Theorem nn0lele2xi 9258

Description: 'Less than or equal to' implies 'less than or equal to twice' for nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0lele2x.1	|- M e. NN0
nn0lele2x.2	|- N e. NN0

Assertion

Ref	Expression
nn0lele2xi	|- ( N <_ M -> N <_ ( 2 x. M ) )

Proof of Theorem nn0lele2xi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0lele2x.1	. . 3 |- M e. NN0
2	1	nn0le2xi 9257	. 2 |- M <_ ( 2 x. M )
3		nn0lele2x.2	. . . 4 |- N e. NN0
4	3	nn0rei 9218	. . 3 |- N e. RR
5	1	nn0rei 9218	. . 3 |- M e. RR
6		2re 9020	. . . 4 |- 2 e. RR
7	6, 5	remulcli 8002	. . 3 |- ( 2 x. M ) e. RR
8	4, 5, 7	letri 8096	. 2 |- ( ( N <_ M /\ M <_ ( 2 x. M ) ) -> N <_ ( 2 x. M ) )
9	2, 8	mpan2 425	1 |- ( N <_ M -> N <_ ( 2 x. M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897   x. cmul 7847   <_ cle 8024   2c2 9001   NN0cn0 9207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-cnv 4652  df-iota 5196  df-fv 5243  df-ov 5900  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-inn 8951  df-2 9009  df-n0 9208

This theorem is referenced by: (None)