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Theorem expcnvap0 11494
Description: A sequence of powers of a complex number  A with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
expcnvap0.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
expcnvap0.2  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <  1 )
expcnvap0.0  |-  ( ph  ->  A #  0 )
Assertion
Ref Expression
expcnvap0  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  ~~>  0 )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    ph( n)

Proof of Theorem expcnvap0
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9552 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 9269 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
3 expcnvap0.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <  1 )
4 expcnvap0.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5 expcnvap0.0 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A #  0 )
64, 5absrpclapd 11181 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR+ )
76reclt1d 9697 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  <  1  <->  1  <  ( 1  /  ( abs `  A ) ) ) )
83, 7mpbid 147 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  ( 1  /  ( abs `  A
) ) )
9 1re 7947 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
106rpreccld 9694 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( abs `  A ) )  e.  RR+ )
1110rpred 9683 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( abs `  A ) )  e.  RR )
12 difrp 9679 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  ( abs `  A ) )  e.  RR )  -> 
( 1  <  (
1  /  ( abs `  A ) )  <->  ( (
1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 )  e.  RR+ ) )
139, 11, 12sylancr 414 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  <  (
1  /  ( abs `  A ) )  <->  ( (
1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 )  e.  RR+ ) )
148, 13mpbid 147 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  e.  RR+ )
1514rpreccld 9694 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  e.  RR+ )
1615rpcnd 9685 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  e.  CC )
17 divcnv 11489 . . . 4  |-  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  e.  CC  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  n
) )  ~~>  0 )
1816, 17syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  n
) )  ~~>  0 )
19 nnex 8914 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
2019mptex 5738 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A ) ^ n ) )  e.  _V
2120a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) )  e.  _V )
22 simpr 110 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
2316adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 ) )  e.  CC )
2422nncnd 8922 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
2522nnap0d 8954 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k #  0 )
2623, 24, 25divclapd 8736 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  / 
k )  e.  CC )
27 oveq2 5877 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  /  n )  =  ( ( 1  / 
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  k
) )
28 eqid 2177 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  n
) )
2927, 28fvmptg 5588 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( 1  / 
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  k
)  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  /  n ) ) `  k )  =  ( ( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  /  k ) )
3022, 26, 29syl2anc 411 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  /  n ) ) `
 k )  =  ( ( 1  / 
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  k
) )
3115rpred 9683 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  e.  RR )
32 nndivre 8944 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  /  k )  e.  RR )
3331, 32sylan 283 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  / 
k )  e.  RR )
3430, 33eqeltrd 2254 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  /  n ) ) `
 k )  e.  RR )
356adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  A )  e.  RR+ )
3635rpcnd 9685 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
37 nnnn0 9172 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
3837adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e. 
NN0 )
3936, 38expcld 10639 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( abs `  A ) ^ k )  e.  CC )
40 oveq2 5877 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( abs `  A
) ^ n )  =  ( ( abs `  A ) ^ k
) )
41 eqid 2177 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A ) ^ n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A ) ^ n
) )
4240, 41fvmptg 5588 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  A
) ^ k )  e.  CC )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A ) ^ n
) ) `  k
)  =  ( ( abs `  A ) ^ k ) )
4322, 39, 42syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) ) `  k )  =  ( ( abs `  A ) ^ k
) )
44 nnz 9261 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
45 rpexpcl 10525 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( abs `  A
) ^ k )  e.  RR+ )
466, 44, 45syl2an 289 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( abs `  A ) ^ k )  e.  RR+ )
4743, 46eqeltrd 2254 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) ) `  k )  e.  RR+ )
4847rpred 9683 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) ) `  k )  e.  RR )
49 nnrp 9650 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
50 rpmulcl 9665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  e.  RR+  /\  k  e.  RR+ )  ->  (
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  e.  RR+ )
5114, 49, 50syl2an 289 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 )  x.  k )  e.  RR+ )
5251rpred 9683 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 )  x.  k )  e.  RR )
53 peano2re 8083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  e.  RR  ->  (
( ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  +  1 )  e.  RR )
5452, 53syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  +  1 )  e.  RR )
55 rpexpcl 10525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( 1  /  ( abs `  A ) ) ^ k )  e.  RR+ )
5610, 44, 55syl2an 289 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  ( abs `  A ) ) ^
k )  e.  RR+ )
5756rpred 9683 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  ( abs `  A ) ) ^
k )  e.  RR )
5852lep1d 8877 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 )  x.  k )  <_  (
( ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  +  1 ) )
5911adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( abs `  A
) )  e.  RR )
6010rpge0d 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 1  /  ( abs `  A
) ) )
6160adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( 1  /  ( abs `  A ) ) )
62 bernneq2 10627 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  e.  RR  /\  k  e.  NN0  /\  0  <_ 
( 1  /  ( abs `  A ) ) )  ->  ( (
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  +  1 )  <_ 
( ( 1  / 
( abs `  A
) ) ^ k
) )
6359, 38, 61, 62syl3anc 1238 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  +  1 )  <_ 
( ( 1  / 
( abs `  A
) ) ^ k
) )
6452, 54, 57, 58, 63letrd 8071 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 )  x.  k )  <_  (
( 1  /  ( abs `  A ) ) ^ k ) )
656rpcnd 9685 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  CC )
666rpap0d 9689 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
) #  0 )
67 exprecap 10547 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  ( abs `  A ) #  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( 1  /  ( abs `  A ) ) ^ k )  =  ( 1  /  (
( abs `  A
) ^ k ) ) )
6865, 66, 44, 67syl2an3an 1298 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  ( abs `  A ) ) ^
k )  =  ( 1  /  ( ( abs `  A ) ^ k ) ) )
6964, 68breqtrd 4026 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 )  x.  k )  <_  (
1  /  ( ( abs `  A ) ^ k ) ) )
7051, 46, 69lerec2d 9705 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( abs `  A ) ^ k )  <_ 
( 1  /  (
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k ) ) )
7114rpcnd 9685 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  e.  CC )
7214rpap0d 9689 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) #  0 )
7371, 72jca 306 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 )  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) #  0 ) )
74 nncn 8916 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
75 nnap0 8937 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  k #  0 )
7674, 75jca 306 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  e.  CC  /\  k #  0 ) )
77 recdivap2 8671 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 )  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) #  0 )  /\  ( k  e.  CC  /\  k #  0 ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  k
)  =  ( 1  /  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 )  x.  k
) ) )
7873, 76, 77syl2an 289 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  / 
k )  =  ( 1  /  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 )  x.  k ) ) )
7970, 78breqtrrd 4028 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( abs `  A ) ^ k )  <_ 
( ( 1  / 
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  k
) )
8079, 43, 303brtr4d 4032 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) ) `  k )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  /  n ) ) `  k ) )
8147rpge0d 9687 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A ) ^ n
) ) `  k
) )
821, 2, 18, 21, 34, 48, 80, 81climsqz2 11328 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) )  ~~>  0 )
83 nn0ex 9171 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
8483mptex 5738 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  e.  _V
8584a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  e.  _V )
864adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
8786, 38expcld 10639 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A ^ k )  e.  CC )
88 oveq2 5877 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ k
) )
89 eqid 2177 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) )
9088, 89fvmptg 5588 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( A ^ k )  e.  CC )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) ) `  k )  =  ( A ^ k ) )
9138, 87, 90syl2anc 411 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `
 k )  =  ( A ^ k
) )
92 expcl 10524 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ k
)  e.  CC )
934, 37, 92syl2an 289 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A ^ k )  e.  CC )
9491, 93eqeltrd 2254 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `
 k )  e.  CC )
95 absexp 11072 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  ( A ^ k ) )  =  ( ( abs `  A ) ^ k
) )
964, 37, 95syl2an 289 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( A ^ k
) )  =  ( ( abs `  A
) ^ k ) )
9791fveq2d 5515 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) ) `  k ) )  =  ( abs `  ( A ^ k ) ) )
9896, 97, 433eqtr4rd 2221 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) ) `  k )  =  ( abs `  (
( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `  k ) ) )
991, 2, 85, 21, 94, 98climabs0 11299 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) )  ~~>  0  <->  (
n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) )  ~~>  0 ) )
10082, 99mpbird 167 1  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  ~~>  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2737   class class class wbr 4000    |-> cmpt 4061   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7800   RRcr 7801   0cc0 7802   1c1 7803    + caddc 7805    x. cmul 7807    < clt 7982    <_ cle 7983    - cmin 8118   # cap 8528    / cdiv 8618   NNcn 8908   NN0cn0 9165   ZZcz 9242   RR+crp 9640   ^cexp 10505   abscabs 10990    ~~> cli 11270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271
This theorem is referenced by:  expcnvre  11495
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