Theorem nnnn0 9581

Description: A positive integer is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnnn0	|- ( A e. NN -> A e. NN0 )

Proof of Theorem nnnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssnn0 9577	. 2 |- NN C_ NN0
2	1	sseli 3244	1 |- ( A e. NN -> A e. NN0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   NNcn 9313   NN0cn0 9574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-n0 9575

This theorem is used by:  nnnn0i  9582  elnnnn0b  9618  elnnnn0c  9619  elnn0z  9666  elz2  9725  nn0ind-raph  9773  zindd  9774  fzo1fzo0n0  10611  ubmelfzo  10634  elfzom1elp1fzo  10636  fzo0sn0fzo1  10655  modqmulnn  10799  expnegap0  11004  expcllem  11007  expcl2lemap  11008  expap0  11026  expeq0  11027  mulexpzap  11036  expnlbnd  11122  apexp1  11177  facdiv  11197  faclbnd  11200  faclbnd3  11202  faclbnd6  11203  pfxn0  11481  resqrexlemlo  11800  absexpzap  11868  nnf1o  12167  summodclem2a  12172  fsum3  12178  arisum  12289  expcnvap0  12293  expcnv  12295  geo2sum  12305  geo2lim  12307  geoisum1c  12311  0.999...  12312  mertenslem2  12327  fprodseq  12374  fprodfac  12406  ef0lem  12451  ege2le3  12462  efaddlem  12465  efexp  12473  dvdsmodexp  12586  nn0enne  12693  nnehalf  12695  nno  12697  nn0o  12698  divalg2  12717  ndvdssub  12721  gcddiv  12820  gcdmultiple  12821  gcdmultiplez  12822  rpmulgcd  12827  rplpwr  12828  dvdssqlem  12831  eucalgf  12857  1nprm  12916  isprm6  12950  prmdvdsexp  12951  pwbdvdslemn  12968  phicl2  13020  phibndlem  13022  phiprmpw  13028  crth  13030  hashgcdlem  13044  phisum  13047  pythagtriplem10  13076  pythagtriplem6  13077  pythagtriplem7  13078  pythagtriplem12  13082  pythagtriplem14  13084  pclemub  13094  pcexp  13116  pcid  13131  pcprod  13153  pcbc  13158  prmpwdvds  13162  infpnlem1  13166  infpnlem2  13167  prmunb  13169  1arith  13174  ennnfonelemjn  13350  ghmmulg  14117  znf1o  15094  znfi  15098  znhash  15099  znidom  15100  znidomb  15101  znrrg  15103  dvexp  15954  plycolemc  16001  logbgcd1irr  16220  birthdaylem2  16243  birthdaylem3  16244  pellexlem1  16246  1sgm2ppw  16306  chtublem  16312  pcbcctr  16320  bclbnd  16324  bposlem1  16328  lgsval4a  16363  gausslemma2dlem0c  16392  gausslemma2dlem0d  16393  gausslemma2dlem6  16408  2lgslem1a1  16427  2lgslem1c  16431  2lgslem3a1  16438  2lgslem3b1  16439  2lgslem3c1  16440  2lgslem3d1  16441  isclwwlknx  16879