Theorem nn0lele2xi 8634

Description: 'Less than or equal to' implies 'less than or equal to twice' for nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0lele2x.1	|- M e. NN0
nn0lele2x.2	|- N e. NN0

Assertion

Ref	Expression
nn0lele2xi	|- ( N <_ M -> N <_ ( 2 x. M ) )

Proof of Theorem nn0lele2xi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0lele2x.1	. . 3 |- M e. NN0
2	1	nn0le2xi 8633	. 2 |- M <_ ( 2 x. M )
3		nn0lele2x.2	. . . 4 |- N e. NN0
4	3	nn0rei 8594	. . 3 |- N e. RR
5	1	nn0rei 8594	. . 3 |- M e. RR
6		2re 8404	. . . 4 |- 2 e. RR
7	6, 5	remulcli 7423	. . 3 |- ( 2 x. M ) e. RR
8	4, 5, 7	letri 7513	. 2 |- ( ( N <_ M /\ M <_ ( 2 x. M ) ) -> N <_ ( 2 x. M ) )
9	2, 8	mpan2 416	1 |- ( N <_ M -> N <_ ( 2 x. M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1436   class class class wbr 3814  (class class class)co 5594   x. cmul 7276   <_ cle 7444   2c2 8384   NN0cn0 8583

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-mulrcl 7365  ax-addcom 7366  ax-mulcom 7367  ax-addass 7368  ax-mulass 7369  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-1rid 7373  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-ltadd 7382

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2616  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-br 3815  df-opab 3869  df-xp 4410  df-cnv 4412  df-iota 4937  df-fv 4980  df-ov 5597  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-inn 8335  df-2 8393  df-n0 8584

This theorem is referenced by: (None)