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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > expcnvap0 | Unicode version |
Description: A sequence of powers of a
complex number ![]() |
Ref | Expression |
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expcnvap0.1 |
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expcnvap0.2 |
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expcnvap0.0 |
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Ref | Expression |
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expcnvap0 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | nnuz 9385 |
. . 3
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2 | 1zzd 9105 |
. . 3
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3 | expcnvap0.2 |
. . . . . . . 8
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4 | expcnvap0.1 |
. . . . . . . . . 10
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5 | expcnvap0.0 |
. . . . . . . . . 10
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6 | 4, 5 | absrpclapd 10992 |
. . . . . . . . 9
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7 | 6 | reclt1d 9527 |
. . . . . . . 8
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8 | 3, 7 | mpbid 146 |
. . . . . . 7
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9 | 1re 7789 |
. . . . . . . 8
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10 | 6 | rpreccld 9524 |
. . . . . . . . 9
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11 | 10 | rpred 9513 |
. . . . . . . 8
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12 | difrp 9509 |
. . . . . . . 8
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13 | 9, 11, 12 | sylancr 411 |
. . . . . . 7
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14 | 8, 13 | mpbid 146 |
. . . . . 6
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15 | 14 | rpreccld 9524 |
. . . . 5
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16 | 15 | rpcnd 9515 |
. . . 4
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17 | divcnv 11298 |
. . . 4
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18 | 16, 17 | syl 14 |
. . 3
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19 | nnex 8750 |
. . . . 5
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20 | 19 | mptex 5654 |
. . . 4
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21 | 20 | a1i 9 |
. . 3
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22 | simpr 109 |
. . . . 5
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23 | 16 | adantr 274 |
. . . . . 6
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24 | 22 | nncnd 8758 |
. . . . . 6
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25 | 22 | nnap0d 8790 |
. . . . . 6
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26 | 23, 24, 25 | divclapd 8574 |
. . . . 5
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27 | oveq2 5790 |
. . . . . 6
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28 | eqid 2140 |
. . . . . 6
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29 | 27, 28 | fvmptg 5505 |
. . . . 5
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30 | 22, 26, 29 | syl2anc 409 |
. . . 4
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31 | 15 | rpred 9513 |
. . . . 5
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32 | nndivre 8780 |
. . . . 5
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33 | 31, 32 | sylan 281 |
. . . 4
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34 | 30, 33 | eqeltrd 2217 |
. . 3
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35 | 6 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
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36 | 35 | rpcnd 9515 |
. . . . . . 7
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37 | nnnn0 9008 |
. . . . . . . 8
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38 | 37 | adantl 275 |
. . . . . . 7
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39 | 36, 38 | expcld 10455 |
. . . . . 6
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40 | oveq2 5790 |
. . . . . . 7
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41 | eqid 2140 |
. . . . . . 7
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42 | 40, 41 | fvmptg 5505 |
. . . . . 6
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43 | 22, 39, 42 | syl2anc 409 |
. . . . 5
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44 | nnz 9097 |
. . . . . 6
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45 | rpexpcl 10343 |
. . . . . 6
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46 | 6, 44, 45 | syl2an 287 |
. . . . 5
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47 | 43, 46 | eqeltrd 2217 |
. . . 4
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48 | 47 | rpred 9513 |
. . 3
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49 | nnrp 9480 |
. . . . . . 7
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50 | rpmulcl 9495 |
. . . . . . 7
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51 | 14, 49, 50 | syl2an 287 |
. . . . . 6
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52 | 51 | rpred 9513 |
. . . . . . . 8
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53 | peano2re 7922 |
. . . . . . . . 9
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54 | 52, 53 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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55 | rpexpcl 10343 |
. . . . . . . . . 10
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56 | 10, 44, 55 | syl2an 287 |
. . . . . . . . 9
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57 | 56 | rpred 9513 |
. . . . . . . 8
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58 | 52 | lep1d 8713 |
. . . . . . . 8
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59 | 11 | adantr 274 |
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60 | 10 | rpge0d 9517 |
. . . . . . . . . 10
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61 | 60 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
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62 | bernneq2 10444 |
. . . . . . . . 9
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63 | 59, 38, 61, 62 | syl3anc 1217 |
. . . . . . . 8
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64 | 52, 54, 57, 58, 63 | letrd 7910 |
. . . . . . 7
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65 | 6 | rpcnd 9515 |
. . . . . . . 8
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66 | 6 | rpap0d 9519 |
. . . . . . . 8
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67 | exprecap 10365 |
. . . . . . . 8
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68 | 65, 66, 44, 67 | syl2an3an 1277 |
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69 | 64, 68 | breqtrd 3962 |
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70 | 51, 46, 69 | lerec2d 9535 |
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71 | 14 | rpcnd 9515 |
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72 | 14 | rpap0d 9519 |
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73 | 71, 72 | jca 304 |
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74 | nncn 8752 |
. . . . . . 7
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75 | nnap0 8773 |
. . . . . . 7
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76 | 74, 75 | jca 304 |
. . . . . 6
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77 | recdivap2 8509 |
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78 | 73, 76, 77 | syl2an 287 |
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79 | 70, 78 | breqtrrd 3964 |
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80 | 79, 43, 30 | 3brtr4d 3968 |
. . 3
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81 | 47 | rpge0d 9517 |
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82 | 1, 2, 18, 21, 34, 48, 80, 81 | climsqz2 11137 |
. 2
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83 | nn0ex 9007 |
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84 | 83 | mptex 5654 |
. . . 4
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85 | 84 | a1i 9 |
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86 | 4 | adantr 274 |
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87 | 86, 38 | expcld 10455 |
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88 | oveq2 5790 |
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89 | eqid 2140 |
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90 | 88, 89 | fvmptg 5505 |
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91 | 38, 87, 90 | syl2anc 409 |
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92 | expcl 10342 |
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93 | 4, 37, 92 | syl2an 287 |
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94 | 91, 93 | eqeltrd 2217 |
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95 | absexp 10883 |
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96 | 4, 37, 95 | syl2an 287 |
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97 | 91 | fveq2d 5433 |
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98 | 96, 97, 43 | 3eqtr4rd 2184 |
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99 | 1, 2, 85, 21, 94, 98 | climabs0 11108 |
. 2
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100 | 82, 99 | mpbird 166 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-mulrcl 7743 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-precex 7754 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-apti 7759 ax-pre-ltadd 7760 ax-pre-mulgt0 7761 ax-pre-mulext 7762 ax-arch 7763 ax-caucvg 7764 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rmo 2425 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-if 3480 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-po 4226 df-iso 4227 df-iord 4296 df-on 4298 df-ilim 4299 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-frec 6296 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-reap 8361 df-ap 8368 df-div 8457 df-inn 8745 df-2 8803 df-3 8804 df-4 8805 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-rp 9471 df-seqfrec 10250 df-exp 10324 df-cj 10646 df-re 10647 df-im 10648 df-rsqrt 10802 df-abs 10803 df-clim 11080 |
This theorem is referenced by: expcnvre 11304 |
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