Theorem expcnvap0 11494

Description: A sequence of powers of a complex number A with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcnvap0.1	|- ( ph -> A e. CC )
expcnvap0.2	|- ( ph -> ( abs ` A ) < 1 )
expcnvap0.0	|- ( ph -> A # 0 )

Assertion

Ref	Expression
expcnvap0	|- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ~~> 0 )

Distinct variable group:   A, n

Allowed substitution hint:   ph( n)

Proof of Theorem expcnvap0

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9552	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 9269	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		expcnvap0.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` A ) < 1 )
4		expcnvap0.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. CC )
5		expcnvap0.0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A # 0 )
6	4, 5	absrpclapd 11181	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR+ )
7	6	reclt1d 9697	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) < 1 <-> 1 < ( 1 / ( abs ` A ) ) ) )
8	3, 7	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < ( 1 / ( abs ` A ) ) )
9		1re 7947	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
10	6	rpreccld 9694	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR+ )
11	10	rpred 9683	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR )
12		difrp 9679	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR ) -> ( 1 < ( 1 / ( abs ` A ) ) <-> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. RR+ ) )
13	9, 11, 12	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 < ( 1 / ( abs ` A ) ) <-> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. RR+ ) )
14	8, 13	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. RR+ )
15	14	rpreccld 9694	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. RR+ )
16	15	rpcnd 9685	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. CC )
17		divcnv 11489	. . . 4 |- ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. CC -> ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ~~> 0 )
18	16, 17	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ~~> 0 )
19		nnex 8914	. . . . 5 |- NN e. _V
20	19	mptex 5738	. . . 4 |- ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) e. _V
21	20	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) e. _V )
22		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
23	16	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. CC )
24	22	nncnd 8922	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. CC )
25	22	nnap0d 8954	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k # 0 )
26	23, 24, 25	divclapd 8736	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) e. CC )
27		oveq2 5877	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) = ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) )
28		eqid 2177	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) = ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) )
29	27, 28	fvmptg 5588	. . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ` k ) = ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) )
30	22, 26, 29	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ` k ) = ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) )
31	15	rpred 9683	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. RR )
32		nndivre 8944	. . . . 5 |- ( ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) e. RR /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) e. RR )
33	31, 32	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) e. RR )
34	30, 33	eqeltrd 2254	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ` k ) e. RR )
35	6	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` A ) e. RR+ )
36	35	rpcnd 9685	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` A ) e. CC )
37		nnnn0 9172	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
38	37	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN0 )
39	36, 38	expcld 10639	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) e. CC )
40		oveq2 5877	. . . . . . 7 |- ( n = k -> ( ( abs ` A ) ^ n ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
41		eqid 2177	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) = ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) )
42	40, 41	fvmptg 5588	. . . . . 6 |- ( ( k e. NN /\ ( ( abs ` A ) ^ k ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
43	22, 39, 42	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
44		nnz 9261	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
45		rpexpcl 10525	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR+ /\ k e. ZZ ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) e. RR+ )
46	6, 44, 45	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) e. RR+ )
47	43, 46	eqeltrd 2254	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) e. RR+ )
48	47	rpred 9683	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) e. RR )
49		nnrp 9650	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> k e. RR+ )
50		rpmulcl 9665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. RR+ /\ k e. RR+ ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) e. RR+ )
51	14, 49, 50	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) e. RR+ )
52	51	rpred 9683	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) e. RR )
53		peano2re 8083	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) e. RR -> ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) + 1 ) e. RR )
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) + 1 ) e. RR )
55		rpexpcl 10525	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR+ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) e. RR+ )
56	10, 44, 55	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) e. RR+ )
57	56	rpred 9683	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) e. RR )
58	52	lep1d 8877	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) <_ ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) + 1 ) )
59	11	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR )
60	10	rpge0d 9687	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ ( 1 / ( abs ` A ) ) )
61	60	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( 1 / ( abs ` A ) ) )
62		bernneq2 10627	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) e. RR /\ k e. NN0 /\ 0 <_ ( 1 / ( abs ` A ) ) ) -> ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) + 1 ) <_ ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) )
63	59, 38, 61, 62	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) + 1 ) <_ ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) )
64	52, 54, 57, 58, 63	letrd 8071	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) <_ ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) )
65	6	rpcnd 9685	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. CC )
66	6	rpap0d 9689	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` A ) # 0 )
67		exprecap 10547	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ ( abs ` A ) # 0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) = ( 1 / ( ( abs ` A ) ^ k ) ) )
68	65, 66, 44, 67	syl2an3an 1298	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) ^ k ) = ( 1 / ( ( abs ` A ) ^ k ) ) )
69	64, 68	breqtrd 4026	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) <_ ( 1 / ( ( abs ` A ) ^ k ) ) )
70	51, 46, 69	lerec2d 9705	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) <_ ( 1 / ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) ) )
71	14	rpcnd 9685	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. CC )
72	14	rpap0d 9689	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) # 0 )
73	71, 72	jca 306	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. CC /\ ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) # 0 ) )
74		nncn 8916	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> k e. CC )
75		nnap0 8937	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> k # 0 )
76	74, 75	jca 306	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( k e. CC /\ k # 0 ) )
77		recdivap2 8671	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) e. CC /\ ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) # 0 ) /\ ( k e. CC /\ k # 0 ) ) -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) = ( 1 / ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) ) )
78	73, 76, 77	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) = ( 1 / ( ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) x. k ) ) )
79	70, 78	breqtrrd 4028	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) <_ ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / k ) )
80	79, 43, 30	3brtr4d 4032	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) <_ ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 1 / ( abs ` A ) ) - 1 ) ) / n ) ) ` k ) )
81	47	rpge0d 9687	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) )
82	1, 2, 18, 21, 34, 48, 80, 81	climsqz2 11328	. 2 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ~~> 0 )
83		nn0ex 9171	. . . . 5 |- NN0 e. _V
84	83	mptex 5738	. . . 4 |- ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) e. _V
85	84	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) e. _V )
86	4	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. CC )
87	86, 38	expcld 10639	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ k ) e. CC )
88		oveq2 5877	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( A ^ n ) = ( A ^ k ) )
89		eqid 2177	. . . . . 6 |- ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) )
90	88, 89	fvmptg 5588	. . . . 5 |- ( ( k e. NN0 /\ ( A ^ k ) e. CC ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = ( A ^ k ) )
91	38, 87, 90	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) = ( A ^ k ) )
92		expcl 10524	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. CC )
93	4, 37, 92	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A ^ k ) e. CC )
94	91, 93	eqeltrd 2254	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) e. CC )
95		absexp 11072	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( A ^ k ) ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
96	4, 37, 95	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( A ^ k ) ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
97	91	fveq2d 5515	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) ) = ( abs ` ( A ^ k ) ) )
98	96, 97, 43	3eqtr4rd 2221	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ` k ) = ( abs ` ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ` k ) ) )
99	1, 2, 85, 21, 94, 98	climabs0 11299	. 2 |- ( ph -> ( ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ~~> 0 <-> ( n e. NN |-> ( ( abs ` A ) ^ n ) ) ~~> 0 ) )
100	82, 99	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( A ^ n ) ) ~~> 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   class class class wbr 4000   |-> cmpt 4061   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7800   RRcr 7801   0cc0 7802   1c1 7803   + caddc 7805   x. cmul 7807   < clt 7982   <_ cle 7983   - cmin 8118   # cap 8528   / cdiv 8618   NNcn 8908   NN0cn0 9165   ZZcz 9242   RR+crp 9640   ^cexp 10505   abscabs 10990   ~~> cli 11270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271

This theorem is referenced by:  expcnvre  11495