Theorem expcnvap0 11465

Description: A sequence of powers of a complex number A with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcnvap0.1	|- ( ph -> A e. CC )
expcnvap0.2	|- ( ph -> ( abs ` A ) < 1 )
expcnvap0.0	|- ( ph -> A # 0 )

Assertion

Ref	Expression
expcnvap0	|- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ~~> 0 )

Distinct variable group:   A, n

Allowed substitution hint:   ph( n)

Proof of Theorem expcnvap0

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9522	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 9239	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		expcnvap0.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` A ) < 1 )
4		expcnvap0.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. CC )
5		expcnvap0.0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A # 0 )
6	4, 5	absrpclapd 11152	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR+ )
7	6	reclt1d 9667	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) < 1 <-> 1 < ( 1 / ( abs ` A ) ) ) )
8	3, 7	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < ( 1 / ( abs ` A ) ) )
9		1re 7919	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
10	6	rpreccld 9664	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR+ )
11	10	rpred 9653	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR )
12		difrp 9649	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR ) -> ( 1 < ( 1 / ( abs ` A ) ) <-> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. RR+ ) )
13	9, 11, 12	sylancr 412	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 < ( 1 / ( abs ` A ) ) <-> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. RR+ ) )
14	8, 13	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. RR+ )
15	14	rpreccld 9664	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. RR+ )
16	15	rpcnd 9655	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. CC )
17		divcnv 11460	. . . 4 |- ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. CC -> ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ~~> 0 )
18	16, 17	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ~~> 0 )
19		nnex 8884	. . . . 5 |- NN e. _V
20	19	mptex 5722	. . . 4 |- ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) e. _V
21	20	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) e. _V )
22		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
23	16	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. CC )
24	22	nncnd 8892	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. CC )
25	22	nnap0d 8924	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k # 0 )
26	23, 24, 25	divclapd 8707	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) e. CC )
27		oveq2 5861	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) = ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) )
28		eqid 2170	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) = ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) )
29	27, 28	fvmptg 5572	. . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ` k ) = ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) )
30	22, 26, 29	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ` k ) = ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) )
31	15	rpred 9653	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. RR )
32		nndivre 8914	. . . . 5 |- ( ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. RR /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) e. RR )
33	31, 32	sylan 281	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) e. RR )
34	30, 33	eqeltrd 2247	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ` k ) e. RR )
35	6	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` A ) e. RR+ )
36	35	rpcnd 9655	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` A ) e. CC )
37		nnnn0 9142	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
38	37	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN0 )
39	36, 38	expcld 10609	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) e. CC )
40		oveq2 5861	. . . . . . 7 |- ( n = k -> ( ( abs ` A ) ^ n ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
41		eqid 2170	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) = ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) )
42	40, 41	fvmptg 5572	. . . . . 6 |- ( ( k e. NN /\ ( ( abs ` A ) ^ k ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
43	22, 39, 42	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
44		nnz 9231	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
45		rpexpcl 10495	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR+ /\ k e. ZZ ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) e. RR+ )
46	6, 44, 45	syl2an 287	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) e. RR+ )
47	43, 46	eqeltrd 2247	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) e. RR+ )
48	47	rpred 9653	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) e. RR )
49		nnrp 9620	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> k e. RR+ )
50		rpmulcl 9635	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. RR+ /\ k e. RR+ ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) e. RR+ )
51	14, 49, 50	syl2an 287	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) e. RR+ )
52	51	rpred 9653	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) e. RR )
53		peano2re 8055	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) e. RR -> ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) + 1 ) e. RR )
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) + 1 ) e. RR )
55		rpexpcl 10495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR+ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) e. RR+ )
56	10, 44, 55	syl2an 287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) e. RR+ )
57	56	rpred 9653	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) e. RR )
58	52	lep1d 8847	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) <_ ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) + 1 ) )
59	11	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR )
60	10	rpge0d 9657	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ ( 1 / ( abs ` A ) ) )
61	60	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( 1 / ( abs ` A ) ) )
62		bernneq2 10597	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR /\ k e. NN0 /\ 0 <_ ( 1 / ( abs ` A ) ) ) -> ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) + 1 ) <_ ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) )
63	59, 38, 61, 62	syl3anc 1233	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) + 1 ) <_ ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) )
64	52, 54, 57, 58, 63	letrd 8043	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) <_ ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) )
65	6	rpcnd 9655	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. CC )
66	6	rpap0d 9659	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` A ) # 0 )
67		exprecap 10517	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ ( abs ` A ) # 0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) = ( 1 / ( ( abs ` A ) ^ k ) ) )
68	65, 66, 44, 67	syl2an3an 1293	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) = ( 1 / ( ( abs ` A ) ^ k ) ) )
69	64, 68	breqtrd 4015	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) <_ ( 1 / ( ( abs ` A ) ^ k ) ) )
70	51, 46, 69	lerec2d 9675	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) <_ ( 1 / ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) ) )
71	14	rpcnd 9655	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. CC )
72	14	rpap0d 9659	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) # 0 )
73	71, 72	jca 304	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. CC /\ ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) # 0 ) )
74		nncn 8886	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> k e. CC )
75		nnap0 8907	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> k # 0 )
76	74, 75	jca 304	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( k e. CC /\ k # 0 ) )
77		recdivap2 8642	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. CC /\ ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) # 0 ) /\ ( k e. CC /\ k # 0 ) ) -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) = ( 1 / ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) ) )
78	73, 76, 77	syl2an 287	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) = ( 1 / ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) ) )
79	70, 78	breqtrrd 4017	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) <_ ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) )
80	79, 43, 30	3brtr4d 4021	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) <_ ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ` k ) )
81	47	rpge0d 9657	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) )
82	1, 2, 18, 21, 34, 48, 80, 81	climsqz2 11299	. 2 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ~~> 0 )
83		nn0ex 9141	. . . . 5 |- NN0 e. _V
84	83	mptex 5722	. . . 4 |- ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) e. _V
85	84	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) e. _V )
86	4	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. CC )
87	86, 38	expcld 10609	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ k ) e. CC )
88		oveq2 5861	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( A ^ n ) = ( A ^ k ) )
89		eqid 2170	. . . . . 6 |- ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) )
90	88, 89	fvmptg 5572	. . . . 5 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A ^ k ) e. CC ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = ( A ^ k ) )
91	38, 87, 90	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = ( A ^ k ) )
92		expcl 10494	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. CC )
93	4, 37, 92	syl2an 287	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ k ) e. CC )
94	91, 93	eqeltrd 2247	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) e. CC )
95		absexp 11043	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( A ^ k ) ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
96	4, 37, 95	syl2an 287	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( A ^ k ) ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
97	91	fveq2d 5500	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) ) = ( abs ` ( A ^ k ) ) )
98	96, 97, 43	3eqtr4rd 2214	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) = ( abs ` ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) ) )
99	1, 2, 85, 21, 94, 98	climabs0 11270	. 2 |- ( ph -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ~~> 0 <-> ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ~~> 0 ) )
100	82, 99	mpbird 166	1 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ~~> 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   x. cmul 7779   < clt 7954   <_ cle 7955   - cmin 8090   # cap 8500   / cdiv 8589   NNcn 8878   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   RR+crp 9610   ^cexp 10475   abscabs 10961   ~~> cli 11241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242

This theorem is referenced by:  expcnvre  11466