Theorem nn0lele2xi 9165

Description: 'Less than or equal to' implies 'less than or equal to twice' for nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0lele2x.1	|- M e. NN0
nn0lele2x.2	|- N e. NN0

Assertion

Ref	Expression
nn0lele2xi	|- ( N <_ M -> N <_ ( 2 x. M ) )

Proof of Theorem nn0lele2xi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0lele2x.1	. . 3 |- M e. NN0
2	1	nn0le2xi 9164	. 2 |- M <_ ( 2 x. M )
3		nn0lele2x.2	. . . 4 |- N e. NN0
4	3	nn0rei 9125	. . 3 |- N e. RR
5	1	nn0rei 9125	. . 3 |- M e. RR
6		2re 8927	. . . 4 |- 2 e. RR
7	6, 5	remulcli 7913	. . 3 |- ( 2 x. M ) e. RR
8	4, 5, 7	letri 8006	. 2 |- ( ( N <_ M /\ M <_ ( 2 x. M ) ) -> N <_ ( 2 x. M ) )
9	2, 8	mpan2 422	1 |- ( N <_ M -> N <_ ( 2 x. M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   x. cmul 7758   <_ cle 7934   2c2 8908   NN0cn0 9114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-cnv 4612  df-iota 5153  df-fv 5196  df-ov 5845  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-inn 8858  df-2 8916  df-n0 9115

This theorem is referenced by: (None)