Theorem nn0lele2xi 9625

Description: 'Less than or equal to' implies 'less than or equal to twice' for nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0lele2x.1	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
nn0lele2x.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
nn0lele2xi	⊢ (𝑁 ≤ 𝑀 → 𝑁 ≤ (2 · 𝑀))

Proof of Theorem nn0lele2xi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0lele2x.1	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
2	1	nn0le2xi 9624	. 2 ⊢ 𝑀 ≤ (2 · 𝑀)
3		nn0lele2x.2	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
4	3	nn0rei 9585	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
5	1	nn0rei 9585	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
6		2re 9383	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	6, 5	remulcli 8346	. . 3 ⊢ (2 · 𝑀) ∈ ℝ
8	4, 5, 7	letri 8440	. 2 ⊢ ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ (2 · 𝑀)) → 𝑁 ≤ (2 · 𝑀))
9	2, 8	mpan2 429	1 ⊢ (𝑁 ≤ 𝑀 → 𝑁 ≤ (2 · 𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   · cmul 8190   ≤ cle 8367  2c2 9364  ℕ₀cn0 9574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575

This theorem is used by: (None)