ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0lele2xi Unicode version

Theorem nn0lele2xi 8932
Description: 'Less than or equal to' implies 'less than or equal to twice' for nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0lele2x.1  |-  M  e. 
NN0
nn0lele2x.2  |-  N  e. 
NN0
Assertion
Ref Expression
nn0lele2xi  |-  ( N  <_  M  ->  N  <_  ( 2  x.  M
) )

Proof of Theorem nn0lele2xi
StepHypRef Expression
1 nn0lele2x.1 . . 3  |-  M  e. 
NN0
21nn0le2xi 8931 . 2  |-  M  <_ 
( 2  x.  M
)
3 nn0lele2x.2 . . . 4  |-  N  e. 
NN0
43nn0rei 8892 . . 3  |-  N  e.  RR
51nn0rei 8892 . . 3  |-  M  e.  RR
6 2re 8700 . . . 4  |-  2  e.  RR
76, 5remulcli 7704 . . 3  |-  ( 2  x.  M )  e.  RR
84, 5, 7letri 7794 . 2  |-  ( ( N  <_  M  /\  M  <_  ( 2  x.  M ) )  ->  N  <_  ( 2  x.  M ) )
92, 8mpan2 419 1  |-  ( N  <_  M  ->  N  <_  ( 2  x.  M
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1463   class class class wbr 3895  (class class class)co 5728    x. cmul 7552    <_ cle 7725   2c2 8681   NN0cn0 8881
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-ltadd 7661
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-opab 3950  df-xp 4505  df-cnv 4507  df-iota 5046  df-fv 5089  df-ov 5731  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-inn 8631  df-2 8689  df-n0 8882
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator