Theorem nn0lele2xi 9291

Description: 'Less than or equal to' implies 'less than or equal to twice' for nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0lele2x.1	|- M e. NN0
nn0lele2x.2	|- N e. NN0

Assertion

Ref	Expression
nn0lele2xi	|- ( N <_ M -> N <_ ( 2 x. M ) )

Proof of Theorem nn0lele2xi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0lele2x.1	. . 3 |- M e. NN0
2	1	nn0le2xi 9290	. 2 |- M <_ ( 2 x. M )
3		nn0lele2x.2	. . . 4 |- N e. NN0
4	3	nn0rei 9251	. . 3 |- N e. RR
5	1	nn0rei 9251	. . 3 |- M e. RR
6		2re 9052	. . . 4 |- 2 e. RR
7	6, 5	remulcli 8033	. . 3 |- ( 2 x. M ) e. RR
8	4, 5, 7	letri 8127	. 2 |- ( ( N <_ M /\ M <_ ( 2 x. M ) ) -> N <_ ( 2 x. M ) )
9	2, 8	mpan2 425	1 |- ( N <_ M -> N <_ ( 2 x. M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   x. cmul 7877   <_ cle 8055   2c2 9033   NN0cn0 9240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-cnv 4667  df-iota 5215  df-fv 5262  df-ov 5921  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241

This theorem is referenced by: (None)