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Theorem expcnvap0 11211
Description: A sequence of powers of a complex number  A with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
expcnvap0.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
expcnvap0.2  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <  1 )
expcnvap0.0  |-  ( ph  ->  A #  0 )
Assertion
Ref Expression
expcnvap0  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  ~~>  0 )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    ph( n)

Proof of Theorem expcnvap0
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9310 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 9032 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
3 expcnvap0.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <  1 )
4 expcnvap0.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5 expcnvap0.0 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A #  0 )
64, 5absrpclapd 10900 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR+ )
76reclt1d 9443 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  <  1  <->  1  <  ( 1  /  ( abs `  A ) ) ) )
83, 7mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  ( 1  /  ( abs `  A
) ) )
9 1re 7729 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
106rpreccld 9440 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( abs `  A ) )  e.  RR+ )
1110rpred 9429 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( abs `  A ) )  e.  RR )
12 difrp 9426 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  ( abs `  A ) )  e.  RR )  -> 
( 1  <  (
1  /  ( abs `  A ) )  <->  ( (
1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 )  e.  RR+ ) )
139, 11, 12sylancr 408 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  <  (
1  /  ( abs `  A ) )  <->  ( (
1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 )  e.  RR+ ) )
148, 13mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  e.  RR+ )
1514rpreccld 9440 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  e.  RR+ )
1615rpcnd 9431 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  e.  CC )
17 divcnv 11206 . . . 4  |-  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  e.  CC  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  n
) )  ~~>  0 )
1816, 17syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  n
) )  ~~>  0 )
19 nnex 8683 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
2019mptex 5612 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A ) ^ n ) )  e.  _V
2120a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) )  e.  _V )
22 simpr 109 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
2316adantr 272 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 ) )  e.  CC )
2422nncnd 8691 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
2522nnap0d 8723 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k #  0 )
2623, 24, 25divclapd 8510 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  / 
k )  e.  CC )
27 oveq2 5748 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  /  n )  =  ( ( 1  / 
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  k
) )
28 eqid 2115 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  n
) )
2927, 28fvmptg 5463 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( 1  / 
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  k
)  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  /  n ) ) `  k )  =  ( ( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  /  k ) )
3022, 26, 29syl2anc 406 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  /  n ) ) `
 k )  =  ( ( 1  / 
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  k
) )
3115rpred 9429 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  e.  RR )
32 nndivre 8713 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  /  k )  e.  RR )
3331, 32sylan 279 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  / 
k )  e.  RR )
3430, 33eqeltrd 2192 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  /  n ) ) `
 k )  e.  RR )
356adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  A )  e.  RR+ )
3635rpcnd 9431 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
37 nnnn0 8935 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
3837adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e. 
NN0 )
3936, 38expcld 10364 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( abs `  A ) ^ k )  e.  CC )
40 oveq2 5748 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( abs `  A
) ^ n )  =  ( ( abs `  A ) ^ k
) )
41 eqid 2115 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A ) ^ n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A ) ^ n
) )
4240, 41fvmptg 5463 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  A
) ^ k )  e.  CC )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A ) ^ n
) ) `  k
)  =  ( ( abs `  A ) ^ k ) )
4322, 39, 42syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) ) `  k )  =  ( ( abs `  A ) ^ k
) )
44 nnz 9024 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
45 rpexpcl 10252 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( abs `  A
) ^ k )  e.  RR+ )
466, 44, 45syl2an 285 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( abs `  A ) ^ k )  e.  RR+ )
4743, 46eqeltrd 2192 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) ) `  k )  e.  RR+ )
4847rpred 9429 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) ) `  k )  e.  RR )
49 nnrp 9399 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
50 rpmulcl 9414 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  e.  RR+  /\  k  e.  RR+ )  ->  (
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  e.  RR+ )
5114, 49, 50syl2an 285 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 )  x.  k )  e.  RR+ )
5251rpred 9429 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 )  x.  k )  e.  RR )
53 peano2re 7862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  e.  RR  ->  (
( ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  +  1 )  e.  RR )
5452, 53syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  +  1 )  e.  RR )
55 rpexpcl 10252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( 1  /  ( abs `  A ) ) ^ k )  e.  RR+ )
5610, 44, 55syl2an 285 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  ( abs `  A ) ) ^
k )  e.  RR+ )
5756rpred 9429 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  ( abs `  A ) ) ^
k )  e.  RR )
5852lep1d 8646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 )  x.  k )  <_  (
( ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  +  1 ) )
5911adantr 272 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( abs `  A
) )  e.  RR )
6010rpge0d 9433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 1  /  ( abs `  A
) ) )
6160adantr 272 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( 1  /  ( abs `  A ) ) )
62 bernneq2 10353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  e.  RR  /\  k  e.  NN0  /\  0  <_ 
( 1  /  ( abs `  A ) ) )  ->  ( (
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  +  1 )  <_ 
( ( 1  / 
( abs `  A
) ) ^ k
) )
6359, 38, 61, 62syl3anc 1199 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  +  1 )  <_ 
( ( 1  / 
( abs `  A
) ) ^ k
) )
6452, 54, 57, 58, 63letrd 7850 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 )  x.  k )  <_  (
( 1  /  ( abs `  A ) ) ^ k ) )
656rpcnd 9431 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  CC )
666rpap0d 9435 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
) #  0 )
67 exprecap 10274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  ( abs `  A ) #  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( 1  /  ( abs `  A ) ) ^ k )  =  ( 1  /  (
( abs `  A
) ^ k ) ) )
6865, 66, 44, 67syl2an3an 1259 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  ( abs `  A ) ) ^
k )  =  ( 1  /  ( ( abs `  A ) ^ k ) ) )
6964, 68breqtrd 3922 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 )  x.  k )  <_  (
1  /  ( ( abs `  A ) ^ k ) ) )
7051, 46, 69lerec2d 9451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( abs `  A ) ^ k )  <_ 
( 1  /  (
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k ) ) )
7114rpcnd 9431 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  e.  CC )
7214rpap0d 9435 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) #  0 )
7371, 72jca 302 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 )  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) #  0 ) )
74 nncn 8685 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
75 nnap0 8706 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  k #  0 )
7674, 75jca 302 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  e.  CC  /\  k #  0 ) )
77 recdivap2 8445 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 )  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) #  0 )  /\  ( k  e.  CC  /\  k #  0 ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  k
)  =  ( 1  /  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 )  x.  k
) ) )
7873, 76, 77syl2an 285 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  / 
k )  =  ( 1  /  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 )  x.  k ) ) )
7970, 78breqtrrd 3924 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( abs `  A ) ^ k )  <_ 
( ( 1  / 
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  k
) )
8079, 43, 303brtr4d 3928 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) ) `  k )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  /  n ) ) `  k ) )
8147rpge0d 9433 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A ) ^ n
) ) `  k
) )
821, 2, 18, 21, 34, 48, 80, 81climsqz2 11045 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) )  ~~>  0 )
83 nn0ex 8934 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
8483mptex 5612 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  e.  _V
8584a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  e.  _V )
864adantr 272 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
8786, 38expcld 10364 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A ^ k )  e.  CC )
88 oveq2 5748 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ k
) )
89 eqid 2115 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) )
9088, 89fvmptg 5463 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( A ^ k )  e.  CC )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) ) `  k )  =  ( A ^ k ) )
9138, 87, 90syl2anc 406 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `
 k )  =  ( A ^ k
) )
92 expcl 10251 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ k
)  e.  CC )
934, 37, 92syl2an 285 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A ^ k )  e.  CC )
9491, 93eqeltrd 2192 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `
 k )  e.  CC )
95 absexp 10791 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  ( A ^ k ) )  =  ( ( abs `  A ) ^ k
) )
964, 37, 95syl2an 285 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( A ^ k
) )  =  ( ( abs `  A
) ^ k ) )
9791fveq2d 5391 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) ) `  k ) )  =  ( abs `  ( A ^ k ) ) )
9896, 97, 433eqtr4rd 2159 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) ) `  k )  =  ( abs `  (
( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `  k ) ) )
991, 2, 85, 21, 94, 98climabs0 11016 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) )  ~~>  0  <->  (
n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) )  ~~>  0 ) )
10082, 99mpbird 166 1  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  ~~>  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314    e. wcel 1463   _Vcvv 2658   class class class wbr 3897    |-> cmpt 3957   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   CCcc 7582   RRcr 7583   0cc0 7584   1c1 7585    + caddc 7587    x. cmul 7589    < clt 7764    <_ cle 7765    - cmin 7897   # cap 8306    / cdiv 8392   NNcn 8677   NN0cn0 8928   ZZcz 9005   RR+crp 9390   ^cexp 10232   abscabs 10709    ~~> cli 10987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-rp 9391  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-clim 10988
This theorem is referenced by:  expcnvre  11212
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