Theorem nninfsel 15748

Description: 𝐸 is a selection function for ℕ_∞. Theorem 3.6 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfsel.e	⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
nninfsel.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞))
nninfsel.1	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐸‘𝑄)) = 1o)

Assertion

Ref	Expression
nninfsel	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑄‘𝑝) = 1o)

Distinct variable groups:   𝑄,𝑖,𝑘,𝑛,𝑞   𝑖,𝑝,𝜑   𝜑,𝑘,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑄(𝑝)   𝐸(𝑖,𝑘,𝑛,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem nninfsel

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfsel.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞))
2		nninfsel.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
3		nninfsel.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐸‘𝑄)) = 1o)
4	2, 1, 3	nninfsellemeqinf 15747	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑄) = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
5	4	fveq2d 5565	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐸‘𝑄)) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ 1o)))
6	5, 3	eqtr3d 2231	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) = 1o)
7	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞))
8	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑄‘(𝐸‘𝑄)) = 1o)
9		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
10	2, 7, 8, 9	nninfsellemqall 15746	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = 1o)
11	10	ralrimiva 2570	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = 1o)
12	1, 6, 11	nninfall 15740	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑄‘𝑝) = 1o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∅c0 3451  ifcif 3562   ↦ cmpt 4095  suc csuc 4401  ωcom 4627  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  1_oc1o 6476  2_oc2o 6477   ↑_𝑚 cmap 6716  ℕ_∞xnninf 7194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1o 6483  df-2o 6484  df-map 6718  df-nninf 7195

This theorem is referenced by:  nninfomnilem  15749