Theorem nnacan 6658

Description: Cancellation law for addition of natural numbers. (Contributed by NM, 27-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnacan	|- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A +o B ) = ( A +o C ) <-> B = C ) )

Proof of Theorem nnacan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaword 6657	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ C e. om /\ A e. om ) -> ( B C_ C <-> ( A +o B ) C_ ( A +o C ) ) )
2	1	3comr 1235	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( B C_ C <-> ( A +o B ) C_ ( A +o C ) ) )
3		nnaword 6657	. . . . 5 |- ( ( C e. om /\ B e. om /\ A e. om ) -> ( C C_ B <-> ( A +o C ) C_ ( A +o B ) ) )
4	3	3com13 1232	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( C C_ B <-> ( A +o C ) C_ ( A +o B ) ) )
5	2, 4	anbi12d 473	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( B C_ C /\ C C_ B ) <-> ( ( A +o B ) C_ ( A +o C ) /\ ( A +o C ) C_ ( A +o B ) ) ) )
6	5	bicomd 141	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( ( A +o B ) C_ ( A +o C ) /\ ( A +o C ) C_ ( A +o B ) ) <-> ( B C_ C /\ C C_ B ) ) )
7		eqss 3239	. 2 |- ( ( A +o B ) = ( A +o C ) <-> ( ( A +o B ) C_ ( A +o C ) /\ ( A +o C ) C_ ( A +o B ) ) )
8		eqss 3239	. 2 |- ( B = C <-> ( B C_ C /\ C C_ B ) )
9	6, 7, 8	3bitr4g 223	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A +o B ) = ( A +o C ) <-> B = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3197   omcom 4682  (class class class)co 6001   +o coa 6559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-oadd 6566

This theorem is referenced by:  addcanpig  7521