ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0lele2xi GIF version

Theorem nn0lele2xi 9227
Description: 'Less than or equal to' implies 'less than or equal to twice' for nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0lele2x.1 ๐‘€ โˆˆ โ„•0
nn0lele2x.2 ๐‘ โˆˆ โ„•0
Assertion
Ref Expression
nn0lele2xi (๐‘ โ‰ค ๐‘€ โ†’ ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘€))

Proof of Theorem nn0lele2xi
StepHypRef Expression
1 nn0lele2x.1 . . 3 ๐‘€ โˆˆ โ„•0
21nn0le2xi 9226 . 2 ๐‘€ โ‰ค (2 ยท ๐‘€)
3 nn0lele2x.2 . . . 4 ๐‘ โˆˆ โ„•0
43nn0rei 9187 . . 3 ๐‘ โˆˆ โ„
51nn0rei 9187 . . 3 ๐‘€ โˆˆ โ„
6 2re 8989 . . . 4 2 โˆˆ โ„
76, 5remulcli 7971 . . 3 (2 ยท ๐‘€) โˆˆ โ„
84, 5, 7letri 8065 . 2 ((๐‘ โ‰ค ๐‘€ โˆง ๐‘€ โ‰ค (2 ยท ๐‘€)) โ†’ ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘€))
92, 8mpan2 425 1 (๐‘ โ‰ค ๐‘€ โ†’ ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘€))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875   ยท cmul 7816   โ‰ค cle 7993  2c2 8970  โ„•0cn0 9176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-xp 4633  df-cnv 4635  df-iota 5179  df-fv 5225  df-ov 5878  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-inn 8920  df-2 8978  df-n0 9177
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator