Theorem nn0lele2xi 9223

Description: 'Less than or equal to' implies 'less than or equal to twice' for nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0lele2x.1	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
nn0lele2x.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
nn0lele2xi	⊢ (𝑁 ≤ 𝑀 → 𝑁 ≤ (2 · 𝑀))

Proof of Theorem nn0lele2xi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0lele2x.1	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
2	1	nn0le2xi 9222	. 2 ⊢ 𝑀 ≤ (2 · 𝑀)
3		nn0lele2x.2	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
4	3	nn0rei 9183	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
5	1	nn0rei 9183	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
6		2re 8985	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	6, 5	remulcli 7968	. . 3 ⊢ (2 · 𝑀) ∈ ℝ
8	4, 5, 7	letri 8061	. 2 ⊢ ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ (2 · 𝑀)) → 𝑁 ≤ (2 · 𝑀))
9	2, 8	mpan2 425	1 ⊢ (𝑁 ≤ 𝑀 → 𝑁 ≤ (2 · 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4002  (class class class)co 5872   · cmul 7813   ≤ cle 7989  2c2 8966  ℕ₀cn0 9172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-ltadd 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-xp 4631  df-cnv 4633  df-iota 5177  df-fv 5223  df-ov 5875  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-inn 8916  df-2 8974  df-n0 9173

This theorem is referenced by: (None)