Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nninfsel Unicode version

Theorem nninfsel 15220
Description:  E is a selection function for ℕ. Theorem 3.6 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfsel.e  |-  E  =  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
nninfsel.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( 2o 
^m ) )
nninfsel.1  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( E `  Q )
)  =  1o )
Assertion
Ref Expression
nninfsel  |-  ( ph  ->  A. p  e.  ( Q `  p
)  =  1o )
Distinct variable groups:    Q, i, k, n, q    i, p,
ph    ph, k, n
Allowed substitution hints:    ph( q)    Q( p)    E( i, k, n, q, p)

Proof of Theorem nninfsel
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninfsel.q . 2  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( 2o 
^m ) )
2 nninfsel.e . . . . 5  |-  E  =  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
3 nninfsel.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( E `  Q )
)  =  1o )
42, 1, 3nninfsellemeqinf 15219 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E `  Q
)  =  ( i  e.  om  |->  1o ) )
54fveq2d 5538 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( E `  Q )
)  =  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  1o ) ) )
65, 3eqtr3d 2224 . 2  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  1o ) )  =  1o )
71adantr 276 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  Q  e.  ( 2o  ^m ) )
83adantr 276 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  ( Q `  ( E `  Q
) )  =  1o )
9 simpr 110 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  x  e.  om )
102, 7, 8, 9nninfsellemqall 15218 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
1110ralrimiva 2563 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
121, 6, 11nninfall 15212 1  |-  ( ph  ->  A. p  e.  ( Q `  p
)  =  1o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2160   A.wral 2468   (/)c0 3437   ifcif 3549    |-> cmpt 4079   suc csuc 4383   omcom 4607   ` cfv 5235  (class class class)co 5895   1oc1o 6433   2oc2o 6434    ^m cmap 6673  ℕxnninf 7147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1o 6440  df-2o 6441  df-map 6675  df-nninf 7148
This theorem is referenced by:  nninfomnilem  15221
  Copyright terms: Public domain W3C validator