Theorem eftlub 11698

Description: An upper bound on the absolute value of the infinite tail of the series expansion of the exponential function on the closed unit disk. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eftl.1	|- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
eftl.2	|- G = ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
eftl.3	|- H = ( n e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) )
eftl.4	|- ( ph -> M e. NN )
eftl.5	|- ( ph -> A e. CC )
eftl.6	|- ( ph -> ( abs ` A ) <_ 1 )

Assertion

Ref	Expression
eftlub	|- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) ) <_ ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, n, A   k, F   k, G   k, M, n   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( n)   F( n)   G( n)   H( k, n)

Proof of Theorem eftlub

Dummy variables j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eftl.5	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
2		eftl.4	. . . . 5 |- ( ph -> M e. NN )
3	2	nnnn0d 9229	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN0 )
4		eftl.1	. . . . 5 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
5	4	eftlcl 11696	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. CC )
6	1, 3, 5	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. CC )
7	6	abscld 11190	. 2 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) ) e. RR )
8	1	abscld 11190	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )
9		eftl.2	. . . 4 |- G = ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
10	9	reeftlcl 11697	. . 3 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ M e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. RR )
11	8, 3, 10	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. RR )
12	8, 3	reexpcld 10671	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) ^ M ) e. RR )
13		peano2nn0 9216	. . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. NN0 )
14	3, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN0 )
15	14	nn0red 9230	. . . 4 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. RR )
16	3	faccld 10716	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` M ) e. NN )
17	16, 2	nnmulcld 8968	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` M ) x. M ) e. NN )
18	15, 17	nndivred 8969	. . 3 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) e. RR )
19	12, 18	remulcld 7988	. 2 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) e. RR )
20		eqid 2177	. . 3 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
21	2	nnzd 9374	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
22		eqidd 2178	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
23		eluznn0 9599	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN0 )
24	3, 23	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN0 )
25	4	eftvalcn 11665	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
26	1, 25	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
27		eftcl 11662	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
28	1, 27	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
29	26, 28	eqeltrd 2254	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. CC )
30	24, 29	syldan 282	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
31	4	eftlcvg 11695	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
32	1, 3, 31	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
33	20, 21, 22, 30, 32	isumclim2 11430	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) )
34		eqidd 2178	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) )
35	8	recnd 7986	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. CC )
36	9	eftvalcn 11665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
37	35, 36	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
38		reeftcl 11663	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
39	8, 38	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
40	37, 39	eqeltrd 2254	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. RR )
41	24, 40	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
42	41	recnd 7986	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
43	9	eftlcvg 11695	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ M e. NN0 ) -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> )
44	35, 3, 43	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> )
45	20, 21, 34, 42, 44	isumclim2 11430	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , G ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) )
46		eftabs 11664	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
47	1, 46	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
48	26	fveq2d 5520	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( abs ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
49	47, 48, 37	3eqtr4rd 2221	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
50	24, 49	syldan 282	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
51	20, 33, 45, 21, 30, 50	iserabs 11483	. 2 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) ) <_ sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) )
52		nn0uz 9562	. . . 4 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
53		0zd 9265	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
54	2	nncnd 8933	. . . . 5 |- ( ph -> M e. CC )
55		nn0cn 9186	. . . . 5 |- ( j e. NN0 -> j e. CC )
56		nn0ex 9182	. . . . . . . 8 |- NN0 e. _V
57	56	mptex 5743	. . . . . . 7 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) e. _V
58	9, 57	eqeltri 2250	. . . . . 6 |- G e. _V
59	58	shftval4 10837	. . . . 5 |- ( ( M e. CC /\ j e. CC ) -> ( ( G shift -u M ) ` j ) = ( G ` ( M + j ) ) )
60	54, 55, 59	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( G shift -u M ) ` j ) = ( G ` ( M + j ) ) )
61	35	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` A ) e. CC )
62		nn0addcl 9211	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ j e. NN0 ) -> ( M + j ) e. NN0 )
63	3, 62	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( M + j ) e. NN0 )
64	9	eftvalcn 11665	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ ( M + j ) e. NN0 ) -> ( G ` ( M + j ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) )
65	61, 63, 64	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( G ` ( M + j ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) )
66	8	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
67		reeftcl 11663	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ ( M + j ) e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) e. RR )
68	66, 63, 67	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) e. RR )
69	65, 68	eqeltrd 2254	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( G ` ( M + j ) ) e. RR )
70		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> j e. NN0 )
71	12, 16	nndivred 8969	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) e. RR )
72	71	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) e. RR )
73	2	peano2nnd 8934	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN )
74	73	nnrecred 8966	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 / ( M + 1 ) ) e. RR )
75		reexpcl 10537	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 / ( M + 1 ) ) e. RR /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) e. RR )
76	74, 75	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) e. RR )
77	72, 76	remulcld 7988	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) e. RR )
78		oveq2 5883	. . . . . . 7 |- ( n = j -> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) = ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) )
79	78	oveq2d 5891	. . . . . 6 |- ( n = j -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
80		eftl.3	. . . . . 6 |- H = ( n e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) )
81	79, 80	fvmptg 5593	. . . . 5 |- ( ( j e. NN0 /\ ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) e. RR ) -> ( H ` j ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
82	70, 77, 81	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( H ` j ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
83	66, 63	reexpcld 10671	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) e. RR )
84	12	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ M ) e. RR )
85	63	faccld 10716	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` ( M + j ) ) e. NN )
86	85	nnred 8932	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` ( M + j ) ) e. RR )
87	86, 77	remulcld 7988	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) e. RR )
88	3	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> M e. NN0 )
89		uzid 9542	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
90	21, 89	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
91		uzaddcl 9586	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` M ) /\ j e. NN0 ) -> ( M + j ) e. ( ZZ>= ` M ) )
92	90, 91	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( M + j ) e. ( ZZ>= ` M ) )
93	1	absge0d 11193	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` A ) )
94	93	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
95		eftl.6	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` A ) <_ 1 )
96	95	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` A ) <_ 1 )
97	66, 88, 92, 94, 96	leexp2rd 10684	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) <_ ( ( abs ` A ) ^ M ) )
98	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` M ) e. NN )
99		nnexpcl 10533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M + 1 ) e. NN /\ j e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) ^ j ) e. NN )
100	73, 99	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) ^ j ) e. NN )
101	98, 100	nnmulcld 8968	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) e. NN )
102	101	nnred 8932	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) e. RR )
103	8, 3, 93	expge0d 10672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( ( abs ` A ) ^ M ) )
104	12, 103	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) e. RR /\ 0 <_ ( ( abs ` A ) ^ M ) ) )
105	104	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) e. RR /\ 0 <_ ( ( abs ` A ) ^ M ) ) )
106		faclbnd6 10724	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) <_ ( ! ` ( M + j ) ) )
107	3, 106	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) <_ ( ! ` ( M + j ) ) )
108		lemul1a 8815	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) e. RR /\ ( ! ` ( M + j ) ) e. RR /\ ( ( ( abs ` A ) ^ M ) e. RR /\ 0 <_ ( ( abs ` A ) ^ M ) ) ) /\ ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) <_ ( ! ` ( M + j ) ) ) -> ( ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) )
109	102, 86, 105, 107, 108	syl31anc 1241	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) )
110	86, 84	remulcld 7988	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) e. RR )
111	101	nnrpd 9694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) e. RR+ )
112	84, 110, 111	lemuldiv2d 9747	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) <-> ( ( abs ` A ) ^ M ) <_ ( ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) ) )
113	109, 112	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ M ) <_ ( ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) )
114	85	nncnd 8933	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` ( M + j ) ) e. CC )
115	12	recnd 7986	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) ^ M ) e. CC )
116	115	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ M ) e. CC )
117	101	nncnd 8933	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) e. CC )
118	101	nnap0d 8965	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) # 0 )
119	114, 116, 117, 118	divassapd 8783	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) = ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) ) )
120	73	nncnd 8933	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. CC )
121	120	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( M + 1 ) e. CC )
122	73	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( M + 1 ) e. NN )
123	122	nnap0d 8965	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( M + 1 ) # 0 )
124		nn0z 9273	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN0 -> j e. ZZ )
125	124	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> j e. ZZ )
126	121, 123, 125	exprecapd 10662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) = ( 1 / ( ( M + 1 ) ^ j ) ) )
127	126	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( 1 / ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) )
128	71	recnd 7986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) e. CC )
129	128	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) e. CC )
130	100	nncnd 8933	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) ^ j ) e. CC )
131	100	nnap0d 8965	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) ^ j ) # 0 )
132	129, 130, 131	divrecapd 8750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) / ( ( M + 1 ) ^ j ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( 1 / ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) )
133	16	nncnd 8933	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ! ` M ) e. CC )
134	133	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` M ) e. CC )
135	98	nnap0d 8965	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` M ) # 0 )
136	116, 134, 130, 135, 131	divdivap1d 8779	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) / ( ( M + 1 ) ^ j ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) )
137	127, 132, 136	3eqtr2rd 2217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
138	137	oveq2d 5891	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) ) = ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) )
139	119, 138	eqtrd 2210	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) = ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) )
140	113, 139	breqtrd 4030	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ M ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) )
141	83, 84, 87, 97, 140	letrd 8081	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) )
142	85	nngt0d 8963	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> 0 < ( ! ` ( M + j ) ) )
143		ledivmul 8834	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) e. RR /\ ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) e. RR /\ ( ( ! ` ( M + j ) ) e. RR /\ 0 < ( ! ` ( M + j ) ) ) ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) <-> ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) ) )
144	83, 77, 86, 142, 143	syl112anc 1242	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) <-> ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) ) )
145	141, 144	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
146	65, 145	eqbrtrd 4026	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( G ` ( M + j ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
147	58	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. _V )
148	21	znegcld 9377	. . . . . 6 |- ( ph -> -u M e. ZZ )
149		0cn 7949	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. CC
150		subneg 8206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. CC /\ M e. CC ) -> ( 0 - -u M ) = ( 0 + M ) )
151	149, 150	mpan 424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. CC -> ( 0 - -u M ) = ( 0 + M ) )
152		addlid 8096	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. CC -> ( 0 + M ) = M )
153	151, 152	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. CC -> ( 0 - -u M ) = M )
154	54, 153	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 - -u M ) = M )
155	154	fveq2d 5520	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( 0 - -u M ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
156	155	eleq2d 2247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` ( 0 - -u M ) ) <-> k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
157	156	pm5.32i 454	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( 0 - -u M ) ) ) <-> ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
158	157, 41	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( 0 - -u M ) ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
159		readdcl 7937	. . . . . . 7 |- ( ( k e. RR /\ y e. RR ) -> ( k + y ) e. RR )
160	159	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( k + y ) e. RR )
161	147, 53, 148, 158, 160	seq3shft 10847	. . . . 5 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( G shift -u M ) ) = ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) )
162		seqex 10447	. . . . . . 7 |- seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) e. _V
163	54	negcld 8255	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u M e. CC )
164		ovshftex 10828	. . . . . . 7 |- ( ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) e. _V /\ -u M e. CC ) -> ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) e. _V )
165	162, 163, 164	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) e. _V )
166	20, 21, 34, 41, 44	isumrecl 11437	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. RR )
167	154	seqeq1d 10451	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) = seq M ( + , G ) )
168	167, 45	eqbrtrd 4026	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) )
169		climshft 11312	. . . . . . . 8 |- ( ( -u M e. ZZ /\ seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) e. _V ) -> ( ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) <-> seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) ) )
170	148, 162, 169	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) <-> seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) ) )
171	168, 170	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) )
172		breldmg 4834	. . . . . 6 |- ( ( ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) e. _V /\ sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. RR /\ ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) ) -> ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) e. dom ~~> )
173	165, 166, 171, 172	syl3anc 1238	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) e. dom ~~> )
174	161, 173	eqeltrd 2254	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( G shift -u M ) ) e. dom ~~> )
175		seqex 10447	. . . . . 6 |- seq 0 ( + , H ) e. _V
176	175	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) e. _V )
177	2	nnge1d 8962	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 <_ M )
178		1nn 8930	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN
179		nnleltp1 9312	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. NN /\ M e. NN ) -> ( 1 <_ M <-> 1 < ( M + 1 ) ) )
180	178, 2, 179	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 <_ M <-> 1 < ( M + 1 ) ) )
181	177, 180	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 < ( M + 1 ) )
182	14	nn0ge0d 9232	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ ( M + 1 ) )
183	15, 182	absidd 11176	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( M + 1 ) ) = ( M + 1 ) )
184	181, 183	breqtrrd 4032	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 < ( abs ` ( M + 1 ) ) )
185	74	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( 1 / ( M + 1 ) ) e. RR )
186	185, 70	reexpcld 10671	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) e. RR )
187		eqid 2177	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) )
188	78, 187	fvmptg 5593	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. NN0 /\ ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) e. RR ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) ` j ) = ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) )
189	70, 186, 188	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) ` j ) = ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) )
190	120, 184, 189	georeclim 11521	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) ) ~~> ( ( M + 1 ) / ( ( M + 1 ) - 1 ) ) )
191	76	recnd 7986	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) e. CC )
192	189, 191	eqeltrd 2254	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) ` j ) e. CC )
193	189	oveq2d 5891	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) ` j ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
194	82, 193	eqtr4d 2213	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( H ` j ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) ` j ) ) )
195	52, 53, 128, 190, 192, 194	isermulc2 11348	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( M + 1 ) - 1 ) ) ) )
196		ax-1cn 7904	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
197		pncan 8163	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
198	54, 196, 197	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
199	198	oveq2d 5891	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) / ( ( M + 1 ) - 1 ) ) = ( ( M + 1 ) / M ) )
200	199	oveq2d 5891	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( M + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( M + 1 ) / M ) ) )
201	15, 2	nndivred 8969	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) / M ) e. RR )
202	201	recnd 7986	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) / M ) e. CC )
203	16	nnap0d 8965	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ! ` M ) # 0 )
204	115, 202, 133, 203	div23apd 8785	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / M ) ) / ( ! ` M ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( M + 1 ) / M ) ) )
205	200, 204	eqtr4d 2213	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( M + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / M ) ) / ( ! ` M ) ) )
206	115, 202, 133, 203	divassapd 8783	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / M ) ) / ( ! ` M ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( ( M + 1 ) / M ) / ( ! ` M ) ) ) )
207	2	nnap0d 8965	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M # 0 )
208	120, 54, 133, 207, 203	divdivap1d 8779	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( M + 1 ) / M ) / ( ! ` M ) ) = ( ( M + 1 ) / ( M x. ( ! ` M ) ) ) )
209	54, 133	mulcomd 7979	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M x. ( ! ` M ) ) = ( ( ! ` M ) x. M ) )
210	209	oveq2d 5891	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) / ( M x. ( ! ` M ) ) ) = ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) )
211	208, 210	eqtrd 2210	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M + 1 ) / M ) / ( ! ` M ) ) = ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) )
212	211	oveq2d 5891	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( ( M + 1 ) / M ) / ( ! ` M ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )
213	205, 206, 212	3eqtrd 2214	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( M + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )
214	195, 213	breqtrd 4030	. . . . 5 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )
215		breldmg 4834	. . . . 5 |- ( ( seq 0 ( + , H ) e. _V /\ ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) e. RR /\ seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) ) -> seq 0 ( + , H ) e. dom ~~> )
216	176, 19, 214, 215	syl3anc 1238	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) e. dom ~~> )
217	52, 53, 60, 69, 82, 77, 146, 174, 216	isumle 11503	. . 3 |- ( ph -> sum_ j e. NN0 ( G ` ( M + j ) ) <_ sum_ j e. NN0 ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
218		eqid 2177	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) = ( ZZ>= ` ( 0 + M ) )
219		fveq2 5516	. . . . 5 |- ( k = ( M + j ) -> ( G ` k ) = ( G ` ( M + j ) ) )
220	54	addid2d 8107	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 + M ) = M )
221	220	fveq2d 5520	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
222	221	eleq2d 2247	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) <-> k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
223	222	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
224	223, 42	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
225	52, 218, 219, 21, 53, 224	isumshft 11498	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) ( G ` k ) = sum_ j e. NN0 ( G ` ( M + j ) ) )
226	221	sumeq1d 11374	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) )
227	225, 226	eqtr3d 2212	. . 3 |- ( ph -> sum_ j e. NN0 ( G ` ( M + j ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) )
228	77	recnd 7986	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) e. CC )
229	52, 53, 82, 228, 214	isumclim 11429	. . 3 |- ( ph -> sum_ j e. NN0 ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )
230	217, 227, 229	3brtr3d 4035	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) <_ ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )
231	7, 11, 19, 51, 230	letrd 8081	1 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) ) <_ ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2738   class class class wbr 4004   |-> cmpt 4065   dom cdm 4627   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   CCcc 7809   RRcr 7810   0cc0 7811   1c1 7812   + caddc 7814   x. cmul 7816   < clt 7992   <_ cle 7993   - cmin 8128   -ucneg 8129   / cdiv 8629   NNcn 8919   NN0cn0 9176   ZZcz 9253   ZZ>=cuz 9528   seqcseq 10445   ^cexp 10519   !cfa 10705   shift cshi 10823   abscabs 11006   ~~> cli 11286   sum_csu 11361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-ico 9894  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-fac 10706  df-ihash 10756  df-shft 10824  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362

This theorem is referenced by:  ef01bndlem  11764  eirraplem  11784  dveflem  14190