Theorem expcnvap0 11928

Description: A sequence of powers of a complex number A with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcnvap0.1	|- ( ph -> A e. CC )
expcnvap0.2	|- ( ph -> ( abs ` A ) < 1 )
expcnvap0.0	|- ( ph -> A # 0 )

Assertion

Ref	Expression
expcnvap0	|- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ~~> 0 )

Distinct variable group:   A, n

Allowed substitution hint:   ph( n)

Proof of Theorem expcnvap0

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9719	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 9434	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		expcnvap0.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` A ) < 1 )
4		expcnvap0.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. CC )
5		expcnvap0.0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A # 0 )
6	4, 5	absrpclapd 11614	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR+ )
7	6	reclt1d 9867	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) < 1 <-> 1 < ( 1 / ( abs ` A ) ) ) )
8	3, 7	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < ( 1 / ( abs ` A ) ) )
9		1re 8106	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
10	6	rpreccld 9864	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR+ )
11	10	rpred 9853	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR )
12		difrp 9849	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR ) -> ( 1 < ( 1 / ( abs ` A ) ) <-> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. RR+ ) )
13	9, 11, 12	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 < ( 1 / ( abs ` A ) ) <-> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. RR+ ) )
14	8, 13	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. RR+ )
15	14	rpreccld 9864	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. RR+ )
16	15	rpcnd 9855	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. CC )
17		divcnv 11923	. . . 4 |- ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. CC -> ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ~~> 0 )
18	16, 17	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ~~> 0 )
19		nnex 9077	. . . . 5 |- NN e. _V
20	19	mptex 5833	. . . 4 |- ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) e. _V
21	20	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) e. _V )
22		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
23	16	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. CC )
24	22	nncnd 9085	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. CC )
25	22	nnap0d 9117	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k # 0 )
26	23, 24, 25	divclapd 8898	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) e. CC )
27		oveq2 5975	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) = ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) )
28		eqid 2207	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) = ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) )
29	27, 28	fvmptg 5678	. . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ` k ) = ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) )
30	22, 26, 29	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ` k ) = ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) )
31	15	rpred 9853	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. RR )
32		nndivre 9107	. . . . 5 |- ( ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. RR /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) e. RR )
33	31, 32	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) e. RR )
34	30, 33	eqeltrd 2284	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ` k ) e. RR )
35	6	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` A ) e. RR+ )
36	35	rpcnd 9855	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` A ) e. CC )
37		nnnn0 9337	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
38	37	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN0 )
39	36, 38	expcld 10855	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) e. CC )
40		oveq2 5975	. . . . . . 7 |- ( n = k -> ( ( abs ` A ) ^ n ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
41		eqid 2207	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) = ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) )
42	40, 41	fvmptg 5678	. . . . . 6 |- ( ( k e. NN /\ ( ( abs ` A ) ^ k ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
43	22, 39, 42	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
44		nnz 9426	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
45		rpexpcl 10740	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR+ /\ k e. ZZ ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) e. RR+ )
46	6, 44, 45	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) e. RR+ )
47	43, 46	eqeltrd 2284	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) e. RR+ )
48	47	rpred 9853	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) e. RR )
49		nnrp 9820	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> k e. RR+ )
50		rpmulcl 9835	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. RR+ /\ k e. RR+ ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) e. RR+ )
51	14, 49, 50	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) e. RR+ )
52	51	rpred 9853	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) e. RR )
53		peano2re 8243	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) e. RR -> ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) + 1 ) e. RR )
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) + 1 ) e. RR )
55		rpexpcl 10740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR+ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) e. RR+ )
56	10, 44, 55	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) e. RR+ )
57	56	rpred 9853	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) e. RR )
58	52	lep1d 9039	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) <_ ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) + 1 ) )
59	11	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR )
60	10	rpge0d 9857	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ ( 1 / ( abs ` A ) ) )
61	60	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( 1 / ( abs ` A ) ) )
62		bernneq2 10843	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR /\ k e. NN0 /\ 0 <_ ( 1 / ( abs ` A ) ) ) -> ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) + 1 ) <_ ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) )
63	59, 38, 61, 62	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) + 1 ) <_ ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) )
64	52, 54, 57, 58, 63	letrd 8231	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) <_ ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) )
65	6	rpcnd 9855	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. CC )
66	6	rpap0d 9859	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` A ) # 0 )
67		exprecap 10762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ ( abs ` A ) # 0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) = ( 1 / ( ( abs ` A ) ^ k ) ) )
68	65, 66, 44, 67	syl2an3an 1311	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) = ( 1 / ( ( abs ` A ) ^ k ) ) )
69	64, 68	breqtrd 4085	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) <_ ( 1 / ( ( abs ` A ) ^ k ) ) )
70	51, 46, 69	lerec2d 9875	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) <_ ( 1 / ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) ) )
71	14	rpcnd 9855	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. CC )
72	14	rpap0d 9859	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) # 0 )
73	71, 72	jca 306	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. CC /\ ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) # 0 ) )
74		nncn 9079	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> k e. CC )
75		nnap0 9100	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> k # 0 )
76	74, 75	jca 306	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( k e. CC /\ k # 0 ) )
77		recdivap2 8833	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. CC /\ ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) # 0 ) /\ ( k e. CC /\ k # 0 ) ) -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) = ( 1 / ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) ) )
78	73, 76, 77	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) = ( 1 / ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) ) )
79	70, 78	breqtrrd 4087	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) <_ ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) )
80	79, 43, 30	3brtr4d 4091	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) <_ ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ` k ) )
81	47	rpge0d 9857	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) )
82	1, 2, 18, 21, 34, 48, 80, 81	climsqz2 11762	. 2 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ~~> 0 )
83		nn0ex 9336	. . . . 5 |- NN0 e. _V
84	83	mptex 5833	. . . 4 |- ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) e. _V
85	84	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) e. _V )
86	4	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. CC )
87	86, 38	expcld 10855	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ k ) e. CC )
88		oveq2 5975	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( A ^ n ) = ( A ^ k ) )
89		eqid 2207	. . . . . 6 |- ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) )
90	88, 89	fvmptg 5678	. . . . 5 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A ^ k ) e. CC ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = ( A ^ k ) )
91	38, 87, 90	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = ( A ^ k ) )
92		expcl 10739	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. CC )
93	4, 37, 92	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ k ) e. CC )
94	91, 93	eqeltrd 2284	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) e. CC )
95		absexp 11505	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( A ^ k ) ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
96	4, 37, 95	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( A ^ k ) ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
97	91	fveq2d 5603	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) ) = ( abs ` ( A ^ k ) ) )
98	96, 97, 43	3eqtr4rd 2251	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) = ( abs ` ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) ) )
99	1, 2, 85, 21, 94, 98	climabs0 11733	. 2 |- ( ph -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ~~> 0 <-> ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ~~> 0 ) )
100	82, 99	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ~~> 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   class class class wbr 4059   |-> cmpt 4121   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   CCcc 7958   RRcr 7959   0cc0 7960   1c1 7961   + caddc 7963   x. cmul 7965   < clt 8142   <_ cle 8143   - cmin 8278   # cap 8689   / cdiv 8780   NNcn 9071   NN0cn0 9330   ZZcz 9407   RR+crp 9810   ^cexp 10720   abscabs 11423   ~~> cli 11704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-rp 9811  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705

This theorem is referenced by:  expcnvre  11929