Theorem eftlub 12331

Description: An upper bound on the absolute value of the infinite tail of the series expansion of the exponential function on the closed unit disk. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eftl.1	|- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
eftl.2	|- G = ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
eftl.3	|- H = ( n e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) )
eftl.4	|- ( ph -> M e. NN )
eftl.5	|- ( ph -> A e. CC )
eftl.6	|- ( ph -> ( abs ` A ) <_ 1 )

Assertion

Ref	Expression
eftlub	|- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) ) <_ ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, n, A   k, F   k, G   k, M, n   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( n)   F( n)   G( n)   H( k, n)

Proof of Theorem eftlub

Dummy variables j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eftl.5	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
2		eftl.4	. . . . 5 |- ( ph -> M e. NN )
3	2	nnnn0d 9516	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN0 )
4		eftl.1	. . . . 5 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
5	4	eftlcl 12329	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. CC )
6	1, 3, 5	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. CC )
7	6	abscld 11821	. 2 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) ) e. RR )
8	1	abscld 11821	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )
9		eftl.2	. . . 4 |- G = ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
10	9	reeftlcl 12330	. . 3 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ M e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. RR )
11	8, 3, 10	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. RR )
12	8, 3	reexpcld 11015	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) ^ M ) e. RR )
13		peano2nn0 9501	. . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. NN0 )
14	3, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN0 )
15	14	nn0red 9517	. . . 4 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. RR )
16	3	faccld 11061	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` M ) e. NN )
17	16, 2	nnmulcld 9251	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` M ) x. M ) e. NN )
18	15, 17	nndivred 9252	. . 3 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) e. RR )
19	12, 18	remulcld 8269	. 2 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) e. RR )
20		eqid 2231	. . 3 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
21	2	nnzd 9662	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
22		eqidd 2232	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
23		eluznn0 9894	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN0 )
24	3, 23	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN0 )
25	4	eftvalcn 12298	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
26	1, 25	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
27		eftcl 12295	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
28	1, 27	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
29	26, 28	eqeltrd 2308	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. CC )
30	24, 29	syldan 282	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
31	4	eftlcvg 12328	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
32	1, 3, 31	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
33	20, 21, 22, 30, 32	isumclim2 12063	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) )
34		eqidd 2232	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) )
35	8	recnd 8267	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. CC )
36	9	eftvalcn 12298	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
37	35, 36	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
38		reeftcl 12296	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
39	8, 38	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
40	37, 39	eqeltrd 2308	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. RR )
41	24, 40	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
42	41	recnd 8267	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
43	9	eftlcvg 12328	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ M e. NN0 ) -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> )
44	35, 3, 43	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> )
45	20, 21, 34, 42, 44	isumclim2 12063	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , G ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) )
46		eftabs 12297	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
47	1, 46	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
48	26	fveq2d 5652	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( abs ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
49	47, 48, 37	3eqtr4rd 2275	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
50	24, 49	syldan 282	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
51	20, 33, 45, 21, 30, 50	iserabs 12116	. 2 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) ) <_ sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) )
52		nn0uz 9852	. . . 4 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
53		0zd 9552	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
54	2	nncnd 9216	. . . . 5 |- ( ph -> M e. CC )
55		nn0cn 9471	. . . . 5 |- ( j e. NN0 -> j e. CC )
56		nn0ex 9467	. . . . . . . 8 |- NN0 e. _V
57	56	mptex 5890	. . . . . . 7 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) e. _V
58	9, 57	eqeltri 2304	. . . . . 6 |- G e. _V
59	58	shftval4 11468	. . . . 5 |- ( ( M e. CC /\ j e. CC ) -> ( ( G shift -u M ) ` j ) = ( G ` ( M + j ) ) )
60	54, 55, 59	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( G shift -u M ) ` j ) = ( G ` ( M + j ) ) )
61	35	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` A ) e. CC )
62		nn0addcl 9496	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ j e. NN0 ) -> ( M + j ) e. NN0 )
63	3, 62	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( M + j ) e. NN0 )
64	9	eftvalcn 12298	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ ( M + j ) e. NN0 ) -> ( G ` ( M + j ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) )
65	61, 63, 64	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( G ` ( M + j ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) )
66	8	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
67		reeftcl 12296	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ ( M + j ) e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) e. RR )
68	66, 63, 67	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) e. RR )
69	65, 68	eqeltrd 2308	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( G ` ( M + j ) ) e. RR )
70		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> j e. NN0 )
71	12, 16	nndivred 9252	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) e. RR )
72	71	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) e. RR )
73	2	peano2nnd 9217	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN )
74	73	nnrecred 9249	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 / ( M + 1 ) ) e. RR )
75		reexpcl 10881	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 / ( M + 1 ) ) e. RR /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) e. RR )
76	74, 75	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) e. RR )
77	72, 76	remulcld 8269	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) e. RR )
78		oveq2 6036	. . . . . . 7 |- ( n = j -> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) = ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) )
79	78	oveq2d 6044	. . . . . 6 |- ( n = j -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
80		eftl.3	. . . . . 6 |- H = ( n e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) )
81	79, 80	fvmptg 5731	. . . . 5 |- ( ( j e. NN0 /\ ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) e. RR ) -> ( H ` j ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
82	70, 77, 81	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( H ` j ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
83	66, 63	reexpcld 11015	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) e. RR )
84	12	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ M ) e. RR )
85	63	faccld 11061	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` ( M + j ) ) e. NN )
86	85	nnred 9215	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` ( M + j ) ) e. RR )
87	86, 77	remulcld 8269	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) e. RR )
88	3	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> M e. NN0 )
89		uzid 9831	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
90	21, 89	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
91		uzaddcl 9881	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` M ) /\ j e. NN0 ) -> ( M + j ) e. ( ZZ>= ` M ) )
92	90, 91	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( M + j ) e. ( ZZ>= ` M ) )
93	1	absge0d 11824	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` A ) )
94	93	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
95		eftl.6	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` A ) <_ 1 )
96	95	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` A ) <_ 1 )
97	66, 88, 92, 94, 96	leexp2rd 11028	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) <_ ( ( abs ` A ) ^ M ) )
98	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` M ) e. NN )
99		nnexpcl 10877	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M + 1 ) e. NN /\ j e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) ^ j ) e. NN )
100	73, 99	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) ^ j ) e. NN )
101	98, 100	nnmulcld 9251	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) e. NN )
102	101	nnred 9215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) e. RR )
103	8, 3, 93	expge0d 11016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( ( abs ` A ) ^ M ) )
104	12, 103	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) e. RR /\ 0 <_ ( ( abs ` A ) ^ M ) ) )
105	104	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) e. RR /\ 0 <_ ( ( abs ` A ) ^ M ) ) )
106		faclbnd6 11069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) <_ ( ! ` ( M + j ) ) )
107	3, 106	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) <_ ( ! ` ( M + j ) ) )
108		lemul1a 9097	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) e. RR /\ ( ! ` ( M + j ) ) e. RR /\ ( ( ( abs ` A ) ^ M ) e. RR /\ 0 <_ ( ( abs ` A ) ^ M ) ) ) /\ ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) <_ ( ! ` ( M + j ) ) ) -> ( ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) )
109	102, 86, 105, 107, 108	syl31anc 1277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) )
110	86, 84	remulcld 8269	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) e. RR )
111	101	nnrpd 9990	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) e. RR+ )
112	84, 110, 111	lemuldiv2d 10043	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) <-> ( ( abs ` A ) ^ M ) <_ ( ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) ) )
113	109, 112	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ M ) <_ ( ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) )
114	85	nncnd 9216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` ( M + j ) ) e. CC )
115	12	recnd 8267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) ^ M ) e. CC )
116	115	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ M ) e. CC )
117	101	nncnd 9216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) e. CC )
118	101	nnap0d 9248	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) # 0 )
119	114, 116, 117, 118	divassapd 9065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) = ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) ) )
120	73	nncnd 9216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. CC )
121	120	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( M + 1 ) e. CC )
122	73	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( M + 1 ) e. NN )
123	122	nnap0d 9248	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( M + 1 ) # 0 )
124		nn0z 9560	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN0 -> j e. ZZ )
125	124	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> j e. ZZ )
126	121, 123, 125	exprecapd 11006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) = ( 1 / ( ( M + 1 ) ^ j ) ) )
127	126	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( 1 / ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) )
128	71	recnd 8267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) e. CC )
129	128	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) e. CC )
130	100	nncnd 9216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) ^ j ) e. CC )
131	100	nnap0d 9248	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) ^ j ) # 0 )
132	129, 130, 131	divrecapd 9032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) / ( ( M + 1 ) ^ j ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( 1 / ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) )
133	16	nncnd 9216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ! ` M ) e. CC )
134	133	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` M ) e. CC )
135	98	nnap0d 9248	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` M ) # 0 )
136	116, 134, 130, 135, 131	divdivap1d 9061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) / ( ( M + 1 ) ^ j ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) )
137	127, 132, 136	3eqtr2rd 2271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
138	137	oveq2d 6044	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) ) = ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) )
139	119, 138	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) = ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) )
140	113, 139	breqtrd 4119	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ M ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) )
141	83, 84, 87, 97, 140	letrd 8362	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) )
142	85	nngt0d 9246	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> 0 < ( ! ` ( M + j ) ) )
143		ledivmul 9116	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) e. RR /\ ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) e. RR /\ ( ( ! ` ( M + j ) ) e. RR /\ 0 < ( ! ` ( M + j ) ) ) ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) <-> ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) ) )
144	83, 77, 86, 142, 143	syl112anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) <-> ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) ) )
145	141, 144	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
146	65, 145	eqbrtrd 4115	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( G ` ( M + j ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
147	58	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. _V )
148	21	znegcld 9665	. . . . . 6 |- ( ph -> -u M e. ZZ )
149		0cn 8231	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. CC
150		subneg 8487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. CC /\ M e. CC ) -> ( 0 - -u M ) = ( 0 + M ) )
151	149, 150	mpan 424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. CC -> ( 0 - -u M ) = ( 0 + M ) )
152		addlid 8377	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. CC -> ( 0 + M ) = M )
153	151, 152	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. CC -> ( 0 - -u M ) = M )
154	54, 153	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 - -u M ) = M )
155	154	fveq2d 5652	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( 0 - -u M ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
156	155	eleq2d 2301	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` ( 0 - -u M ) ) <-> k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
157	156	pm5.32i 454	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( 0 - -u M ) ) ) <-> ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
158	157, 41	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( 0 - -u M ) ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
159		readdcl 8218	. . . . . . 7 |- ( ( k e. RR /\ y e. RR ) -> ( k + y ) e. RR )
160	159	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( k + y ) e. RR )
161	147, 53, 148, 158, 160	seq3shft 11478	. . . . 5 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( G shift -u M ) ) = ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) )
162		seqex 10774	. . . . . . 7 |- seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) e. _V
163	54	negcld 8536	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u M e. CC )
164		ovshftex 11459	. . . . . . 7 |- ( ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) e. _V /\ -u M e. CC ) -> ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) e. _V )
165	162, 163, 164	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) e. _V )
166	20, 21, 34, 41, 44	isumrecl 12070	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. RR )
167	154	seqeq1d 10778	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) = seq M ( + , G ) )
168	167, 45	eqbrtrd 4115	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) )
169		climshft 11944	. . . . . . . 8 |- ( ( -u M e. ZZ /\ seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) e. _V ) -> ( ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) <-> seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) ) )
170	148, 162, 169	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) <-> seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) ) )
171	168, 170	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) )
172		breldmg 4943	. . . . . 6 |- ( ( ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) e. _V /\ sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. RR /\ ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) ) -> ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) e. dom ~~> )
173	165, 166, 171, 172	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) e. dom ~~> )
174	161, 173	eqeltrd 2308	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( G shift -u M ) ) e. dom ~~> )
175		seqex 10774	. . . . . 6 |- seq 0 ( + , H ) e. _V
176	175	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) e. _V )
177	2	nnge1d 9245	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 <_ M )
178		1nn 9213	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN
179		nnleltp1 9600	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. NN /\ M e. NN ) -> ( 1 <_ M <-> 1 < ( M + 1 ) ) )
180	178, 2, 179	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 <_ M <-> 1 < ( M + 1 ) ) )
181	177, 180	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 < ( M + 1 ) )
182	14	nn0ge0d 9519	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ ( M + 1 ) )
183	15, 182	absidd 11807	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( M + 1 ) ) = ( M + 1 ) )
184	181, 183	breqtrrd 4121	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 < ( abs ` ( M + 1 ) ) )
185	74	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( 1 / ( M + 1 ) ) e. RR )
186	185, 70	reexpcld 11015	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) e. RR )
187		eqid 2231	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) )
188	78, 187	fvmptg 5731	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. NN0 /\ ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) e. RR ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) ` j ) = ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) )
189	70, 186, 188	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) ` j ) = ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) )
190	120, 184, 189	georeclim 12154	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) ) ~~> ( ( M + 1 ) / ( ( M + 1 ) - 1 ) ) )
191	76	recnd 8267	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) e. CC )
192	189, 191	eqeltrd 2308	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) ` j ) e. CC )
193	189	oveq2d 6044	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) ` j ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
194	82, 193	eqtr4d 2267	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( H ` j ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) ` j ) ) )
195	52, 53, 128, 190, 192, 194	isermulc2 11980	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( M + 1 ) - 1 ) ) ) )
196		ax-1cn 8185	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
197		pncan 8444	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
198	54, 196, 197	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
199	198	oveq2d 6044	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) / ( ( M + 1 ) - 1 ) ) = ( ( M + 1 ) / M ) )
200	199	oveq2d 6044	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( M + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( M + 1 ) / M ) ) )
201	15, 2	nndivred 9252	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) / M ) e. RR )
202	201	recnd 8267	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) / M ) e. CC )
203	16	nnap0d 9248	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ! ` M ) # 0 )
204	115, 202, 133, 203	div23apd 9067	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / M ) ) / ( ! ` M ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( M + 1 ) / M ) ) )
205	200, 204	eqtr4d 2267	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( M + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / M ) ) / ( ! ` M ) ) )
206	115, 202, 133, 203	divassapd 9065	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / M ) ) / ( ! ` M ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( ( M + 1 ) / M ) / ( ! ` M ) ) ) )
207	2	nnap0d 9248	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M # 0 )
208	120, 54, 133, 207, 203	divdivap1d 9061	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( M + 1 ) / M ) / ( ! ` M ) ) = ( ( M + 1 ) / ( M x. ( ! ` M ) ) ) )
209	54, 133	mulcomd 8260	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M x. ( ! ` M ) ) = ( ( ! ` M ) x. M ) )
210	209	oveq2d 6044	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) / ( M x. ( ! ` M ) ) ) = ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) )
211	208, 210	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M + 1 ) / M ) / ( ! ` M ) ) = ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) )
212	211	oveq2d 6044	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( ( M + 1 ) / M ) / ( ! ` M ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )
213	205, 206, 212	3eqtrd 2268	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( M + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )
214	195, 213	breqtrd 4119	. . . . 5 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )
215		breldmg 4943	. . . . 5 |- ( ( seq 0 ( + , H ) e. _V /\ ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) e. RR /\ seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) ) -> seq 0 ( + , H ) e. dom ~~> )
216	176, 19, 214, 215	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) e. dom ~~> )
217	52, 53, 60, 69, 82, 77, 146, 174, 216	isumle 12136	. . 3 |- ( ph -> sum_ j e. NN0 ( G ` ( M + j ) ) <_ sum_ j e. NN0 ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
218		eqid 2231	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) = ( ZZ>= ` ( 0 + M ) )
219		fveq2 5648	. . . . 5 |- ( k = ( M + j ) -> ( G ` k ) = ( G ` ( M + j ) ) )
220	54	addlidd 8388	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 + M ) = M )
221	220	fveq2d 5652	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
222	221	eleq2d 2301	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) <-> k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
223	222	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
224	223, 42	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
225	52, 218, 219, 21, 53, 224	isumshft 12131	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) ( G ` k ) = sum_ j e. NN0 ( G ` ( M + j ) ) )
226	221	sumeq1d 12006	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) )
227	225, 226	eqtr3d 2266	. . 3 |- ( ph -> sum_ j e. NN0 ( G ` ( M + j ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) )
228	77	recnd 8267	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) e. CC )
229	52, 53, 82, 228, 214	isumclim 12062	. . 3 |- ( ph -> sum_ j e. NN0 ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )
230	217, 227, 229	3brtr3d 4124	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) <_ ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )
231	7, 11, 19, 51, 230	letrd 8362	1 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) ) <_ ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   class class class wbr 4093   |-> cmpt 4155   dom cdm 4731   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8090   RRcr 8091   0cc0 8092   1c1 8093   + caddc 8095   x. cmul 8097   < clt 8273   <_ cle 8274   - cmin 8409   -ucneg 8410   / cdiv 8911   NNcn 9202   NN0cn0 9461   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816   seqcseq 10772   ^cexp 10863   !cfa 11050   shift cshi 11454   abscabs 11637   ~~> cli 11918   sum_csu 11993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-ico 10190  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-fac 11051  df-ihash 11101  df-shft 11455  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-clim 11919  df-sumdc 11994

This theorem is referenced by:  ef01bndlem  12397  eirraplem  12418  dveflem  15537