Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expcnvap0 Unicode version

Theorem expcnvap0 11323
 Description: A sequence of powers of a complex number with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
expcnvap0.1
expcnvap0.2
expcnvap0.0 #
Assertion
Ref Expression
expcnvap0
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem expcnvap0
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9405 . . 3
2 1zzd 9125 . . 3
3 expcnvap0.2 . . . . . . . 8
4 expcnvap0.1 . . . . . . . . . 10
5 expcnvap0.0 . . . . . . . . . 10 #
64, 5absrpclapd 11012 . . . . . . . . 9
76reclt1d 9547 . . . . . . . 8
83, 7mpbid 146 . . . . . . 7
9 1re 7809 . . . . . . . 8
106rpreccld 9544 . . . . . . . . 9
1110rpred 9533 . . . . . . . 8
12 difrp 9529 . . . . . . . 8
139, 11, 12sylancr 411 . . . . . . 7
148, 13mpbid 146 . . . . . 6
1514rpreccld 9544 . . . . 5
1615rpcnd 9535 . . . 4
17 divcnv 11318 . . . 4
1816, 17syl 14 . . 3
19 nnex 8770 . . . . 5
2019mptex 5655 . . . 4
2120a1i 9 . . 3
22 simpr 109 . . . . 5
2316adantr 274 . . . . . 6
2422nncnd 8778 . . . . . 6
2522nnap0d 8810 . . . . . 6 #
2623, 24, 25divclapd 8594 . . . . 5
27 oveq2 5791 . . . . . 6
28 eqid 2140 . . . . . 6
2927, 28fvmptg 5506 . . . . 5
3022, 26, 29syl2anc 409 . . . 4
3115rpred 9533 . . . . 5
32 nndivre 8800 . . . . 5
3331, 32sylan 281 . . . 4
3430, 33eqeltrd 2217 . . 3
356adantr 274 . . . . . . . 8
3635rpcnd 9535 . . . . . . 7
37 nnnn0 9028 . . . . . . . 8
3837adantl 275 . . . . . . 7
3936, 38expcld 10475 . . . . . 6
40 oveq2 5791 . . . . . . 7
41 eqid 2140 . . . . . . 7
4240, 41fvmptg 5506 . . . . . 6
4322, 39, 42syl2anc 409 . . . . 5
44 nnz 9117 . . . . . 6
45 rpexpcl 10363 . . . . . 6
466, 44, 45syl2an 287 . . . . 5
4743, 46eqeltrd 2217 . . . 4
4847rpred 9533 . . 3
49 nnrp 9500 . . . . . . 7
50 rpmulcl 9515 . . . . . . 7
5114, 49, 50syl2an 287 . . . . . 6
5251rpred 9533 . . . . . . . 8
53 peano2re 7942 . . . . . . . . 9
5452, 53syl 14 . . . . . . . 8
55 rpexpcl 10363 . . . . . . . . . 10
5610, 44, 55syl2an 287 . . . . . . . . 9
5756rpred 9533 . . . . . . . 8
5852lep1d 8733 . . . . . . . 8
5911adantr 274 . . . . . . . . 9
6010rpge0d 9537 . . . . . . . . . 10
6160adantr 274 . . . . . . . . 9
62 bernneq2 10464 . . . . . . . . 9
6359, 38, 61, 62syl3anc 1217 . . . . . . . 8
6452, 54, 57, 58, 63letrd 7930 . . . . . . 7
656rpcnd 9535 . . . . . . . 8
666rpap0d 9539 . . . . . . . 8 #
67 exprecap 10385 . . . . . . . 8 #
6865, 66, 44, 67syl2an3an 1277 . . . . . . 7
6964, 68breqtrd 3963 . . . . . 6
7051, 46, 69lerec2d 9555 . . . . 5
7114rpcnd 9535 . . . . . . 7
7214rpap0d 9539 . . . . . . 7 #
7371, 72jca 304 . . . . . 6 #
74 nncn 8772 . . . . . . 7
75 nnap0 8793 . . . . . . 7 #
7674, 75jca 304 . . . . . 6 #
77 recdivap2 8529 . . . . . 6 # #
7873, 76, 77syl2an 287 . . . . 5
7970, 78breqtrrd 3965 . . . 4
8079, 43, 303brtr4d 3969 . . 3
8147rpge0d 9537 . . 3
821, 2, 18, 21, 34, 48, 80, 81climsqz2 11157 . 2
83 nn0ex 9027 . . . . 5
8483mptex 5655 . . . 4
8584a1i 9 . . 3
864adantr 274 . . . . . 6
8786, 38expcld 10475 . . . . 5
88 oveq2 5791 . . . . . 6
89 eqid 2140 . . . . . 6
9088, 89fvmptg 5506 . . . . 5
9138, 87, 90syl2anc 409 . . . 4
92 expcl 10362 . . . . 5
934, 37, 92syl2an 287 . . . 4
9491, 93eqeltrd 2217 . . 3
95 absexp 10903 . . . . 5
964, 37, 95syl2an 287 . . . 4
9791fveq2d 5434 . . . 4
9896, 97, 433eqtr4rd 2184 . . 3
991, 2, 85, 21, 94, 98climabs0 11128 . 2
10082, 99mpbird 166 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1332   wcel 1481  cvv 2690   class class class wbr 3938   cmpt 3998  cfv 5132  (class class class)co 5783  cc 7662  cr 7663  cc0 7664  c1 7665   caddc 7667   cmul 7669   clt 7844   cle 7845   cmin 7977   # cap 8387   cdiv 8476  cn 8764  cn0 9021  cz 9098  crp 9490  cexp 10343  cabs 10821   cli 11099 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781  ax-pre-mulext 7782  ax-arch 7783  ax-caucvg 7784 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-recs 6211  df-frec 6297  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-ap 8388  df-div 8477  df-inn 8765  df-2 8823  df-3 8824  df-4 8825  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-rp 9491  df-seqfrec 10270  df-exp 10344  df-cj 10666  df-re 10667  df-im 10668  df-rsqrt 10822  df-abs 10823  df-clim 11100 This theorem is referenced by:  expcnvre  11324
 Copyright terms: Public domain W3C validator