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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > expcnvap0 | Unicode version |
Description: A sequence of powers of a
complex number ![]() |
Ref | Expression |
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expcnvap0.1 |
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expcnvap0.2 |
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expcnvap0.0 |
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Ref | Expression |
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expcnvap0 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | nnuz 9593 |
. . 3
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2 | 1zzd 9310 |
. . 3
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3 | expcnvap0.2 |
. . . . . . . 8
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4 | expcnvap0.1 |
. . . . . . . . . 10
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5 | expcnvap0.0 |
. . . . . . . . . 10
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6 | 4, 5 | absrpclapd 11229 |
. . . . . . . . 9
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7 | 6 | reclt1d 9740 |
. . . . . . . 8
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8 | 3, 7 | mpbid 147 |
. . . . . . 7
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9 | 1re 7986 |
. . . . . . . 8
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10 | 6 | rpreccld 9737 |
. . . . . . . . 9
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11 | 10 | rpred 9726 |
. . . . . . . 8
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12 | difrp 9722 |
. . . . . . . 8
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13 | 9, 11, 12 | sylancr 414 |
. . . . . . 7
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14 | 8, 13 | mpbid 147 |
. . . . . 6
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15 | 14 | rpreccld 9737 |
. . . . 5
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16 | 15 | rpcnd 9728 |
. . . 4
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17 | divcnv 11537 |
. . . 4
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18 | 16, 17 | syl 14 |
. . 3
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19 | nnex 8955 |
. . . . 5
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20 | 19 | mptex 5763 |
. . . 4
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21 | 20 | a1i 9 |
. . 3
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22 | simpr 110 |
. . . . 5
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23 | 16 | adantr 276 |
. . . . . 6
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24 | 22 | nncnd 8963 |
. . . . . 6
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25 | 22 | nnap0d 8995 |
. . . . . 6
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26 | 23, 24, 25 | divclapd 8777 |
. . . . 5
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27 | oveq2 5904 |
. . . . . 6
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28 | eqid 2189 |
. . . . . 6
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29 | 27, 28 | fvmptg 5613 |
. . . . 5
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30 | 22, 26, 29 | syl2anc 411 |
. . . 4
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31 | 15 | rpred 9726 |
. . . . 5
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32 | nndivre 8985 |
. . . . 5
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33 | 31, 32 | sylan 283 |
. . . 4
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34 | 30, 33 | eqeltrd 2266 |
. . 3
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35 | 6 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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36 | 35 | rpcnd 9728 |
. . . . . . 7
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37 | nnnn0 9213 |
. . . . . . . 8
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38 | 37 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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39 | 36, 38 | expcld 10685 |
. . . . . 6
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40 | oveq2 5904 |
. . . . . . 7
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41 | eqid 2189 |
. . . . . . 7
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42 | 40, 41 | fvmptg 5613 |
. . . . . 6
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43 | 22, 39, 42 | syl2anc 411 |
. . . . 5
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44 | nnz 9302 |
. . . . . 6
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45 | rpexpcl 10570 |
. . . . . 6
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46 | 6, 44, 45 | syl2an 289 |
. . . . 5
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47 | 43, 46 | eqeltrd 2266 |
. . . 4
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48 | 47 | rpred 9726 |
. . 3
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49 | nnrp 9693 |
. . . . . . 7
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50 | rpmulcl 9708 |
. . . . . . 7
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51 | 14, 49, 50 | syl2an 289 |
. . . . . 6
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52 | 51 | rpred 9726 |
. . . . . . . 8
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53 | peano2re 8123 |
. . . . . . . . 9
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54 | 52, 53 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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55 | rpexpcl 10570 |
. . . . . . . . . 10
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56 | 10, 44, 55 | syl2an 289 |
. . . . . . . . 9
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57 | 56 | rpred 9726 |
. . . . . . . 8
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58 | 52 | lep1d 8918 |
. . . . . . . 8
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59 | 11 | adantr 276 |
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60 | 10 | rpge0d 9730 |
. . . . . . . . . 10
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61 | 60 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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62 | bernneq2 10673 |
. . . . . . . . 9
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63 | 59, 38, 61, 62 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . 8
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64 | 52, 54, 57, 58, 63 | letrd 8111 |
. . . . . . 7
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65 | 6 | rpcnd 9728 |
. . . . . . . 8
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66 | 6 | rpap0d 9732 |
. . . . . . . 8
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67 | exprecap 10592 |
. . . . . . . 8
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68 | 65, 66, 44, 67 | syl2an3an 1309 |
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69 | 64, 68 | breqtrd 4044 |
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70 | 51, 46, 69 | lerec2d 9748 |
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71 | 14 | rpcnd 9728 |
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72 | 14 | rpap0d 9732 |
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73 | 71, 72 | jca 306 |
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74 | nncn 8957 |
. . . . . . 7
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75 | nnap0 8978 |
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76 | 74, 75 | jca 306 |
. . . . . 6
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77 | recdivap2 8712 |
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78 | 73, 76, 77 | syl2an 289 |
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79 | 70, 78 | breqtrrd 4046 |
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80 | 79, 43, 30 | 3brtr4d 4050 |
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81 | 47 | rpge0d 9730 |
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82 | 1, 2, 18, 21, 34, 48, 80, 81 | climsqz2 11376 |
. 2
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83 | nn0ex 9212 |
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84 | 83 | mptex 5763 |
. . . 4
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85 | 84 | a1i 9 |
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86 | 4 | adantr 276 |
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87 | 86, 38 | expcld 10685 |
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88 | oveq2 5904 |
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89 | eqid 2189 |
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90 | 88, 89 | fvmptg 5613 |
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91 | 38, 87, 90 | syl2anc 411 |
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92 | expcl 10569 |
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93 | 4, 37, 92 | syl2an 289 |
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94 | 91, 93 | eqeltrd 2266 |
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95 | absexp 11120 |
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96 | 4, 37, 95 | syl2an 289 |
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97 | 91 | fveq2d 5538 |
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98 | 96, 97, 43 | 3eqtr4rd 2233 |
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99 | 1, 2, 85, 21, 94, 98 | climabs0 11347 |
. 2
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100 | 82, 99 | mpbird 167 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-iinf 4605 ax-cnex 7932 ax-resscn 7933 ax-1cn 7934 ax-1re 7935 ax-icn 7936 ax-addcl 7937 ax-addrcl 7938 ax-mulcl 7939 ax-mulrcl 7940 ax-addcom 7941 ax-mulcom 7942 ax-addass 7943 ax-mulass 7944 ax-distr 7945 ax-i2m1 7946 ax-0lt1 7947 ax-1rid 7948 ax-0id 7949 ax-rnegex 7950 ax-precex 7951 ax-cnre 7952 ax-pre-ltirr 7953 ax-pre-ltwlin 7954 ax-pre-lttrn 7955 ax-pre-apti 7956 ax-pre-ltadd 7957 ax-pre-mulgt0 7958 ax-pre-mulext 7959 ax-arch 7960 ax-caucvg 7961 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4311 df-po 4314 df-iso 4315 df-iord 4384 df-on 4386 df-ilim 4387 df-suc 4389 df-iom 4608 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-f1 5240 df-fo 5241 df-f1o 5242 df-fv 5243 df-riota 5852 df-ov 5899 df-oprab 5900 df-mpo 5901 df-1st 6165 df-2nd 6166 df-recs 6330 df-frec 6416 df-pnf 8024 df-mnf 8025 df-xr 8026 df-ltxr 8027 df-le 8028 df-sub 8160 df-neg 8161 df-reap 8562 df-ap 8569 df-div 8660 df-inn 8950 df-2 9008 df-3 9009 df-4 9010 df-n0 9207 df-z 9284 df-uz 9559 df-rp 9684 df-seqfrec 10477 df-exp 10551 df-cj 10883 df-re 10884 df-im 10885 df-rsqrt 11039 df-abs 11040 df-clim 11319 |
This theorem is referenced by: expcnvre 11543 |
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