Theorem nn0lele2xi 9263

Description: 'Less than or equal to' implies 'less than or equal to twice' for nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0lele2x.1	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
nn0lele2x.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
nn0lele2xi	⊢ (𝑁 ≤ 𝑀 → 𝑁 ≤ (2 · 𝑀))

Proof of Theorem nn0lele2xi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0lele2x.1	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
2	1	nn0le2xi 9262	. 2 ⊢ 𝑀 ≤ (2 · 𝑀)
3		nn0lele2x.2	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
4	3	nn0rei 9223	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
5	1	nn0rei 9223	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
6		2re 9025	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	6, 5	remulcli 8007	. . 3 ⊢ (2 · 𝑀) ∈ ℝ
8	4, 5, 7	letri 8101	. 2 ⊢ ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ (2 · 𝑀)) → 𝑁 ≤ (2 · 𝑀))
9	2, 8	mpan2 425	1 ⊢ (𝑁 ≤ 𝑀 → 𝑁 ≤ (2 · 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4021  (class class class)co 5900   · cmul 7851   ≤ cle 8029  2c2 9006  ℕ₀cn0 9212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-ltadd 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4022  df-opab 4083  df-xp 4653  df-cnv 4655  df-iota 5199  df-fv 5246  df-ov 5903  df-pnf 8030  df-mnf 8031  df-xr 8032  df-ltxr 8033  df-le 8034  df-inn 8956  df-2 9014  df-n0 9213

This theorem is referenced by: (None)