Theorem nninfsel 16743

Description: E is a selection function for ℕ_∞. Theorem 3.6 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfsel.e	|- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
nninfsel.q	|- ( ph -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
nninfsel.1	|- ( ph -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = 1o )

Assertion

Ref	Expression
nninfsel	|- ( ph -> A. p e. ℕ∞ ( Q ` p ) = 1o )

Distinct variable groups:   Q, i, k, n, q   i, p, ph   ph, k, n

Allowed substitution hints:   ph( q)   Q( p)   E( i, k, n, q, p)

Proof of Theorem nninfsel

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfsel.q	. 2 |- ( ph -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
2		nninfsel.e	. . . . 5 |- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
3		nninfsel.1	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = 1o )
4	2, 1, 3	nninfsellemeqinf 16742	. . . 4 |- ( ph -> ( E ` Q ) = ( i e. om |-> 1o ) )
5	4	fveq2d 5652	. . 3 |- ( ph -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> 1o ) ) )
6	5, 3	eqtr3d 2266	. 2 |- ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> 1o ) ) = 1o )
7	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
8	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = 1o )
9		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> x e. om )
10	2, 7, 8, 9	nninfsellemqall 16741	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
11	10	ralrimiva 2606	. 2 |- ( ph -> A. x e. om ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
12	1, 6, 11	nninfall 16735	1 |- ( ph -> A. p e. ℕ∞ ( Q ` p ) = 1o )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   (/)c0 3496   ifcif 3607   |-> cmpt 4155   suc csuc 4468   omcom 4694   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   1oc1o 6618   2oc2o 6619   ^m cmap 6860  ℕ_∞xnninf 7378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1o 6625  df-2o 6626  df-map 6862  df-nninf 7379

This theorem is referenced by:  nninfomnilem  16744