Theorem eftlub 11872

Description: An upper bound on the absolute value of the infinite tail of the series expansion of the exponential function on the closed unit disk. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eftl.1	|- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
eftl.2	|- G = ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
eftl.3	|- H = ( n e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) )
eftl.4	|- ( ph -> M e. NN )
eftl.5	|- ( ph -> A e. CC )
eftl.6	|- ( ph -> ( abs ` A ) <_ 1 )

Assertion

Ref	Expression
eftlub	|- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) ) <_ ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, n, A   k, F   k, G   k, M, n   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( n)   F( n)   G( n)   H( k, n)

Proof of Theorem eftlub

Dummy variables j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eftl.5	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
2		eftl.4	. . . . 5 |- ( ph -> M e. NN )
3	2	nnnn0d 9319	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN0 )
4		eftl.1	. . . . 5 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
5	4	eftlcl 11870	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. CC )
6	1, 3, 5	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. CC )
7	6	abscld 11363	. 2 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) ) e. RR )
8	1	abscld 11363	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )
9		eftl.2	. . . 4 |- G = ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
10	9	reeftlcl 11871	. . 3 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ M e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. RR )
11	8, 3, 10	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. RR )
12	8, 3	reexpcld 10799	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) ^ M ) e. RR )
13		peano2nn0 9306	. . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. NN0 )
14	3, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN0 )
15	14	nn0red 9320	. . . 4 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. RR )
16	3	faccld 10845	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` M ) e. NN )
17	16, 2	nnmulcld 9056	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` M ) x. M ) e. NN )
18	15, 17	nndivred 9057	. . 3 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) e. RR )
19	12, 18	remulcld 8074	. 2 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) e. RR )
20		eqid 2196	. . 3 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
21	2	nnzd 9464	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
22		eqidd 2197	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
23		eluznn0 9690	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN0 )
24	3, 23	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN0 )
25	4	eftvalcn 11839	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
26	1, 25	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
27		eftcl 11836	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
28	1, 27	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
29	26, 28	eqeltrd 2273	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. CC )
30	24, 29	syldan 282	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
31	4	eftlcvg 11869	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
32	1, 3, 31	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
33	20, 21, 22, 30, 32	isumclim2 11604	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) )
34		eqidd 2197	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) )
35	8	recnd 8072	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. CC )
36	9	eftvalcn 11839	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
37	35, 36	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
38		reeftcl 11837	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
39	8, 38	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
40	37, 39	eqeltrd 2273	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. RR )
41	24, 40	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
42	41	recnd 8072	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
43	9	eftlcvg 11869	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ M e. NN0 ) -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> )
44	35, 3, 43	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> )
45	20, 21, 34, 42, 44	isumclim2 11604	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , G ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) )
46		eftabs 11838	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
47	1, 46	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
48	26	fveq2d 5565	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( abs ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
49	47, 48, 37	3eqtr4rd 2240	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
50	24, 49	syldan 282	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
51	20, 33, 45, 21, 30, 50	iserabs 11657	. 2 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) ) <_ sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) )
52		nn0uz 9653	. . . 4 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
53		0zd 9355	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
54	2	nncnd 9021	. . . . 5 |- ( ph -> M e. CC )
55		nn0cn 9276	. . . . 5 |- ( j e. NN0 -> j e. CC )
56		nn0ex 9272	. . . . . . . 8 |- NN0 e. _V
57	56	mptex 5791	. . . . . . 7 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) e. _V
58	9, 57	eqeltri 2269	. . . . . 6 |- G e. _V
59	58	shftval4 11010	. . . . 5 |- ( ( M e. CC /\ j e. CC ) -> ( ( G shift -u M ) ` j ) = ( G ` ( M + j ) ) )
60	54, 55, 59	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( G shift -u M ) ` j ) = ( G ` ( M + j ) ) )
61	35	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` A ) e. CC )
62		nn0addcl 9301	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ j e. NN0 ) -> ( M + j ) e. NN0 )
63	3, 62	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( M + j ) e. NN0 )
64	9	eftvalcn 11839	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ ( M + j ) e. NN0 ) -> ( G ` ( M + j ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) )
65	61, 63, 64	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( G ` ( M + j ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) )
66	8	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
67		reeftcl 11837	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ ( M + j ) e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) e. RR )
68	66, 63, 67	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) e. RR )
69	65, 68	eqeltrd 2273	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( G ` ( M + j ) ) e. RR )
70		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> j e. NN0 )
71	12, 16	nndivred 9057	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) e. RR )
72	71	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) e. RR )
73	2	peano2nnd 9022	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN )
74	73	nnrecred 9054	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 / ( M + 1 ) ) e. RR )
75		reexpcl 10665	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 / ( M + 1 ) ) e. RR /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) e. RR )
76	74, 75	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) e. RR )
77	72, 76	remulcld 8074	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) e. RR )
78		oveq2 5933	. . . . . . 7 |- ( n = j -> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) = ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) )
79	78	oveq2d 5941	. . . . . 6 |- ( n = j -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
80		eftl.3	. . . . . 6 |- H = ( n e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) )
81	79, 80	fvmptg 5640	. . . . 5 |- ( ( j e. NN0 /\ ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) e. RR ) -> ( H ` j ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
82	70, 77, 81	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( H ` j ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
83	66, 63	reexpcld 10799	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) e. RR )
84	12	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ M ) e. RR )
85	63	faccld 10845	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` ( M + j ) ) e. NN )
86	85	nnred 9020	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` ( M + j ) ) e. RR )
87	86, 77	remulcld 8074	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) e. RR )
88	3	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> M e. NN0 )
89		uzid 9632	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
90	21, 89	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
91		uzaddcl 9677	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` M ) /\ j e. NN0 ) -> ( M + j ) e. ( ZZ>= ` M ) )
92	90, 91	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( M + j ) e. ( ZZ>= ` M ) )
93	1	absge0d 11366	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` A ) )
94	93	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
95		eftl.6	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` A ) <_ 1 )
96	95	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` A ) <_ 1 )
97	66, 88, 92, 94, 96	leexp2rd 10812	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) <_ ( ( abs ` A ) ^ M ) )
98	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` M ) e. NN )
99		nnexpcl 10661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M + 1 ) e. NN /\ j e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) ^ j ) e. NN )
100	73, 99	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) ^ j ) e. NN )
101	98, 100	nnmulcld 9056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) e. NN )
102	101	nnred 9020	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) e. RR )
103	8, 3, 93	expge0d 10800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( ( abs ` A ) ^ M ) )
104	12, 103	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) e. RR /\ 0 <_ ( ( abs ` A ) ^ M ) ) )
105	104	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) e. RR /\ 0 <_ ( ( abs ` A ) ^ M ) ) )
106		faclbnd6 10853	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) <_ ( ! ` ( M + j ) ) )
107	3, 106	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) <_ ( ! ` ( M + j ) ) )
108		lemul1a 8902	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) e. RR /\ ( ! ` ( M + j ) ) e. RR /\ ( ( ( abs ` A ) ^ M ) e. RR /\ 0 <_ ( ( abs ` A ) ^ M ) ) ) /\ ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) <_ ( ! ` ( M + j ) ) ) -> ( ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) )
109	102, 86, 105, 107, 108	syl31anc 1252	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) )
110	86, 84	remulcld 8074	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) e. RR )
111	101	nnrpd 9786	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) e. RR+ )
112	84, 110, 111	lemuldiv2d 9839	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) <-> ( ( abs ` A ) ^ M ) <_ ( ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) ) )
113	109, 112	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ M ) <_ ( ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) )
114	85	nncnd 9021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` ( M + j ) ) e. CC )
115	12	recnd 8072	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) ^ M ) e. CC )
116	115	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ M ) e. CC )
117	101	nncnd 9021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) e. CC )
118	101	nnap0d 9053	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) # 0 )
119	114, 116, 117, 118	divassapd 8870	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) = ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) ) )
120	73	nncnd 9021	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. CC )
121	120	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( M + 1 ) e. CC )
122	73	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( M + 1 ) e. NN )
123	122	nnap0d 9053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( M + 1 ) # 0 )
124		nn0z 9363	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN0 -> j e. ZZ )
125	124	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> j e. ZZ )
126	121, 123, 125	exprecapd 10790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) = ( 1 / ( ( M + 1 ) ^ j ) ) )
127	126	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( 1 / ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) )
128	71	recnd 8072	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) e. CC )
129	128	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) e. CC )
130	100	nncnd 9021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) ^ j ) e. CC )
131	100	nnap0d 9053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) ^ j ) # 0 )
132	129, 130, 131	divrecapd 8837	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) / ( ( M + 1 ) ^ j ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( 1 / ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) )
133	16	nncnd 9021	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ! ` M ) e. CC )
134	133	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` M ) e. CC )
135	98	nnap0d 9053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` M ) # 0 )
136	116, 134, 130, 135, 131	divdivap1d 8866	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) / ( ( M + 1 ) ^ j ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) )
137	127, 132, 136	3eqtr2rd 2236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
138	137	oveq2d 5941	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) ) = ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) )
139	119, 138	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) = ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) )
140	113, 139	breqtrd 4060	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ M ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) )
141	83, 84, 87, 97, 140	letrd 8167	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) )
142	85	nngt0d 9051	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> 0 < ( ! ` ( M + j ) ) )
143		ledivmul 8921	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) e. RR /\ ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) e. RR /\ ( ( ! ` ( M + j ) ) e. RR /\ 0 < ( ! ` ( M + j ) ) ) ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) <-> ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) ) )
144	83, 77, 86, 142, 143	syl112anc 1253	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) <-> ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) ) )
145	141, 144	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
146	65, 145	eqbrtrd 4056	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( G ` ( M + j ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
147	58	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. _V )
148	21	znegcld 9467	. . . . . 6 |- ( ph -> -u M e. ZZ )
149		0cn 8035	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. CC
150		subneg 8292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. CC /\ M e. CC ) -> ( 0 - -u M ) = ( 0 + M ) )
151	149, 150	mpan 424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. CC -> ( 0 - -u M ) = ( 0 + M ) )
152		addlid 8182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. CC -> ( 0 + M ) = M )
153	151, 152	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. CC -> ( 0 - -u M ) = M )
154	54, 153	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 - -u M ) = M )
155	154	fveq2d 5565	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( 0 - -u M ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
156	155	eleq2d 2266	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` ( 0 - -u M ) ) <-> k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
157	156	pm5.32i 454	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( 0 - -u M ) ) ) <-> ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
158	157, 41	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( 0 - -u M ) ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
159		readdcl 8022	. . . . . . 7 |- ( ( k e. RR /\ y e. RR ) -> ( k + y ) e. RR )
160	159	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( k + y ) e. RR )
161	147, 53, 148, 158, 160	seq3shft 11020	. . . . 5 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( G shift -u M ) ) = ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) )
162		seqex 10558	. . . . . . 7 |- seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) e. _V
163	54	negcld 8341	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u M e. CC )
164		ovshftex 11001	. . . . . . 7 |- ( ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) e. _V /\ -u M e. CC ) -> ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) e. _V )
165	162, 163, 164	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) e. _V )
166	20, 21, 34, 41, 44	isumrecl 11611	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. RR )
167	154	seqeq1d 10562	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) = seq M ( + , G ) )
168	167, 45	eqbrtrd 4056	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) )
169		climshft 11486	. . . . . . . 8 |- ( ( -u M e. ZZ /\ seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) e. _V ) -> ( ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) <-> seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) ) )
170	148, 162, 169	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) <-> seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) ) )
171	168, 170	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) )
172		breldmg 4873	. . . . . 6 |- ( ( ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) e. _V /\ sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. RR /\ ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) ) -> ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) e. dom ~~> )
173	165, 166, 171, 172	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) e. dom ~~> )
174	161, 173	eqeltrd 2273	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( G shift -u M ) ) e. dom ~~> )
175		seqex 10558	. . . . . 6 |- seq 0 ( + , H ) e. _V
176	175	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) e. _V )
177	2	nnge1d 9050	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 <_ M )
178		1nn 9018	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN
179		nnleltp1 9402	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. NN /\ M e. NN ) -> ( 1 <_ M <-> 1 < ( M + 1 ) ) )
180	178, 2, 179	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 <_ M <-> 1 < ( M + 1 ) ) )
181	177, 180	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 < ( M + 1 ) )
182	14	nn0ge0d 9322	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ ( M + 1 ) )
183	15, 182	absidd 11349	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( M + 1 ) ) = ( M + 1 ) )
184	181, 183	breqtrrd 4062	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 < ( abs ` ( M + 1 ) ) )
185	74	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( 1 / ( M + 1 ) ) e. RR )
186	185, 70	reexpcld 10799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) e. RR )
187		eqid 2196	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) )
188	78, 187	fvmptg 5640	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. NN0 /\ ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) e. RR ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) ` j ) = ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) )
189	70, 186, 188	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) ` j ) = ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) )
190	120, 184, 189	georeclim 11695	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) ) ~~> ( ( M + 1 ) / ( ( M + 1 ) - 1 ) ) )
191	76	recnd 8072	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) e. CC )
192	189, 191	eqeltrd 2273	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) ` j ) e. CC )
193	189	oveq2d 5941	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) ` j ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
194	82, 193	eqtr4d 2232	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( H ` j ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) ` j ) ) )
195	52, 53, 128, 190, 192, 194	isermulc2 11522	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( M + 1 ) - 1 ) ) ) )
196		ax-1cn 7989	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
197		pncan 8249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
198	54, 196, 197	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
199	198	oveq2d 5941	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) / ( ( M + 1 ) - 1 ) ) = ( ( M + 1 ) / M ) )
200	199	oveq2d 5941	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( M + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( M + 1 ) / M ) ) )
201	15, 2	nndivred 9057	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) / M ) e. RR )
202	201	recnd 8072	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) / M ) e. CC )
203	16	nnap0d 9053	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ! ` M ) # 0 )
204	115, 202, 133, 203	div23apd 8872	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / M ) ) / ( ! ` M ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( M + 1 ) / M ) ) )
205	200, 204	eqtr4d 2232	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( M + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / M ) ) / ( ! ` M ) ) )
206	115, 202, 133, 203	divassapd 8870	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / M ) ) / ( ! ` M ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( ( M + 1 ) / M ) / ( ! ` M ) ) ) )
207	2	nnap0d 9053	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M # 0 )
208	120, 54, 133, 207, 203	divdivap1d 8866	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( M + 1 ) / M ) / ( ! ` M ) ) = ( ( M + 1 ) / ( M x. ( ! ` M ) ) ) )
209	54, 133	mulcomd 8065	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M x. ( ! ` M ) ) = ( ( ! ` M ) x. M ) )
210	209	oveq2d 5941	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) / ( M x. ( ! ` M ) ) ) = ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) )
211	208, 210	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M + 1 ) / M ) / ( ! ` M ) ) = ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) )
212	211	oveq2d 5941	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( ( M + 1 ) / M ) / ( ! ` M ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )
213	205, 206, 212	3eqtrd 2233	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( M + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )
214	195, 213	breqtrd 4060	. . . . 5 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )
215		breldmg 4873	. . . . 5 |- ( ( seq 0 ( + , H ) e. _V /\ ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) e. RR /\ seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) ) -> seq 0 ( + , H ) e. dom ~~> )
216	176, 19, 214, 215	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) e. dom ~~> )
217	52, 53, 60, 69, 82, 77, 146, 174, 216	isumle 11677	. . 3 |- ( ph -> sum_ j e. NN0 ( G ` ( M + j ) ) <_ sum_ j e. NN0 ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
218		eqid 2196	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) = ( ZZ>= ` ( 0 + M ) )
219		fveq2 5561	. . . . 5 |- ( k = ( M + j ) -> ( G ` k ) = ( G ` ( M + j ) ) )
220	54	addlidd 8193	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 + M ) = M )
221	220	fveq2d 5565	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
222	221	eleq2d 2266	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) <-> k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
223	222	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
224	223, 42	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
225	52, 218, 219, 21, 53, 224	isumshft 11672	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) ( G ` k ) = sum_ j e. NN0 ( G ` ( M + j ) ) )
226	221	sumeq1d 11548	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) )
227	225, 226	eqtr3d 2231	. . 3 |- ( ph -> sum_ j e. NN0 ( G ` ( M + j ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) )
228	77	recnd 8072	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) e. CC )
229	52, 53, 82, 228, 214	isumclim 11603	. . 3 |- ( ph -> sum_ j e. NN0 ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )
230	217, 227, 229	3brtr3d 4065	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) <_ ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )
231	7, 11, 19, 51, 230	letrd 8167	1 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) ) <_ ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   dom cdm 4664   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7894   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   x. cmul 7901   < clt 8078   <_ cle 8079   - cmin 8214   -ucneg 8215   / cdiv 8716   NNcn 9007   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   seqcseq 10556   ^cexp 10647   !cfa 10834   shift cshi 10996   abscabs 11179   ~~> cli 11460   sum_csu 11535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-ico 9986  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-fac 10835  df-ihash 10885  df-shft 10997  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536

This theorem is referenced by:  ef01bndlem  11938  eirraplem  11959  dveflem  15046