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Theorem expcnvap0 11239
Description: A sequence of powers of a complex number  A with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
expcnvap0.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
expcnvap0.2  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <  1 )
expcnvap0.0  |-  ( ph  ->  A #  0 )
Assertion
Ref Expression
expcnvap0  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  ~~>  0 )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    ph( n)

Proof of Theorem expcnvap0
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9329 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 9049 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
3 expcnvap0.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <  1 )
4 expcnvap0.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5 expcnvap0.0 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A #  0 )
64, 5absrpclapd 10928 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR+ )
76reclt1d 9465 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  <  1  <->  1  <  ( 1  /  ( abs `  A ) ) ) )
83, 7mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  ( 1  /  ( abs `  A
) ) )
9 1re 7733 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
106rpreccld 9462 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( abs `  A ) )  e.  RR+ )
1110rpred 9451 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( abs `  A ) )  e.  RR )
12 difrp 9448 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  ( abs `  A ) )  e.  RR )  -> 
( 1  <  (
1  /  ( abs `  A ) )  <->  ( (
1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 )  e.  RR+ ) )
139, 11, 12sylancr 410 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  <  (
1  /  ( abs `  A ) )  <->  ( (
1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 )  e.  RR+ ) )
148, 13mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  e.  RR+ )
1514rpreccld 9462 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  e.  RR+ )
1615rpcnd 9453 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  e.  CC )
17 divcnv 11234 . . . 4  |-  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  e.  CC  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  n
) )  ~~>  0 )
1816, 17syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  n
) )  ~~>  0 )
19 nnex 8694 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
2019mptex 5614 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A ) ^ n ) )  e.  _V
2120a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) )  e.  _V )
22 simpr 109 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
2316adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 ) )  e.  CC )
2422nncnd 8702 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
2522nnap0d 8734 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k #  0 )
2623, 24, 25divclapd 8518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  / 
k )  e.  CC )
27 oveq2 5750 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  /  n )  =  ( ( 1  / 
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  k
) )
28 eqid 2117 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  n
) )
2927, 28fvmptg 5465 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( 1  / 
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  k
)  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  /  n ) ) `  k )  =  ( ( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  /  k ) )
3022, 26, 29syl2anc 408 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  /  n ) ) `
 k )  =  ( ( 1  / 
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  k
) )
3115rpred 9451 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  e.  RR )
32 nndivre 8724 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  /  k )  e.  RR )
3331, 32sylan 281 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  / 
k )  e.  RR )
3430, 33eqeltrd 2194 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  /  n ) ) `
 k )  e.  RR )
356adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  A )  e.  RR+ )
3635rpcnd 9453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
37 nnnn0 8952 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
3837adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e. 
NN0 )
3936, 38expcld 10392 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( abs `  A ) ^ k )  e.  CC )
40 oveq2 5750 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( abs `  A
) ^ n )  =  ( ( abs `  A ) ^ k
) )
41 eqid 2117 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A ) ^ n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A ) ^ n
) )
4240, 41fvmptg 5465 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  A
) ^ k )  e.  CC )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A ) ^ n
) ) `  k
)  =  ( ( abs `  A ) ^ k ) )
4322, 39, 42syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) ) `  k )  =  ( ( abs `  A ) ^ k
) )
44 nnz 9041 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
45 rpexpcl 10280 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( abs `  A
) ^ k )  e.  RR+ )
466, 44, 45syl2an 287 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( abs `  A ) ^ k )  e.  RR+ )
4743, 46eqeltrd 2194 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) ) `  k )  e.  RR+ )
4847rpred 9451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) ) `  k )  e.  RR )
49 nnrp 9419 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
50 rpmulcl 9434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  e.  RR+  /\  k  e.  RR+ )  ->  (
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  e.  RR+ )
5114, 49, 50syl2an 287 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 )  x.  k )  e.  RR+ )
5251rpred 9451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 )  x.  k )  e.  RR )
53 peano2re 7866 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  e.  RR  ->  (
( ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  +  1 )  e.  RR )
5452, 53syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  +  1 )  e.  RR )
55 rpexpcl 10280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( 1  /  ( abs `  A ) ) ^ k )  e.  RR+ )
5610, 44, 55syl2an 287 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  ( abs `  A ) ) ^
k )  e.  RR+ )
5756rpred 9451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  ( abs `  A ) ) ^
k )  e.  RR )
5852lep1d 8657 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 )  x.  k )  <_  (
( ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  +  1 ) )
5911adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( abs `  A
) )  e.  RR )
6010rpge0d 9455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 1  /  ( abs `  A
) ) )
6160adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( 1  /  ( abs `  A ) ) )
62 bernneq2 10381 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  e.  RR  /\  k  e.  NN0  /\  0  <_ 
( 1  /  ( abs `  A ) ) )  ->  ( (
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  +  1 )  <_ 
( ( 1  / 
( abs `  A
) ) ^ k
) )
6359, 38, 61, 62syl3anc 1201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  +  1 )  <_ 
( ( 1  / 
( abs `  A
) ) ^ k
) )
6452, 54, 57, 58, 63letrd 7854 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 )  x.  k )  <_  (
( 1  /  ( abs `  A ) ) ^ k ) )
656rpcnd 9453 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  CC )
666rpap0d 9457 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
) #  0 )
67 exprecap 10302 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  ( abs `  A ) #  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( 1  /  ( abs `  A ) ) ^ k )  =  ( 1  /  (
( abs `  A
) ^ k ) ) )
6865, 66, 44, 67syl2an3an 1261 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  ( abs `  A ) ) ^
k )  =  ( 1  /  ( ( abs `  A ) ^ k ) ) )
6964, 68breqtrd 3924 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 )  x.  k )  <_  (
1  /  ( ( abs `  A ) ^ k ) ) )
7051, 46, 69lerec2d 9473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( abs `  A ) ^ k )  <_ 
( 1  /  (
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k ) ) )
7114rpcnd 9453 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  e.  CC )
7214rpap0d 9457 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) #  0 )
7371, 72jca 304 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 )  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) #  0 ) )
74 nncn 8696 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
75 nnap0 8717 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  k #  0 )
7674, 75jca 304 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  e.  CC  /\  k #  0 ) )
77 recdivap2 8453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 )  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) #  0 )  /\  ( k  e.  CC  /\  k #  0 ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  k
)  =  ( 1  /  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 )  x.  k
) ) )
7873, 76, 77syl2an 287 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  / 
k )  =  ( 1  /  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 )  x.  k ) ) )
7970, 78breqtrrd 3926 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( abs `  A ) ^ k )  <_ 
( ( 1  / 
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  k
) )
8079, 43, 303brtr4d 3930 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) ) `  k )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  /  n ) ) `  k ) )
8147rpge0d 9455 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A ) ^ n
) ) `  k
) )
821, 2, 18, 21, 34, 48, 80, 81climsqz2 11073 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) )  ~~>  0 )
83 nn0ex 8951 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
8483mptex 5614 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  e.  _V
8584a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  e.  _V )
864adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
8786, 38expcld 10392 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A ^ k )  e.  CC )
88 oveq2 5750 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ k
) )
89 eqid 2117 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) )
9088, 89fvmptg 5465 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( A ^ k )  e.  CC )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) ) `  k )  =  ( A ^ k ) )
9138, 87, 90syl2anc 408 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `
 k )  =  ( A ^ k
) )
92 expcl 10279 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ k
)  e.  CC )
934, 37, 92syl2an 287 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A ^ k )  e.  CC )
9491, 93eqeltrd 2194 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `
 k )  e.  CC )
95 absexp 10819 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  ( A ^ k ) )  =  ( ( abs `  A ) ^ k
) )
964, 37, 95syl2an 287 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( A ^ k
) )  =  ( ( abs `  A
) ^ k ) )
9791fveq2d 5393 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) ) `  k ) )  =  ( abs `  ( A ^ k ) ) )
9896, 97, 433eqtr4rd 2161 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) ) `  k )  =  ( abs `  (
( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `  k ) ) )
991, 2, 85, 21, 94, 98climabs0 11044 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) )  ~~>  0  <->  (
n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) )  ~~>  0 ) )
10082, 99mpbird 166 1  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  ~~>  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316    e. wcel 1465   _Vcvv 2660   class class class wbr 3899    |-> cmpt 3959   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   CCcc 7586   RRcr 7587   0cc0 7588   1c1 7589    + caddc 7591    x. cmul 7593    < clt 7768    <_ cle 7769    - cmin 7901   # cap 8311    / cdiv 8400   NNcn 8688   NN0cn0 8945   ZZcz 9022   RR+crp 9409   ^cexp 10260   abscabs 10737    ~~> cli 11015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-rp 9410  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-clim 11016
This theorem is referenced by:  expcnvre  11240
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