nngt0d 8961 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  0  <  ( ! `  ( M  +  j ) ) )
143 ledivmul 8832 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( abs `  A
) ^ ( M  +  j ) )  e.  RR  /\  (
( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
j ) )  e.  RR  /\  ( ( ! `  ( M  +  j ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ! `  ( M  +  j )
) ) )  -> 
( ( ( ( abs `  A ) ^ ( M  +  j ) )  / 
( ! `  ( M  +  j )
) )  <_  (
( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
j ) )  <->  ( ( abs `  A ) ^
( M  +  j ) )  <_  (
( ! `  ( M  +  j )
)  x.  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) ) ) ) )
14483, 77, 86, 142, 143syl112anc 1242 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ ( M  +  j ) )  /  ( ! `  ( M  +  j
) ) )  <_ 
( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) )  <->  ( ( abs `  A ) ^ ( M  +  j )
)  <_  ( ( ! `  ( M  +  j ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) ) ) ) )
145141, 144mpbird 167 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ ( M  +  j ) )  /  ( ! `  ( M  +  j
) ) )  <_ 
( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) ) )
14665, 145eqbrtrd 4025 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( M  +  j ) )  <_  (
( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
j ) ) )
14758a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  _V )
14821znegcld 9375 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u M  e.  ZZ )
149 0cn 7948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  CC
150 subneg 8204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( 0  -  -u M
)  =  ( 0  +  M ) )
151149, 150mpan 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  CC  ->  (
0  -  -u M
)  =  ( 0  +  M ) )
152 addlid 8094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  CC  ->  (
0  +  M )  =  M )
153151, 152eqtrd 2210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  CC  ->  (
0  -  -u M
)  =  M )
15454, 153syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  -  -u M
)  =  M )
155154fveq2d 5519 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( 0  -  -u M ) )  =  ( ZZ>= `  M
) )
156155eleq2d 2247 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  ( 0  - 
-u M ) )  <-> 
k  e.  ( ZZ>= `  M ) ) )
157156pm5.32i 454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  -  -u M ) ) )  <->  ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) ) )
158157, 41sylbi 121 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  -  -u M ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
159 readdcl 7936 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( k  +  y )  e.  RR )
160159adantl 277 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( k  +  y )  e.  RR )
161147, 53, 148, 158, 160seq3shft 10842 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( G  shift  -u M ) )  =  (  seq ( 0  -  -u M ) (  +  ,  G ) 
shift  -u M ) )
162 seqex 10444 . . . . . . 7  |-  seq (
0  -  -u M
) (  +  ,  G )  e.  _V
16354negcld 8253 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u M  e.  CC )
164 ovshftex 10823 . . . . . . 7  |-  ( (  seq ( 0  - 
-u M ) (  +  ,  G )  e.  _V  /\  -u M  e.  CC )  ->  (  seq ( 0  -  -u M
) (  +  ,  G )  shift  -u M
)  e.  _V )
165162, 163, 164sylancr 414 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq ( 0  -  -u M ) (  +  ,  G ) 
shift  -u M )  e. 
_V )
16620, 21, 34, 41, 44isumrecl 11432 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k )  e.  RR )
167154seqeq1d 10448 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq ( 0  - 
-u M ) (  +  ,  G )  =  seq M (  +  ,  G ) )
168167, 45eqbrtrd 4025 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq ( 0  - 
-u M ) (  +  ,  G )  ~~> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k ) )
169 climshft 11307 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u M  e.  ZZ  /\ 
seq ( 0  - 
-u M ) (  +  ,  G )  e.  _V )  -> 
( (  seq (
0  -  -u M
) (  +  ,  G )  shift  -u M
)  ~~>  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k )  <->  seq ( 0  -  -u M
) (  +  ,  G )  ~~>  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  k
) ) )
170148, 162, 169sylancl 413 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  seq (
0  -  -u M
) (  +  ,  G )  shift  -u M
)  ~~>  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k )  <->  seq ( 0  -  -u M
) (  +  ,  G )  ~~>  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  k
) ) )
171168, 170mpbird 167 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq ( 0  -  -u M ) (  +  ,  G ) 
shift  -u M )  ~~>  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  k
) )
172 breldmg 4833 . . . . . 6  |-  ( ( (  seq ( 0  -  -u M ) (  +  ,  G ) 
shift  -u M )  e. 
_V  /\  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  k
)  e.  RR  /\  (  seq ( 0  - 
-u M ) (  +  ,  G ) 
shift  -u M )  ~~>  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  k
) )  ->  (  seq ( 0  -  -u M
) (  +  ,  G )  shift  -u M
)  e.  dom  ~~>  )
173165, 166, 171, 172syl3anc 1238 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq ( 0  -  -u M ) (  +  ,  G ) 
shift  -u M )  e. 
dom 
~~>  )
174161, 173eqeltrd 2254 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( G  shift  -u M ) )  e. 
dom 
~~>  )
175 seqex 10444 . . . . . 6  |-  seq 0
(  +  ,  H
)  e.  _V
176175a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  e. 
_V )
1772nnge1d 8960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <_  M )
178 1nn 8928 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN
179 nnleltp1 9310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 1  <_  M  <->  1  <  ( M  + 
1 ) ) )
180178, 2, 179sylancr 414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  M  <->  1  <  ( M  + 
1 ) ) )
181177, 180mpbid 147 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <  ( M  +  1 ) )
18214nn0ge0d 9230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( M  +  1 ) )
18315, 182absidd 11171 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( M  +  1 ) )  =  ( M  +  1 ) )
184181, 183breqtrrd 4031 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <  ( abs `  ( M  +  1 ) ) )
18574adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 1  /  ( M  + 
1 ) )  e.  RR )
186185, 70reexpcld 10667 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j )  e.  RR )
187 eqid 2177 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
n ) )
18878, 187fvmptg 5592 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  NN0  /\  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
)  e.  RR )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n ) ) `
 j )  =  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) )
18970, 186, 188syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n ) ) `
 j )  =  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) )
190120, 184, 189georeclim 11516 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
n ) ) )  ~~>  ( ( M  + 
1 )  /  (
( M  +  1 )  -  1 ) ) )
19176recnd 7984 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j )  e.  CC )
192189, 191eqeltrd 2254 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n ) ) `
 j )  e.  CC )
193189oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
n ) ) `  j ) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) ) )
19482, 193eqtr4d 2213 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( H `  j )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n ) ) `
 j ) ) )
19552, 53, 128, 190, 192, 194isermulc2 11343 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  (
( M  +  1 )  -  1 ) ) ) )
196 ax-1cn 7903 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
197 pncan 8161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
19854, 196, 197sylancl 413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
199198oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  /  (
( M  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( M  +  1 )  /  M ) )
200199oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( M  +  1 )  /  ( ( M  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  M
) ) )
20115, 2nndivred 8967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  /  M
)  e.  RR )
202201recnd 7984 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  /  M
)  e.  CC )
20316nnap0d 8963 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
) #  0 )
204115, 202, 133, 203div23apd 8783 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  M
) )  /  ( ! `  M )
)  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  M
) ) )
205200, 204eqtr4d 2213 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( M  +  1 )  /  ( ( M  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  x.  ( ( M  +  1 )  /  M ) )  / 
( ! `  M
) ) )
206115, 202, 133, 203divassapd 8781 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  M
) )  /  ( ! `  M )
)  =  ( ( ( abs `  A
) ^ M )  x.  ( ( ( M  +  1 )  /  M )  / 
( ! `  M
) ) ) )
2072nnap0d 8963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M #  0 )
208120, 54, 133, 207, 203divdivap1d 8777 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  1 )  /  M )  /  ( ! `  M )
)  =  ( ( M  +  1 )  /  ( M  x.  ( ! `  M ) ) ) )
20954, 133mulcomd 7977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  x.  ( ! `  M )
)  =  ( ( ! `  M )  x.  M ) )
210209oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  /  ( M  x.  ( ! `  M ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  / 
( ( ! `  M )  x.  M
) ) )
211208, 210eqtrd 2210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  1 )  /  M )  /  ( ! `  M )
)  =  ( ( M  +  1 )  /  ( ( ! `
 M )  x.  M ) ) )
212211oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  x.  ( ( ( M  +  1 )  /  M )  /  ( ! `  M ) ) )  =  ( ( ( abs `  A ) ^ M )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  (
( ! `  M
)  x.  M ) ) ) )
213205, 206, 2123eqtrd 2214 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( M  +  1 )  /  ( ( M  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ M )  x.  ( ( M  +  1 )  / 
( ( ! `  M )  x.  M
) ) ) )
214195, 213breqtrd 4029 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( ( abs `  A
) ^ M )  x.  ( ( M  +  1 )  / 
( ( ! `  M )  x.  M
) ) ) )
215 breldmg 4833 . . . . 5  |-  ( (  seq 0 (  +  ,  H )  e. 
_V  /\  ( (
( abs `  A
) ^ M )  x.  ( ( M  +  1 )  / 
( ( ! `  M )  x.  M
) ) )  e.  RR  /\  seq 0
(  +  ,  H
)  ~~>  ( ( ( abs `  A ) ^ M )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  (
( ! `  M
)  x.  M ) ) ) )  ->  seq 0 (  +  ,  H )  e.  dom  ~~>  )
216176, 19, 214, 215syl3anc 1238 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  e. 
dom 
~~>  )
21752, 53, 60, 69, 82, 77, 146, 174, 216isumle 11498 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  NN0  ( G `  ( M  +  j ) )  <_  sum_ j  e.  NN0  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) ) )
218 eqid 2177 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  ( 0  +  M
) )  =  (
ZZ>= `  ( 0  +  M ) )
219 fveq2 5515 . . . . 5  |-  ( k  =  ( M  +  j )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( M  +  j
) ) )
22054addid2d 8105 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  +  M
)  =  M )
221220fveq2d 5519 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( 0  +  M ) )  =  ( ZZ>= `  M )
)
222221eleq2d 2247 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  ( 0  +  M ) )  <->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
) )
223222biimpa 296 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  M ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )
224223, 42syldan 282 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  M ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
22552, 218, 219, 21, 53, 224isumshft 11493 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( 0  +  M ) ) ( G `  k )  =  sum_ j  e.  NN0  ( G `  ( M  +  j ) ) )
226221sumeq1d 11369 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( 0  +  M ) ) ( G `  k )  =  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k ) )
227225, 226eqtr3d 2212 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  NN0  ( G `  ( M  +  j ) )  =  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k ) )
22877recnd 7984 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) )  e.  CC )
22952, 53, 82, 228, 214isumclim 11424 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ M )  x.  ( ( M  +  1 )  / 
( ( ! `  M )  x.  M
) ) ) )
230217, 227, 2293brtr3d 4034 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k )  <_  ( ( ( abs `  A ) ^ M )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  (
( ! `  M
)  x.  M ) ) ) )
2317, 11, 19, 51, 230letrd 8079 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k ) )  <_  ( ( ( abs `  A ) ^ M )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  (
( ! `  M
)  x.  M ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2737   class class class wbr 4003    |-> cmpt 4064   dom cdm 4626   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   CCcc 7808   RRcr 7809   0cc0 7810   1c1 7811    + caddc 7813    x. cmul 7815    < clt 7990    <_ cle 7991    - cmin 8126   -ucneg 8127    / cdiv 8627   NNcn 8917   NN0cn0 9174   ZZcz 9251   ZZ>=cuz 9526    seqcseq 10442   ^cexp 10516   !cfa 10700    shift cshi 10818   abscabs 11001    ~~> cli 11281   sum_csu 11356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-ico 9892  df-fz 10007  df-fzo 10140  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-fac 10701  df-ihash 10751  df-shft 10819  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-clim 11282  df-sumdc 11357
This theorem is referenced by:  ef01bndlem  11759  eirraplem  11779  dveflem  14080
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