Theorem nn0lele2xi 9156

Description: 'Less than or equal to' implies 'less than or equal to twice' for nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0lele2x.1	|- M e. NN0
nn0lele2x.2	|- N e. NN0

Assertion

Ref	Expression
nn0lele2xi	|- ( N <_ M -> N <_ ( 2 x. M ) )

Proof of Theorem nn0lele2xi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0lele2x.1	. . 3 |- M e. NN0
2	1	nn0le2xi 9155	. 2 |- M <_ ( 2 x. M )
3		nn0lele2x.2	. . . 4 |- N e. NN0
4	3	nn0rei 9116	. . 3 |- N e. RR
5	1	nn0rei 9116	. . 3 |- M e. RR
6		2re 8918	. . . 4 |- 2 e. RR
7	6, 5	remulcli 7904	. . 3 |- ( 2 x. M ) e. RR
8	4, 5, 7	letri 7997	. 2 |- ( ( N <_ M /\ M <_ ( 2 x. M ) ) -> N <_ ( 2 x. M ) )
9	2, 8	mpan2 422	1 |- ( N <_ M -> N <_ ( 2 x. M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2135   class class class wbr 3976  (class class class)co 5836   x. cmul 7749   <_ cle 7925   2c2 8899   NN0cn0 9105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-ltadd 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2723  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-br 3977  df-opab 4038  df-xp 4604  df-cnv 4606  df-iota 5147  df-fv 5190  df-ov 5839  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-inn 8849  df-2 8907  df-n0 9106

This theorem is referenced by: (None)