Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nninfsel Unicode version

Theorem nninfsel 11909
Description:  E is a selection function for ℕ. Theorem 3.6 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfsel.e  |-  E  =  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
nninfsel.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( 2o 
^m ) )
nninfsel.1  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( E `  Q )
)  =  1o )
Assertion
Ref Expression
nninfsel  |-  ( ph  ->  A. p  e.  ( Q `  p
)  =  1o )
Distinct variable groups:    Q, i, k, n, q    i, p,
ph    ph, k, n
Allowed substitution hints:    ph( q)    Q( p)    E( i, k, n, q, p)

Proof of Theorem nninfsel
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninfsel.q . 2  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( 2o 
^m ) )
2 nninfsel.e . . . . 5  |-  E  =  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
3 nninfsel.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( E `  Q )
)  =  1o )
42, 1, 3nninfsellemeqinf 11908 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E `  Q
)  =  ( i  e.  om  |->  1o ) )
54fveq2d 5309 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( E `  Q )
)  =  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  1o ) ) )
65, 3eqtr3d 2122 . 2  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  1o ) )  =  1o )
71adantr 270 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  Q  e.  ( 2o  ^m ) )
83adantr 270 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  ( Q `  ( E `  Q
) )  =  1o )
9 simpr 108 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  x  e.  om )
102, 7, 8, 9nninfsellemqall 11907 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
1110ralrimiva 2446 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
121, 6, 11nninfall 11900 1  |-  ( ph  ->  A. p  e.  ( Q `  p
)  =  1o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   (/)c0 3286   ifcif 3393    |-> cmpt 3899   suc csuc 4192   omcom 4405   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   1oc1o 6174   2oc2o 6175    ^m cmap 6405  ℕxnninf 6789
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1o 6181  df-2o 6182  df-map 6407  df-nninf 6791
This theorem is referenced by:  nninfomnilem  11910
  Copyright terms: Public domain W3C validator