Theorem expcnvap0 11478

Description: A sequence of powers of a complex number A with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcnvap0.1	|- ( ph -> A e. CC )
expcnvap0.2	|- ( ph -> ( abs ` A ) < 1 )
expcnvap0.0	|- ( ph -> A # 0 )

Assertion

Ref	Expression
expcnvap0	|- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ~~> 0 )

Distinct variable group:   A, n

Allowed substitution hint:   ph( n)

Proof of Theorem expcnvap0

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9536	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 9253	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		expcnvap0.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` A ) < 1 )
4		expcnvap0.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. CC )
5		expcnvap0.0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A # 0 )
6	4, 5	absrpclapd 11165	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR+ )
7	6	reclt1d 9681	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) < 1 <-> 1 < ( 1 / ( abs ` A ) ) ) )
8	3, 7	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < ( 1 / ( abs ` A ) ) )
9		1re 7931	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
10	6	rpreccld 9678	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR+ )
11	10	rpred 9667	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR )
12		difrp 9663	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR ) -> ( 1 < ( 1 / ( abs ` A ) ) <-> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. RR+ ) )
13	9, 11, 12	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 < ( 1 / ( abs ` A ) ) <-> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. RR+ ) )
14	8, 13	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. RR+ )
15	14	rpreccld 9678	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. RR+ )
16	15	rpcnd 9669	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. CC )
17		divcnv 11473	. . . 4 |- ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. CC -> ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ~~> 0 )
18	16, 17	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ~~> 0 )
19		nnex 8898	. . . . 5 |- NN e. _V
20	19	mptex 5734	. . . 4 |- ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) e. _V
21	20	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) e. _V )
22		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
23	16	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. CC )
24	22	nncnd 8906	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. CC )
25	22	nnap0d 8938	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k # 0 )
26	23, 24, 25	divclapd 8720	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) e. CC )
27		oveq2 5873	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) = ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) )
28		eqid 2175	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) = ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) )
29	27, 28	fvmptg 5584	. . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ` k ) = ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) )
30	22, 26, 29	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ` k ) = ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) )
31	15	rpred 9667	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. RR )
32		nndivre 8928	. . . . 5 |- ( ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. RR /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) e. RR )
33	31, 32	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) e. RR )
34	30, 33	eqeltrd 2252	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ` k ) e. RR )
35	6	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` A ) e. RR+ )
36	35	rpcnd 9669	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` A ) e. CC )
37		nnnn0 9156	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
38	37	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN0 )
39	36, 38	expcld 10623	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) e. CC )
40		oveq2 5873	. . . . . . 7 |- ( n = k -> ( ( abs ` A ) ^ n ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
41		eqid 2175	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) = ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) )
42	40, 41	fvmptg 5584	. . . . . 6 |- ( ( k e. NN /\ ( ( abs ` A ) ^ k ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
43	22, 39, 42	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
44		nnz 9245	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
45		rpexpcl 10509	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR+ /\ k e. ZZ ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) e. RR+ )
46	6, 44, 45	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) e. RR+ )
47	43, 46	eqeltrd 2252	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) e. RR+ )
48	47	rpred 9667	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) e. RR )
49		nnrp 9634	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> k e. RR+ )
50		rpmulcl 9649	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. RR+ /\ k e. RR+ ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) e. RR+ )
51	14, 49, 50	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) e. RR+ )
52	51	rpred 9667	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) e. RR )
53		peano2re 8067	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) e. RR -> ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) + 1 ) e. RR )
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) + 1 ) e. RR )
55		rpexpcl 10509	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR+ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) e. RR+ )
56	10, 44, 55	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) e. RR+ )
57	56	rpred 9667	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) e. RR )
58	52	lep1d 8861	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) <_ ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) + 1 ) )
59	11	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR )
60	10	rpge0d 9671	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ ( 1 / ( abs ` A ) ) )
61	60	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( 1 / ( abs ` A ) ) )
62		bernneq2 10611	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR /\ k e. NN0 /\ 0 <_ ( 1 / ( abs ` A ) ) ) -> ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) + 1 ) <_ ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) )
63	59, 38, 61, 62	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) + 1 ) <_ ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) )
64	52, 54, 57, 58, 63	letrd 8055	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) <_ ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) )
65	6	rpcnd 9669	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. CC )
66	6	rpap0d 9673	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` A ) # 0 )
67		exprecap 10531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ ( abs ` A ) # 0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) = ( 1 / ( ( abs ` A ) ^ k ) ) )
68	65, 66, 44, 67	syl2an3an 1298	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) = ( 1 / ( ( abs ` A ) ^ k ) ) )
69	64, 68	breqtrd 4024	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) <_ ( 1 / ( ( abs ` A ) ^ k ) ) )
70	51, 46, 69	lerec2d 9689	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) <_ ( 1 / ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) ) )
71	14	rpcnd 9669	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. CC )
72	14	rpap0d 9673	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) # 0 )
73	71, 72	jca 306	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. CC /\ ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) # 0 ) )
74		nncn 8900	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> k e. CC )
75		nnap0 8921	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> k # 0 )
76	74, 75	jca 306	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( k e. CC /\ k # 0 ) )
77		recdivap2 8655	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. CC /\ ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) # 0 ) /\ ( k e. CC /\ k # 0 ) ) -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) = ( 1 / ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) ) )
78	73, 76, 77	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) = ( 1 / ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) ) )
79	70, 78	breqtrrd 4026	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) <_ ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) )
80	79, 43, 30	3brtr4d 4030	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) <_ ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ` k ) )
81	47	rpge0d 9671	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) )
82	1, 2, 18, 21, 34, 48, 80, 81	climsqz2 11312	. 2 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ~~> 0 )
83		nn0ex 9155	. . . . 5 |- NN0 e. _V
84	83	mptex 5734	. . . 4 |- ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) e. _V
85	84	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) e. _V )
86	4	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. CC )
87	86, 38	expcld 10623	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ k ) e. CC )
88		oveq2 5873	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( A ^ n ) = ( A ^ k ) )
89		eqid 2175	. . . . . 6 |- ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) )
90	88, 89	fvmptg 5584	. . . . 5 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A ^ k ) e. CC ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = ( A ^ k ) )
91	38, 87, 90	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = ( A ^ k ) )
92		expcl 10508	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. CC )
93	4, 37, 92	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ k ) e. CC )
94	91, 93	eqeltrd 2252	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) e. CC )
95		absexp 11056	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( A ^ k ) ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
96	4, 37, 95	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( A ^ k ) ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
97	91	fveq2d 5511	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) ) = ( abs ` ( A ^ k ) ) )
98	96, 97, 43	3eqtr4rd 2219	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) = ( abs ` ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) ) )
99	1, 2, 85, 21, 94, 98	climabs0 11283	. 2 |- ( ph -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ~~> 0 <-> ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ~~> 0 ) )
100	82, 99	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ~~> 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2146   _Vcvv 2735   class class class wbr 3998   |-> cmpt 4059   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   CCcc 7784   RRcr 7785   0cc0 7786   1c1 7787   + caddc 7789   x. cmul 7791   < clt 7966   <_ cle 7967   - cmin 8102   # cap 8512   / cdiv 8602   NNcn 8892   NN0cn0 9149   ZZcz 9226   RR+crp 9624   ^cexp 10489   abscabs 10974   ~~> cli 11254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-rp 9625  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-clim 11255

This theorem is referenced by:  expcnvre  11479