Theorem nninfsel 16795

Description: E is a selection function for ℕ_∞. Theorem 3.6 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfsel.e	|- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
nninfsel.q	|- ( ph -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
nninfsel.1	|- ( ph -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = 1o )

Assertion

Ref	Expression
nninfsel	|- ( ph -> A. p e. ℕ∞ ( Q ` p ) = 1o )

Distinct variable groups:   Q, i, k, n, q   i, p, ph   ph, k, n

Allowed substitution hints:   ph( q)   Q( p)   E( i, k, n, q, p)

Proof of Theorem nninfsel

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfsel.q	. 2 |- ( ph -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
2		nninfsel.e	. . . . 5 |- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
3		nninfsel.1	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = 1o )
4	2, 1, 3	nninfsellemeqinf 16794	. . . 4 |- ( ph -> ( E ` Q ) = ( i e. om |-> 1o ) )
5	4	fveq2d 5674	. . 3 |- ( ph -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> 1o ) ) )
6	5, 3	eqtr3d 2267	. 2 |- ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> 1o ) ) = 1o )
7	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
8	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = 1o )
9		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> x e. om )
10	2, 7, 8, 9	nninfsellemqall 16793	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
11	10	ralrimiva 2615	. 2 |- ( ph -> A. x e. om ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
12	1, 6, 11	nninfall 16787	1 |- ( ph -> A. p e. ℕ∞ ( Q ` p ) = 1o )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   (/)c0 3508   ifcif 3620   |-> cmpt 4171   suc csuc 4486   omcom 4712   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   1oc1o 6640   2oc2o 6641   ^m cmap 6882  ℕ_∞xnninf 7410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1o 6647  df-2o 6648  df-map 6884  df-nninf 7411

This theorem is referenced by:  nninfomnilem  16796