Theorem nninfsel 15577

Description: E is a selection function for ℕ_∞. Theorem 3.6 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfsel.e	|- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
nninfsel.q	|- ( ph -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
nninfsel.1	|- ( ph -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = 1o )

Assertion

Ref	Expression
nninfsel	|- ( ph -> A. p e. ℕ∞ ( Q ` p ) = 1o )

Distinct variable groups:   Q, i, k, n, q   i, p, ph   ph, k, n

Allowed substitution hints:   ph( q)   Q( p)   E( i, k, n, q, p)

Proof of Theorem nninfsel

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfsel.q	. 2 |- ( ph -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
2		nninfsel.e	. . . . 5 |- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
3		nninfsel.1	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = 1o )
4	2, 1, 3	nninfsellemeqinf 15576	. . . 4 |- ( ph -> ( E ` Q ) = ( i e. om |-> 1o ) )
5	4	fveq2d 5559	. . 3 |- ( ph -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> 1o ) ) )
6	5, 3	eqtr3d 2228	. 2 |- ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> 1o ) ) = 1o )
7	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
8	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = 1o )
9		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> x e. om )
10	2, 7, 8, 9	nninfsellemqall 15575	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
11	10	ralrimiva 2567	. 2 |- ( ph -> A. x e. om ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
12	1, 6, 11	nninfall 15569	1 |- ( ph -> A. p e. ℕ∞ ( Q ` p ) = 1o )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   (/)c0 3447   ifcif 3558   |-> cmpt 4091   suc csuc 4397   omcom 4623   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   1oc1o 6464   2oc2o 6465   ^m cmap 6704  ℕ_∞xnninf 7180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1o 6471  df-2o 6472  df-map 6706  df-nninf 7181

This theorem is referenced by:  nninfomnilem  15578