ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0lele2xi GIF version

Theorem nn0lele2xi 8615
Description: 'Less than or equal to' implies 'less than or equal to twice' for nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0lele2x.1 𝑀 ∈ ℕ0
nn0lele2x.2 𝑁 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
nn0lele2xi (𝑁𝑀𝑁 ≤ (2 · 𝑀))

Proof of Theorem nn0lele2xi
StepHypRef Expression
1 nn0lele2x.1 . . 3 𝑀 ∈ ℕ0
21nn0le2xi 8614 . 2 𝑀 ≤ (2 · 𝑀)
3 nn0lele2x.2 . . . 4 𝑁 ∈ ℕ0
43nn0rei 8575 . . 3 𝑁 ∈ ℝ
51nn0rei 8575 . . 3 𝑀 ∈ ℝ
6 2re 8385 . . . 4 2 ∈ ℝ
76, 5remulcli 7404 . . 3 (2 · 𝑀) ∈ ℝ
84, 5, 7letri 7494 . 2 ((𝑁𝑀𝑀 ≤ (2 · 𝑀)) → 𝑁 ≤ (2 · 𝑀))
92, 8mpan2 416 1 (𝑁𝑀𝑁 ≤ (2 · 𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1434   class class class wbr 3811  (class class class)co 5590   · cmul 7257  cle 7425  2c2 8365  0cn0 8564
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-cnex 7338  ax-resscn 7339  ax-1cn 7340  ax-1re 7341  ax-icn 7342  ax-addcl 7343  ax-addrcl 7344  ax-mulcl 7345  ax-mulrcl 7346  ax-addcom 7347  ax-mulcom 7348  ax-addass 7349  ax-mulass 7350  ax-distr 7351  ax-i2m1 7352  ax-0lt1 7353  ax-1rid 7354  ax-0id 7355  ax-rnegex 7356  ax-cnre 7358  ax-pre-ltirr 7359  ax-pre-ltwlin 7360  ax-pre-lttrn 7361  ax-pre-ltadd 7363
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-xp 4406  df-cnv 4408  df-iota 4933  df-fv 4976  df-ov 5593  df-pnf 7426  df-mnf 7427  df-xr 7428  df-ltxr 7429  df-le 7430  df-inn 8316  df-2 8374  df-n0 8565
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator