Theorem nn0lele2xi 9300

Description: 'Less than or equal to' implies 'less than or equal to twice' for nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0lele2x.1	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
nn0lele2x.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
nn0lele2xi	⊢ (𝑁 ≤ 𝑀 → 𝑁 ≤ (2 · 𝑀))

Proof of Theorem nn0lele2xi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0lele2x.1	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
2	1	nn0le2xi 9299	. 2 ⊢ 𝑀 ≤ (2 · 𝑀)
3		nn0lele2x.2	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
4	3	nn0rei 9260	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
5	1	nn0rei 9260	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
6		2re 9060	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	6, 5	remulcli 8040	. . 3 ⊢ (2 · 𝑀) ∈ ℝ
8	4, 5, 7	letri 8134	. 2 ⊢ ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ (2 · 𝑀)) → 𝑁 ≤ (2 · 𝑀))
9	2, 8	mpan2 425	1 ⊢ (𝑁 ≤ 𝑀 → 𝑁 ≤ (2 · 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   · cmul 7884   ≤ cle 8062  2c2 9041  ℕ₀cn0 9249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-cnv 4671  df-iota 5219  df-fv 5266  df-ov 5925  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-inn 8991  df-2 9049  df-n0 9250

This theorem is referenced by: (None)