Theorem eftlub 11836

Description: An upper bound on the absolute value of the infinite tail of the series expansion of the exponential function on the closed unit disk. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eftl.1	|- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
eftl.2	|- G = ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
eftl.3	|- H = ( n e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) )
eftl.4	|- ( ph -> M e. NN )
eftl.5	|- ( ph -> A e. CC )
eftl.6	|- ( ph -> ( abs ` A ) <_ 1 )

Assertion

Ref	Expression
eftlub	|- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) ) <_ ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, n, A   k, F   k, G   k, M, n   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( n)   F( n)   G( n)   H( k, n)

Proof of Theorem eftlub

Dummy variables j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eftl.5	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
2		eftl.4	. . . . 5 |- ( ph -> M e. NN )
3	2	nnnn0d 9296	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN0 )
4		eftl.1	. . . . 5 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
5	4	eftlcl 11834	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. CC )
6	1, 3, 5	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. CC )
7	6	abscld 11328	. 2 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) ) e. RR )
8	1	abscld 11328	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )
9		eftl.2	. . . 4 |- G = ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
10	9	reeftlcl 11835	. . 3 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ M e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. RR )
11	8, 3, 10	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. RR )
12	8, 3	reexpcld 10764	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) ^ M ) e. RR )
13		peano2nn0 9283	. . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. NN0 )
14	3, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN0 )
15	14	nn0red 9297	. . . 4 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. RR )
16	3	faccld 10810	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` M ) e. NN )
17	16, 2	nnmulcld 9033	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` M ) x. M ) e. NN )
18	15, 17	nndivred 9034	. . 3 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) e. RR )
19	12, 18	remulcld 8052	. 2 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) e. RR )
20		eqid 2193	. . 3 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
21	2	nnzd 9441	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
22		eqidd 2194	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
23		eluznn0 9667	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN0 )
24	3, 23	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN0 )
25	4	eftvalcn 11803	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
26	1, 25	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
27		eftcl 11800	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
28	1, 27	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
29	26, 28	eqeltrd 2270	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. CC )
30	24, 29	syldan 282	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
31	4	eftlcvg 11833	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
32	1, 3, 31	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
33	20, 21, 22, 30, 32	isumclim2 11568	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) )
34		eqidd 2194	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) )
35	8	recnd 8050	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. CC )
36	9	eftvalcn 11803	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
37	35, 36	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
38		reeftcl 11801	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
39	8, 38	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
40	37, 39	eqeltrd 2270	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. RR )
41	24, 40	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
42	41	recnd 8050	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
43	9	eftlcvg 11833	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ M e. NN0 ) -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> )
44	35, 3, 43	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> )
45	20, 21, 34, 42, 44	isumclim2 11568	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , G ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) )
46		eftabs 11802	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
47	1, 46	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
48	26	fveq2d 5559	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( abs ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
49	47, 48, 37	3eqtr4rd 2237	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
50	24, 49	syldan 282	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
51	20, 33, 45, 21, 30, 50	iserabs 11621	. 2 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) ) <_ sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) )
52		nn0uz 9630	. . . 4 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
53		0zd 9332	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
54	2	nncnd 8998	. . . . 5 |- ( ph -> M e. CC )
55		nn0cn 9253	. . . . 5 |- ( j e. NN0 -> j e. CC )
56		nn0ex 9249	. . . . . . . 8 |- NN0 e. _V
57	56	mptex 5785	. . . . . . 7 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) e. _V
58	9, 57	eqeltri 2266	. . . . . 6 |- G e. _V
59	58	shftval4 10975	. . . . 5 |- ( ( M e. CC /\ j e. CC ) -> ( ( G shift -u M ) ` j ) = ( G ` ( M + j ) ) )
60	54, 55, 59	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( G shift -u M ) ` j ) = ( G ` ( M + j ) ) )
61	35	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` A ) e. CC )
62		nn0addcl 9278	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ j e. NN0 ) -> ( M + j ) e. NN0 )
63	3, 62	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( M + j ) e. NN0 )
64	9	eftvalcn 11803	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ ( M + j ) e. NN0 ) -> ( G ` ( M + j ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) )
65	61, 63, 64	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( G ` ( M + j ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) )
66	8	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
67		reeftcl 11801	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ ( M + j ) e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) e. RR )
68	66, 63, 67	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) e. RR )
69	65, 68	eqeltrd 2270	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( G ` ( M + j ) ) e. RR )
70		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> j e. NN0 )
71	12, 16	nndivred 9034	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) e. RR )
72	71	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) e. RR )
73	2	peano2nnd 8999	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN )
74	73	nnrecred 9031	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 / ( M + 1 ) ) e. RR )
75		reexpcl 10630	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 / ( M + 1 ) ) e. RR /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) e. RR )
76	74, 75	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) e. RR )
77	72, 76	remulcld 8052	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) e. RR )
78		oveq2 5927	. . . . . . 7 |- ( n = j -> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) = ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) )
79	78	oveq2d 5935	. . . . . 6 |- ( n = j -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
80		eftl.3	. . . . . 6 |- H = ( n e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) )
81	79, 80	fvmptg 5634	. . . . 5 |- ( ( j e. NN0 /\ ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) e. RR ) -> ( H ` j ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
82	70, 77, 81	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( H ` j ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
83	66, 63	reexpcld 10764	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) e. RR )
84	12	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ M ) e. RR )
85	63	faccld 10810	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` ( M + j ) ) e. NN )
86	85	nnred 8997	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` ( M + j ) ) e. RR )
87	86, 77	remulcld 8052	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) e. RR )
88	3	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> M e. NN0 )
89		uzid 9609	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
90	21, 89	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
91		uzaddcl 9654	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` M ) /\ j e. NN0 ) -> ( M + j ) e. ( ZZ>= ` M ) )
92	90, 91	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( M + j ) e. ( ZZ>= ` M ) )
93	1	absge0d 11331	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` A ) )
94	93	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
95		eftl.6	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` A ) <_ 1 )
96	95	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` A ) <_ 1 )
97	66, 88, 92, 94, 96	leexp2rd 10777	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) <_ ( ( abs ` A ) ^ M ) )
98	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` M ) e. NN )
99		nnexpcl 10626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M + 1 ) e. NN /\ j e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) ^ j ) e. NN )
100	73, 99	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) ^ j ) e. NN )
101	98, 100	nnmulcld 9033	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) e. NN )
102	101	nnred 8997	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) e. RR )
103	8, 3, 93	expge0d 10765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( ( abs ` A ) ^ M ) )
104	12, 103	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) e. RR /\ 0 <_ ( ( abs ` A ) ^ M ) ) )
105	104	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) e. RR /\ 0 <_ ( ( abs ` A ) ^ M ) ) )
106		faclbnd6 10818	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) <_ ( ! ` ( M + j ) ) )
107	3, 106	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) <_ ( ! ` ( M + j ) ) )
108		lemul1a 8879	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) e. RR /\ ( ! ` ( M + j ) ) e. RR /\ ( ( ( abs ` A ) ^ M ) e. RR /\ 0 <_ ( ( abs ` A ) ^ M ) ) ) /\ ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) <_ ( ! ` ( M + j ) ) ) -> ( ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) )
109	102, 86, 105, 107, 108	syl31anc 1252	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) )
110	86, 84	remulcld 8052	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) e. RR )
111	101	nnrpd 9763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) e. RR+ )
112	84, 110, 111	lemuldiv2d 9816	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) <-> ( ( abs ` A ) ^ M ) <_ ( ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) ) )
113	109, 112	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ M ) <_ ( ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) )
114	85	nncnd 8998	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` ( M + j ) ) e. CC )
115	12	recnd 8050	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) ^ M ) e. CC )
116	115	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ M ) e. CC )
117	101	nncnd 8998	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) e. CC )
118	101	nnap0d 9030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) # 0 )
119	114, 116, 117, 118	divassapd 8847	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) = ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) ) )
120	73	nncnd 8998	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. CC )
121	120	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( M + 1 ) e. CC )
122	73	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( M + 1 ) e. NN )
123	122	nnap0d 9030	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( M + 1 ) # 0 )
124		nn0z 9340	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN0 -> j e. ZZ )
125	124	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> j e. ZZ )
126	121, 123, 125	exprecapd 10755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) = ( 1 / ( ( M + 1 ) ^ j ) ) )
127	126	oveq2d 5935	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( 1 / ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) )
128	71	recnd 8050	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) e. CC )
129	128	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) e. CC )
130	100	nncnd 8998	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) ^ j ) e. CC )
131	100	nnap0d 9030	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) ^ j ) # 0 )
132	129, 130, 131	divrecapd 8814	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) / ( ( M + 1 ) ^ j ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( 1 / ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) )
133	16	nncnd 8998	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ! ` M ) e. CC )
134	133	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` M ) e. CC )
135	98	nnap0d 9030	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` M ) # 0 )
136	116, 134, 130, 135, 131	divdivap1d 8843	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) / ( ( M + 1 ) ^ j ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) )
137	127, 132, 136	3eqtr2rd 2233	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
138	137	oveq2d 5935	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) ) = ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) )
139	119, 138	eqtrd 2226	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) = ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) )
140	113, 139	breqtrd 4056	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ M ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) )
141	83, 84, 87, 97, 140	letrd 8145	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) )
142	85	nngt0d 9028	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> 0 < ( ! ` ( M + j ) ) )
143		ledivmul 8898	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) e. RR /\ ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) e. RR /\ ( ( ! ` ( M + j ) ) e. RR /\ 0 < ( ! ` ( M + j ) ) ) ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) <-> ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) ) )
144	83, 77, 86, 142, 143	syl112anc 1253	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) <-> ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) ) )
145	141, 144	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
146	65, 145	eqbrtrd 4052	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( G ` ( M + j ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
147	58	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. _V )
148	21	znegcld 9444	. . . . . 6 |- ( ph -> -u M e. ZZ )
149		0cn 8013	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. CC
150		subneg 8270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. CC /\ M e. CC ) -> ( 0 - -u M ) = ( 0 + M ) )
151	149, 150	mpan 424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. CC -> ( 0 - -u M ) = ( 0 + M ) )
152		addlid 8160	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. CC -> ( 0 + M ) = M )
153	151, 152	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. CC -> ( 0 - -u M ) = M )
154	54, 153	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 - -u M ) = M )
155	154	fveq2d 5559	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( 0 - -u M ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
156	155	eleq2d 2263	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` ( 0 - -u M ) ) <-> k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
157	156	pm5.32i 454	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( 0 - -u M ) ) ) <-> ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
158	157, 41	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( 0 - -u M ) ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
159		readdcl 8000	. . . . . . 7 |- ( ( k e. RR /\ y e. RR ) -> ( k + y ) e. RR )
160	159	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( k + y ) e. RR )
161	147, 53, 148, 158, 160	seq3shft 10985	. . . . 5 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( G shift -u M ) ) = ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) )
162		seqex 10523	. . . . . . 7 |- seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) e. _V
163	54	negcld 8319	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u M e. CC )
164		ovshftex 10966	. . . . . . 7 |- ( ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) e. _V /\ -u M e. CC ) -> ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) e. _V )
165	162, 163, 164	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) e. _V )
166	20, 21, 34, 41, 44	isumrecl 11575	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. RR )
167	154	seqeq1d 10527	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) = seq M ( + , G ) )
168	167, 45	eqbrtrd 4052	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) )
169		climshft 11450	. . . . . . . 8 |- ( ( -u M e. ZZ /\ seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) e. _V ) -> ( ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) <-> seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) ) )
170	148, 162, 169	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) <-> seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) ) )
171	168, 170	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) )
172		breldmg 4869	. . . . . 6 |- ( ( ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) e. _V /\ sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. RR /\ ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) ) -> ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) e. dom ~~> )
173	165, 166, 171, 172	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) e. dom ~~> )
174	161, 173	eqeltrd 2270	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( G shift -u M ) ) e. dom ~~> )
175		seqex 10523	. . . . . 6 |- seq 0 ( + , H ) e. _V
176	175	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) e. _V )
177	2	nnge1d 9027	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 <_ M )
178		1nn 8995	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN
179		nnleltp1 9379	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. NN /\ M e. NN ) -> ( 1 <_ M <-> 1 < ( M + 1 ) ) )
180	178, 2, 179	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 <_ M <-> 1 < ( M + 1 ) ) )
181	177, 180	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 < ( M + 1 ) )
182	14	nn0ge0d 9299	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ ( M + 1 ) )
183	15, 182	absidd 11314	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( M + 1 ) ) = ( M + 1 ) )
184	181, 183	breqtrrd 4058	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 < ( abs ` ( M + 1 ) ) )
185	74	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( 1 / ( M + 1 ) ) e. RR )
186	185, 70	reexpcld 10764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) e. RR )
187		eqid 2193	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) )
188	78, 187	fvmptg 5634	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. NN0 /\ ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) e. RR ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) ` j ) = ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) )
189	70, 186, 188	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) ` j ) = ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) )
190	120, 184, 189	georeclim 11659	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) ) ~~> ( ( M + 1 ) / ( ( M + 1 ) - 1 ) ) )
191	76	recnd 8050	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) e. CC )
192	189, 191	eqeltrd 2270	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) ` j ) e. CC )
193	189	oveq2d 5935	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) ` j ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
194	82, 193	eqtr4d 2229	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( H ` j ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) ` j ) ) )
195	52, 53, 128, 190, 192, 194	isermulc2 11486	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( M + 1 ) - 1 ) ) ) )
196		ax-1cn 7967	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
197		pncan 8227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
198	54, 196, 197	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
199	198	oveq2d 5935	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) / ( ( M + 1 ) - 1 ) ) = ( ( M + 1 ) / M ) )
200	199	oveq2d 5935	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( M + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( M + 1 ) / M ) ) )
201	15, 2	nndivred 9034	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) / M ) e. RR )
202	201	recnd 8050	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) / M ) e. CC )
203	16	nnap0d 9030	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ! ` M ) # 0 )
204	115, 202, 133, 203	div23apd 8849	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / M ) ) / ( ! ` M ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( M + 1 ) / M ) ) )
205	200, 204	eqtr4d 2229	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( M + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / M ) ) / ( ! ` M ) ) )
206	115, 202, 133, 203	divassapd 8847	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / M ) ) / ( ! ` M ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( ( M + 1 ) / M ) / ( ! ` M ) ) ) )
207	2	nnap0d 9030	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M # 0 )
208	120, 54, 133, 207, 203	divdivap1d 8843	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( M + 1 ) / M ) / ( ! ` M ) ) = ( ( M + 1 ) / ( M x. ( ! ` M ) ) ) )
209	54, 133	mulcomd 8043	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M x. ( ! ` M ) ) = ( ( ! ` M ) x. M ) )
210	209	oveq2d 5935	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) / ( M x. ( ! ` M ) ) ) = ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) )
211	208, 210	eqtrd 2226	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M + 1 ) / M ) / ( ! ` M ) ) = ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) )
212	211	oveq2d 5935	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( ( M + 1 ) / M ) / ( ! ` M ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )
213	205, 206, 212	3eqtrd 2230	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( M + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )
214	195, 213	breqtrd 4056	. . . . 5 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )
215		breldmg 4869	. . . . 5 |- ( ( seq 0 ( + , H ) e. _V /\ ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) e. RR /\ seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) ) -> seq 0 ( + , H ) e. dom ~~> )
216	176, 19, 214, 215	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) e. dom ~~> )
217	52, 53, 60, 69, 82, 77, 146, 174, 216	isumle 11641	. . 3 |- ( ph -> sum_ j e. NN0 ( G ` ( M + j ) ) <_ sum_ j e. NN0 ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
218		eqid 2193	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) = ( ZZ>= ` ( 0 + M ) )
219		fveq2 5555	. . . . 5 |- ( k = ( M + j ) -> ( G ` k ) = ( G ` ( M + j ) ) )
220	54	addlidd 8171	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 + M ) = M )
221	220	fveq2d 5559	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
222	221	eleq2d 2263	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) <-> k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
223	222	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
224	223, 42	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
225	52, 218, 219, 21, 53, 224	isumshft 11636	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) ( G ` k ) = sum_ j e. NN0 ( G ` ( M + j ) ) )
226	221	sumeq1d 11512	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) )
227	225, 226	eqtr3d 2228	. . 3 |- ( ph -> sum_ j e. NN0 ( G ` ( M + j ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) )
228	77	recnd 8050	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) e. CC )
229	52, 53, 82, 228, 214	isumclim 11567	. . 3 |- ( ph -> sum_ j e. NN0 ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )
230	217, 227, 229	3brtr3d 4061	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) <_ ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )
231	7, 11, 19, 51, 230	letrd 8145	1 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) ) <_ ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   class class class wbr 4030   |-> cmpt 4091   dom cdm 4660   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   CCcc 7872   RRcr 7873   0cc0 7874   1c1 7875   + caddc 7877   x. cmul 7879   < clt 8056   <_ cle 8057   - cmin 8192   -ucneg 8193   / cdiv 8693   NNcn 8984   NN0cn0 9243   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595   seqcseq 10521   ^cexp 10612   !cfa 10799   shift cshi 10961   abscabs 11144   ~~> cli 11424   sum_csu 11499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-ico 9963  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-fac 10800  df-ihash 10850  df-shft 10962  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-sumdc 11500

This theorem is referenced by:  ef01bndlem  11902  eirraplem  11923  dveflem  14905