Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eftlub Unicode version

Theorem eftlub 11580
 Description: An upper bound on the absolute value of the infinite tail of the series expansion of the exponential function on the closed unit disk. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eftl.1
eftl.2
eftl.3
eftl.4
eftl.5
eftl.6
Assertion
Ref Expression
eftlub
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   (,)

Proof of Theorem eftlub
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eftl.5 . . . 4
2 eftl.4 . . . . 5
32nnnn0d 9137 . . . 4
4 eftl.1 . . . . 5
54eftlcl 11578 . . . 4
61, 3, 5syl2anc 409 . . 3
76abscld 11074 . 2
81abscld 11074 . . 3
9 eftl.2 . . . 4
109reeftlcl 11579 . . 3
118, 3, 10syl2anc 409 . 2
128, 3reexpcld 10561 . . 3
13 peano2nn0 9124 . . . . . 6
143, 13syl 14 . . . . 5
1514nn0red 9138 . . . 4
163faccld 10603 . . . . 5
1716, 2nnmulcld 8876 . . . 4
1815, 17nndivred 8877 . . 3
1912, 18remulcld 7902 . 2
20 eqid 2157 . . 3
212nnzd 9279 . . . 4
22 eqidd 2158 . . . 4
23 eluznn0 9503 . . . . . 6
243, 23sylan 281 . . . . 5
254eftvalcn 11547 . . . . . . 7
261, 25sylan 281 . . . . . 6
27 eftcl 11544 . . . . . . 7
281, 27sylan 281 . . . . . 6
2926, 28eqeltrd 2234 . . . . 5
3024, 29syldan 280 . . . 4
314eftlcvg 11577 . . . . 5
321, 3, 31syl2anc 409 . . . 4
3320, 21, 22, 30, 32isumclim2 11312 . . 3
34 eqidd 2158 . . . 4
358recnd 7900 . . . . . . . 8
369eftvalcn 11547 . . . . . . . 8
3735, 36sylan 281 . . . . . . 7
38 reeftcl 11545 . . . . . . . 8
398, 38sylan 281 . . . . . . 7
4037, 39eqeltrd 2234 . . . . . 6
4124, 40syldan 280 . . . . 5
4241recnd 7900 . . . 4
439eftlcvg 11577 . . . . 5
4435, 3, 43syl2anc 409 . . . 4
4520, 21, 34, 42, 44isumclim2 11312 . . 3
46 eftabs 11546 . . . . . 6
471, 46sylan 281 . . . . 5
4826fveq2d 5471 . . . . 5
4947, 48, 373eqtr4rd 2201 . . . 4
5024, 49syldan 280 . . 3
5120, 33, 45, 21, 30, 50iserabs 11365 . 2
52 nn0uz 9467 . . . 4
53 0zd 9173 . . . 4
542nncnd 8841 . . . . 5
55 nn0cn 9094 . . . . 5
56 nn0ex 9090 . . . . . . . 8
5756mptex 5692 . . . . . . 7
589, 57eqeltri 2230 . . . . . 6
5958shftval4 10721 . . . . 5
6054, 55, 59syl2an 287 . . . 4
6135adantr 274 . . . . . 6
62 nn0addcl 9119 . . . . . . 7
633, 62sylan 281 . . . . . 6
649eftvalcn 11547 . . . . . 6
6561, 63, 64syl2anc 409 . . . . 5
668adantr 274 . . . . . 6
67 reeftcl 11545 . . . . . 6
6866, 63, 67syl2anc 409 . . . . 5
6965, 68eqeltrd 2234 . . . 4
70 simpr 109 . . . . 5
7112, 16nndivred 8877 . . . . . . 7
7271adantr 274 . . . . . 6
732peano2nnd 8842 . . . . . . . 8
7473nnrecred 8874 . . . . . . 7
75 reexpcl 10429 . . . . . . 7
7674, 75sylan 281 . . . . . 6
7772, 76remulcld 7902 . . . . 5
78 oveq2 5829 . . . . . . 7
7978oveq2d 5837 . . . . . 6
80 eftl.3 . . . . . 6
8179, 80fvmptg 5543 . . . . 5
8270, 77, 81syl2anc 409 . . . 4
8366, 63reexpcld 10561 . . . . . . 7
8412adantr 274 . . . . . . 7
8563faccld 10603 . . . . . . . . 9
8685nnred 8840 . . . . . . . 8
8786, 77remulcld 7902 . . . . . . 7
883adantr 274 . . . . . . . 8
89 uzid 9447 . . . . . . . . . 10
9021, 89syl 14 . . . . . . . . 9
91 uzaddcl 9491 . . . . . . . . 9
9290, 91sylan 281 . . . . . . . 8
931absge0d 11077 . . . . . . . . 9
9493adantr 274 . . . . . . . 8
95 eftl.6 . . . . . . . . 9
9695adantr 274 . . . . . . . 8
9766, 88, 92, 94, 96leexp2rd 10574 . . . . . . 7
9816adantr 274 . . . . . . . . . . . 12
99 nnexpcl 10425 . . . . . . . . . . . . 13
10073, 99sylan 281 . . . . . . . . . . . 12
10198, 100nnmulcld 8876 . . . . . . . . . . 11
102101nnred 8840 . . . . . . . . . 10
1038, 3, 93expge0d 10562 . . . . . . . . . . . 12
10412, 103jca 304 . . . . . . . . . . 11
105104adantr 274 . . . . . . . . . 10
106 faclbnd6 10611 . . . . . . . . . . 11
1073, 106sylan 281 . . . . . . . . . 10
108 lemul1a 8723 . . . . . . . . . 10
109102, 86, 105, 107, 108syl31anc 1223 . . . . . . . . 9
11086, 84remulcld 7902 . . . . . . . . . 10
111101nnrpd 9594 . . . . . . . . . 10
11284, 110, 111lemuldiv2d 9647 . . . . . . . . 9
113109, 112mpbid 146 . . . . . . . 8
11485nncnd 8841 . . . . . . . . . 10
11512recnd 7900 . . . . . . . . . . 11
116115adantr 274 . . . . . . . . . 10
117101nncnd 8841 . . . . . . . . . 10
118101nnap0d 8873 . . . . . . . . . 10 #
119114, 116, 117, 118divassapd 8693 . . . . . . . . 9
12073nncnd 8841 . . . . . . . . . . . . . 14
121120adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13
12273adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14
123122nnap0d 8873 . . . . . . . . . . . . 13 #
124 nn0z 9181 . . . . . . . . . . . . . 14
125124adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13
126121, 123, 125exprecapd 10552 . . . . . . . . . . . 12
127126oveq2d 5837 . . . . . . . . . . 11
12871recnd 7900 . . . . . . . . . . . . 13
129128adantr 274 . . . . . . . . . . . 12
130100nncnd 8841 . . . . . . . . . . . 12
131100nnap0d 8873 . . . . . . . . . . . 12 #
132129, 130, 131divrecapd 8660 . . . . . . . . . . 11
13316nncnd 8841 . . . . . . . . . . . . 13
134133adantr 274 . . . . . . . . . . . 12
13598nnap0d 8873 . . . . . . . . . . . 12 #
136116, 134, 130, 135, 131divdivap1d 8689 . . . . . . . . . . 11
137127, 132, 1363eqtr2rd 2197 . . . . . . . . . 10
138137oveq2d 5837 . . . . . . . . 9
139119, 138eqtrd 2190 . . . . . . . 8
140113, 139breqtrd 3990 . . . . . . 7
14183, 84, 87, 97, 140letrd 7993 . . . . . 6
14285nngt0d 8871 . . . . . . 7
143 ledivmul 8742 . . . . . . 7
14483, 77, 86, 142, 143syl112anc 1224 . . . . . 6
145141, 144mpbird 166 . . . . 5
14665, 145eqbrtrd 3986 . . . 4
14758a1i 9 . . . . . 6
14821znegcld 9282 . . . . . 6
149 0cn 7864 . . . . . . . . . . . . 13
150 subneg 8118 . . . . . . . . . . . . 13
151149, 150mpan 421 . . . . . . . . . . . 12
152 addid2 8008 . . . . . . . . . . . 12
153151, 152eqtrd 2190 . . . . . . . . . . 11
15454, 153syl 14 . . . . . . . . . 10
155154fveq2d 5471 . . . . . . . . 9
156155eleq2d 2227 . . . . . . . 8
157156pm5.32i 450 . . . . . . 7
158157, 41sylbi 120 . . . . . 6
159 readdcl 7852 . . . . . . 7
160159adantl 275 . . . . . 6
161147, 53, 148, 158, 160seq3shft 10731 . . . . 5
162 seqex 10339 . . . . . . 7
16354negcld 8167 . . . . . . 7
164 ovshftex 10712 . . . . . . 7
165162, 163, 164sylancr 411 . . . . . 6
16620, 21, 34, 41, 44isumrecl 11319 . . . . . 6
167154seqeq1d 10343 . . . . . . . 8
168167, 45eqbrtrd 3986 . . . . . . 7
169 climshft 11194 . . . . . . . 8
170148, 162, 169sylancl 410 . . . . . . 7
171168, 170mpbird 166 . . . . . 6
172 breldmg 4791 . . . . . 6
173165, 166, 171, 172syl3anc 1220 . . . . 5
174161, 173eqeltrd 2234 . . . 4
175 seqex 10339 . . . . . 6
176175a1i 9 . . . . 5
1772nnge1d 8870 . . . . . . . . . 10
178 1nn 8838 . . . . . . . . . . 11
179 nnleltp1 9220 . . . . . . . . . . 11
180178, 2, 179sylancr 411 . . . . . . . . . 10
181177, 180mpbid 146 . . . . . . . . 9
18214nn0ge0d 9140 . . . . . . . . . 10
18315, 182absidd 11060 . . . . . . . . 9
184181, 183breqtrrd 3992 . . . . . . . 8
18574adantr 274 . . . . . . . . . 10
186185, 70reexpcld 10561 . . . . . . . . 9
187 eqid 2157 . . . . . . . . . 10
18878, 187fvmptg 5543 . . . . . . . . 9
18970, 186, 188syl2anc 409 . . . . . . . 8
190120, 184, 189georeclim 11403 . . . . . . 7
19176recnd 7900 . . . . . . . 8
192189, 191eqeltrd 2234 . . . . . . 7
193189oveq2d 5837 . . . . . . . 8
19482, 193eqtr4d 2193 . . . . . . 7
19552, 53, 128, 190, 192, 194isermulc2 11230 . . . . . 6
196 ax-1cn 7819 . . . . . . . . . . 11
197 pncan 8075 . . . . . . . . . . 11
19854, 196, 197sylancl 410 . . . . . . . . . 10
199198oveq2d 5837 . . . . . . . . 9
200199oveq2d 5837 . . . . . . . 8
20115, 2nndivred 8877 . . . . . . . . . 10
202201recnd 7900 . . . . . . . . 9
20316nnap0d 8873 . . . . . . . . 9 #
204115, 202, 133, 203div23apd 8695 . . . . . . . 8
205200, 204eqtr4d 2193 . . . . . . 7
206115, 202, 133, 203divassapd 8693 . . . . . . 7
2072nnap0d 8873 . . . . . . . . . 10 #
208120, 54, 133, 207, 203divdivap1d 8689 . . . . . . . . 9
20954, 133mulcomd 7893 . . . . . . . . . 10
210209oveq2d 5837 . . . . . . . . 9
211208, 210eqtrd 2190 . . . . . . . 8
212211oveq2d 5837 . . . . . . 7
213205, 206, 2123eqtrd 2194 . . . . . 6
214195, 213breqtrd 3990 . . . . 5
215 breldmg 4791 . . . . 5
216176, 19, 214, 215syl3anc 1220 . . . 4
21752, 53, 60, 69, 82, 77, 146, 174, 216isumle 11385 . . 3
218 eqid 2157 . . . . 5
219 fveq2 5467 . . . . 5
22054addid2d 8019 . . . . . . . . 9
221220fveq2d 5471 . . . . . . . 8
222221eleq2d 2227 . . . . . . 7
223222biimpa 294 . . . . . 6
224223, 42syldan 280 . . . . 5
22552, 218, 219, 21, 53, 224isumshft 11380 . . . 4
226221sumeq1d 11256 . . . 4
227225, 226eqtr3d 2192 . . 3
22877recnd 7900 . . . 4
22952, 53, 82, 228, 214isumclim 11311 . . 3
230217, 227, 2293brtr3d 3995 . 2
2317, 11, 19, 51, 230letrd 7993 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1335   wcel 2128  cvv 2712   class class class wbr 3965   cmpt 4025   cdm 4585  cfv 5169  (class class class)co 5821  cc 7724  cr 7725  cc0 7726  c1 7727   caddc 7729   cmul 7731   clt 7906   cle 7907   cmin 8040  cneg 8041   cdiv 8539  cn 8827  cn0 9084  cz 9161  cuz 9433   cseq 10337  cexp 10411  cfa 10592   cshi 10707  cabs 10890   cli 11168  csu 11243 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844  ax-arch 7845  ax-caucvg 7846 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-irdg 6314  df-frec 6335  df-1o 6360  df-oadd 6364  df-er 6477  df-en 6683  df-dom 6684  df-fin 6685  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-2 8886  df-3 8887  df-4 8888  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-q 9522  df-rp 9554  df-ico 9791  df-fz 9906  df-fzo 10035  df-seqfrec 10338  df-exp 10412  df-fac 10593  df-ihash 10643  df-shft 10708  df-cj 10735  df-re 10736  df-im 10737  df-rsqrt 10891  df-abs 10892  df-clim 11169  df-sumdc 11244 This theorem is referenced by:  ef01bndlem  11646  eirraplem  11666  dveflem  13058
 Copyright terms: Public domain W3C validator