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Description: The partial sums in the
infinite series ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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geolim.1 |
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geolim.2 |
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geolim.3 |
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geolim |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | nn0uz 9592 |
. . 3
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2 | 0zd 9295 |
. . 3
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3 | geolim.1 |
. . . . . 6
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4 | geolim.2 |
. . . . . 6
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5 | 3, 4 | expcnv 11544 |
. . . . 5
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6 | ax-1cn 7934 |
. . . . . . 7
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7 | subcl 8186 |
. . . . . . 7
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8 | 6, 3, 7 | sylancr 414 |
. . . . . 6
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9 | 1cnd 8003 |
. . . . . . 7
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10 | 1red 8002 |
. . . . . . . . 9
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11 | 3, 10, 4 | absltap 11549 |
. . . . . . . 8
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12 | apsym 8593 |
. . . . . . . . 9
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13 | 3, 6, 12 | sylancl 413 |
. . . . . . . 8
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14 | 11, 13 | mpbid 147 |
. . . . . . 7
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15 | 9, 3, 14 | subap0d 8631 |
. . . . . 6
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16 | 3, 8, 15 | divclapd 8777 |
. . . . 5
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17 | nn0ex 9212 |
. . . . . . 7
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18 | 17 | mptex 5763 |
. . . . . 6
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19 | 18 | a1i 9 |
. . . . 5
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20 | simpr 110 |
. . . . . . 7
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21 | 3 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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22 | 21, 20 | expcld 10685 |
. . . . . . 7
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23 | oveq2 5904 |
. . . . . . . 8
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24 | eqid 2189 |
. . . . . . . 8
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25 | 23, 24 | fvmptg 5613 |
. . . . . . 7
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26 | 20, 22, 25 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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27 | expcl 10569 |
. . . . . . 7
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28 | 3, 27 | sylan 283 |
. . . . . 6
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29 | 26, 28 | eqeltrd 2266 |
. . . . 5
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30 | expp1 10558 |
. . . . . . . . . 10
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31 | 3, 30 | sylan 283 |
. . . . . . . . 9
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32 | 28, 21 | mulcomd 8009 |
. . . . . . . . 9
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33 | 31, 32 | eqtrd 2222 |
. . . . . . . 8
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34 | 33 | oveq1d 5911 |
. . . . . . 7
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35 | 8 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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36 | 15 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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37 | 21, 28, 35, 36 | div23apd 8815 |
. . . . . . 7
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38 | 34, 37 | eqtrd 2222 |
. . . . . 6
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39 | peano2nn0 9246 |
. . . . . . . . . 10
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40 | 39 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
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41 | 21, 40 | expcld 10685 |
. . . . . . . 8
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42 | 41, 35, 36 | divclapd 8777 |
. . . . . . 7
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43 | oveq1 5903 |
. . . . . . . . . 10
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44 | 43 | oveq2d 5912 |
. . . . . . . . 9
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45 | 44 | oveq1d 5911 |
. . . . . . . 8
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46 | eqid 2189 |
. . . . . . . 8
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47 | 45, 46 | fvmptg 5613 |
. . . . . . 7
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48 | 20, 42, 47 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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49 | 26 | oveq2d 5912 |
. . . . . 6
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50 | 38, 48, 49 | 3eqtr4d 2232 |
. . . . 5
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51 | 1, 2, 5, 16, 19, 29, 50 | climmulc2 11371 |
. . . 4
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52 | 16 | mul01d 8380 |
. . . 4
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53 | 51, 52 | breqtrd 4044 |
. . 3
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54 | 8, 15 | recclapd 8768 |
. . 3
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55 | seqex 10478 |
. . . 4
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56 | 55 | a1i 9 |
. . 3
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57 | expcl 10569 |
. . . . . 6
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58 | 3, 39, 57 | syl2an 289 |
. . . . 5
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59 | 58, 35, 36 | divclapd 8777 |
. . . 4
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60 | 48, 59 | eqeltrd 2266 |
. . 3
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61 | nn0cn 9216 |
. . . . . . . 8
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62 | 61 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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63 | pncan 8193 |
. . . . . . 7
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64 | 62, 6, 63 | sylancl 413 |
. . . . . 6
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65 | 64 | oveq2d 5912 |
. . . . 5
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66 | 65 | sumeq1d 11406 |
. . . 4
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67 | 1cnd 8003 |
. . . . . 6
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68 | 67, 58, 35, 36 | divsubdirapd 8817 |
. . . . 5
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69 | 11 | adantr 276 |
. . . . . 6
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70 | 21, 69, 40 | geoserap 11547 |
. . . . 5
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71 | 48 | oveq2d 5912 |
. . . . 5
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72 | 68, 70, 71 | 3eqtr4d 2232 |
. . . 4
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73 | simpll 527 |
. . . . . 6
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74 | elnn0uz 9595 |
. . . . . . . 8
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75 | 74 | biimpri 133 |
. . . . . . 7
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76 | 75 | adantl 277 |
. . . . . 6
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77 | geolim.3 |
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78 | 73, 76, 77 | syl2anc 411 |
. . . . 5
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79 | 20, 1 | eleqtrdi 2282 |
. . . . 5
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80 | 21 | adantr 276 |
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81 | 80, 76 | expcld 10685 |
. . . . 5
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82 | 78, 79, 81 | fsum3ser 11437 |
. . . 4
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83 | 66, 72, 82 | 3eqtr3rd 2231 |
. . 3
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84 | 1, 2, 53, 54, 56, 60, 83 | climsubc2 11373 |
. 2
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85 | 54 | subid1d 8287 |
. 2
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86 | 84, 85 | breqtrd 4044 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-iinf 4605 ax-cnex 7932 ax-resscn 7933 ax-1cn 7934 ax-1re 7935 ax-icn 7936 ax-addcl 7937 ax-addrcl 7938 ax-mulcl 7939 ax-mulrcl 7940 ax-addcom 7941 ax-mulcom 7942 ax-addass 7943 ax-mulass 7944 ax-distr 7945 ax-i2m1 7946 ax-0lt1 7947 ax-1rid 7948 ax-0id 7949 ax-rnegex 7950 ax-precex 7951 ax-cnre 7952 ax-pre-ltirr 7953 ax-pre-ltwlin 7954 ax-pre-lttrn 7955 ax-pre-apti 7956 ax-pre-ltadd 7957 ax-pre-mulgt0 7958 ax-pre-mulext 7959 ax-arch 7960 ax-caucvg 7961 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4311 df-po 4314 df-iso 4315 df-iord 4384 df-on 4386 df-ilim 4387 df-suc 4389 df-iom 4608 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-f1 5240 df-fo 5241 df-f1o 5242 df-fv 5243 df-isom 5244 df-riota 5852 df-ov 5899 df-oprab 5900 df-mpo 5901 df-1st 6165 df-2nd 6166 df-recs 6330 df-irdg 6395 df-frec 6416 df-1o 6441 df-oadd 6445 df-er 6559 df-en 6767 df-dom 6768 df-fin 6769 df-pnf 8024 df-mnf 8025 df-xr 8026 df-ltxr 8027 df-le 8028 df-sub 8160 df-neg 8161 df-reap 8562 df-ap 8569 df-div 8660 df-inn 8950 df-2 9008 df-3 9009 df-4 9010 df-n0 9207 df-z 9284 df-uz 9559 df-q 9650 df-rp 9684 df-fz 10039 df-fzo 10173 df-seqfrec 10477 df-exp 10551 df-ihash 10788 df-cj 10883 df-re 10884 df-im 10885 df-rsqrt 11039 df-abs 11040 df-clim 11319 df-sumdc 11394 |
This theorem is referenced by: geolim2 11552 georeclim 11553 geoisum 11557 eflegeo 11741 |
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