Theorem nninfsel 16726

Description: 𝐸 is a selection function for ℕ_∞. Theorem 3.6 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfsel.e	⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
nninfsel.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞))
nninfsel.1	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐸‘𝑄)) = 1o)

Assertion

Ref	Expression
nninfsel	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑄‘𝑝) = 1o)

Distinct variable groups:   𝑄,𝑖,𝑘,𝑛,𝑞   𝑖,𝑝,𝜑   𝜑,𝑘,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑄(𝑝)   𝐸(𝑖,𝑘,𝑛,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem nninfsel

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfsel.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞))
2		nninfsel.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
3		nninfsel.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐸‘𝑄)) = 1o)
4	2, 1, 3	nninfsellemeqinf 16725	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑄) = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
5	4	fveq2d 5652	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐸‘𝑄)) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ 1o)))
6	5, 3	eqtr3d 2266	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) = 1o)
7	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞))
8	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑄‘(𝐸‘𝑄)) = 1o)
9		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
10	2, 7, 8, 9	nninfsellemqall 16724	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = 1o)
11	10	ralrimiva 2606	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = 1o)
12	1, 6, 11	nninfall 16718	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑄‘𝑝) = 1o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  ∅c0 3496  ifcif 3607   ↦ cmpt 4155  suc csuc 4468  ωcom 4694  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  1_oc1o 6618  2_oc2o 6619   ↑_𝑚 cmap 6860  ℕ_∞xnninf 7361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1o 6625  df-2o 6626  df-map 6862  df-nninf 7362

This theorem is referenced by:  nninfomnilem  16727