Theorem expcnvap0 11684

Description: A sequence of powers of a complex number A with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcnvap0.1	|- ( ph -> A e. CC )
expcnvap0.2	|- ( ph -> ( abs ` A ) < 1 )
expcnvap0.0	|- ( ph -> A # 0 )

Assertion

Ref	Expression
expcnvap0	|- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ~~> 0 )

Distinct variable group:   A, n

Allowed substitution hint:   ph( n)

Proof of Theorem expcnvap0

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9654	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 9370	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		expcnvap0.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` A ) < 1 )
4		expcnvap0.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. CC )
5		expcnvap0.0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A # 0 )
6	4, 5	absrpclapd 11370	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR+ )
7	6	reclt1d 9802	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) < 1 <-> 1 < ( 1 / ( abs ` A ) ) ) )
8	3, 7	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < ( 1 / ( abs ` A ) ) )
9		1re 8042	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
10	6	rpreccld 9799	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR+ )
11	10	rpred 9788	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR )
12		difrp 9784	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR ) -> ( 1 < ( 1 / ( abs ` A ) ) <-> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. RR+ ) )
13	9, 11, 12	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 < ( 1 / ( abs ` A ) ) <-> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. RR+ ) )
14	8, 13	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. RR+ )
15	14	rpreccld 9799	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. RR+ )
16	15	rpcnd 9790	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. CC )
17		divcnv 11679	. . . 4 |- ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. CC -> ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ~~> 0 )
18	16, 17	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ~~> 0 )
19		nnex 9013	. . . . 5 |- NN e. _V
20	19	mptex 5791	. . . 4 |- ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) e. _V
21	20	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) e. _V )
22		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
23	16	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. CC )
24	22	nncnd 9021	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. CC )
25	22	nnap0d 9053	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k # 0 )
26	23, 24, 25	divclapd 8834	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) e. CC )
27		oveq2 5933	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) = ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) )
28		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) = ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) )
29	27, 28	fvmptg 5640	. . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ` k ) = ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) )
30	22, 26, 29	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ` k ) = ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) )
31	15	rpred 9788	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. RR )
32		nndivre 9043	. . . . 5 |- ( ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. RR /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) e. RR )
33	31, 32	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) e. RR )
34	30, 33	eqeltrd 2273	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ` k ) e. RR )
35	6	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` A ) e. RR+ )
36	35	rpcnd 9790	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` A ) e. CC )
37		nnnn0 9273	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
38	37	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN0 )
39	36, 38	expcld 10782	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) e. CC )
40		oveq2 5933	. . . . . . 7 |- ( n = k -> ( ( abs ` A ) ^ n ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
41		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) = ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) )
42	40, 41	fvmptg 5640	. . . . . 6 |- ( ( k e. NN /\ ( ( abs ` A ) ^ k ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
43	22, 39, 42	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
44		nnz 9362	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
45		rpexpcl 10667	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR+ /\ k e. ZZ ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) e. RR+ )
46	6, 44, 45	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) e. RR+ )
47	43, 46	eqeltrd 2273	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) e. RR+ )
48	47	rpred 9788	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) e. RR )
49		nnrp 9755	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> k e. RR+ )
50		rpmulcl 9770	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. RR+ /\ k e. RR+ ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) e. RR+ )
51	14, 49, 50	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) e. RR+ )
52	51	rpred 9788	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) e. RR )
53		peano2re 8179	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) e. RR -> ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) + 1 ) e. RR )
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) + 1 ) e. RR )
55		rpexpcl 10667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR+ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) e. RR+ )
56	10, 44, 55	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) e. RR+ )
57	56	rpred 9788	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) e. RR )
58	52	lep1d 8975	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) <_ ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) + 1 ) )
59	11	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR )
60	10	rpge0d 9792	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ ( 1 / ( abs ` A ) ) )
61	60	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( 1 / ( abs ` A ) ) )
62		bernneq2 10770	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR /\ k e. NN0 /\ 0 <_ ( 1 / ( abs ` A ) ) ) -> ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) + 1 ) <_ ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) )
63	59, 38, 61, 62	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) + 1 ) <_ ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) )
64	52, 54, 57, 58, 63	letrd 8167	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) <_ ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) )
65	6	rpcnd 9790	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. CC )
66	6	rpap0d 9794	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` A ) # 0 )
67		exprecap 10689	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ ( abs ` A ) # 0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) = ( 1 / ( ( abs ` A ) ^ k ) ) )
68	65, 66, 44, 67	syl2an3an 1309	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) = ( 1 / ( ( abs ` A ) ^ k ) ) )
69	64, 68	breqtrd 4060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) <_ ( 1 / ( ( abs ` A ) ^ k ) ) )
70	51, 46, 69	lerec2d 9810	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) <_ ( 1 / ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) ) )
71	14	rpcnd 9790	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. CC )
72	14	rpap0d 9794	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) # 0 )
73	71, 72	jca 306	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. CC /\ ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) # 0 ) )
74		nncn 9015	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> k e. CC )
75		nnap0 9036	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> k # 0 )
76	74, 75	jca 306	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( k e. CC /\ k # 0 ) )
77		recdivap2 8769	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. CC /\ ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) # 0 ) /\ ( k e. CC /\ k # 0 ) ) -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) = ( 1 / ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) ) )
78	73, 76, 77	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) = ( 1 / ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) ) )
79	70, 78	breqtrrd 4062	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) <_ ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) )
80	79, 43, 30	3brtr4d 4066	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) <_ ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ` k ) )
81	47	rpge0d 9792	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) )
82	1, 2, 18, 21, 34, 48, 80, 81	climsqz2 11518	. 2 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ~~> 0 )
83		nn0ex 9272	. . . . 5 |- NN0 e. _V
84	83	mptex 5791	. . . 4 |- ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) e. _V
85	84	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) e. _V )
86	4	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. CC )
87	86, 38	expcld 10782	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ k ) e. CC )
88		oveq2 5933	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( A ^ n ) = ( A ^ k ) )
89		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) )
90	88, 89	fvmptg 5640	. . . . 5 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A ^ k ) e. CC ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = ( A ^ k ) )
91	38, 87, 90	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = ( A ^ k ) )
92		expcl 10666	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. CC )
93	4, 37, 92	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ k ) e. CC )
94	91, 93	eqeltrd 2273	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) e. CC )
95		absexp 11261	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( A ^ k ) ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
96	4, 37, 95	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( A ^ k ) ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
97	91	fveq2d 5565	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) ) = ( abs ` ( A ^ k ) ) )
98	96, 97, 43	3eqtr4rd 2240	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) = ( abs ` ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) ) )
99	1, 2, 85, 21, 94, 98	climabs0 11489	. 2 |- ( ph -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ~~> 0 <-> ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ~~> 0 ) )
100	82, 99	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ~~> 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7894   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   x. cmul 7901   < clt 8078   <_ cle 8079   - cmin 8214   # cap 8625   / cdiv 8716   NNcn 9007   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   RR+crp 9745   ^cexp 10647   abscabs 11179   ~~> cli 11460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-rp 9746  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461

This theorem is referenced by:  expcnvre  11685