Theorem nnacan 6679

Description: Cancellation law for addition of natural numbers. (Contributed by NM, 27-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnacan	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem nnacan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaword 6678	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ (𝐴 +o 𝐵) ⊆ (𝐴 +o 𝐶)))
2	1	3comr 1237	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ (𝐴 +o 𝐵) ⊆ (𝐴 +o 𝐶)))
3		nnaword 6678	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐶 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +o 𝐶) ⊆ (𝐴 +o 𝐵)))
4	3	3com13 1234	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐶 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +o 𝐶) ⊆ (𝐴 +o 𝐵)))
5	2, 4	anbi12d 473	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ↔ ((𝐴 +o 𝐵) ⊆ (𝐴 +o 𝐶) ∧ (𝐴 +o 𝐶) ⊆ (𝐴 +o 𝐵))))
6	5	bicomd 141	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (((𝐴 +o 𝐵) ⊆ (𝐴 +o 𝐶) ∧ (𝐴 +o 𝐶) ⊆ (𝐴 +o 𝐵)) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)))
7		eqss 3242	. 2 ⊢ ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ ((𝐴 +o 𝐵) ⊆ (𝐴 +o 𝐶) ∧ (𝐴 +o 𝐶) ⊆ (𝐴 +o 𝐵)))
8		eqss 3242	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐶 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵))
9	6, 7, 8	3bitr4g 223	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3200  ωcom 4688  (class class class)co 6017   +_o coa 6578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-oadd 6585

This theorem is referenced by:  addcanpig  7553