Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nninfsel GIF version

Theorem nninfsel 11909
Description: 𝐸 is a selection function for . Theorem 3.6 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfsel.e 𝐸 = (𝑞 ∈ (2𝑜𝑚) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅)))
nninfsel.q (𝜑𝑄 ∈ (2𝑜𝑚))
nninfsel.1 (𝜑 → (𝑄‘(𝐸𝑄)) = 1𝑜)
Assertion
Ref Expression
nninfsel (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℕ (𝑄𝑝) = 1𝑜)
Distinct variable groups:   𝑄,𝑖,𝑘,𝑛,𝑞   𝑖,𝑝,𝜑   𝜑,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑄(𝑝)   𝐸(𝑖,𝑘,𝑛,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem nninfsel
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninfsel.q . 2 (𝜑𝑄 ∈ (2𝑜𝑚))
2 nninfsel.e . . . . 5 𝐸 = (𝑞 ∈ (2𝑜𝑚) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅)))
3 nninfsel.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄‘(𝐸𝑄)) = 1𝑜)
42, 1, 3nninfsellemeqinf 11908 . . . 4 (𝜑 → (𝐸𝑄) = (𝑖 ∈ ω ↦ 1𝑜))
54fveq2d 5309 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘(𝐸𝑄)) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ 1𝑜)))
65, 3eqtr3d 2122 . 2 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ 1𝑜)) = 1𝑜)
71adantr 270 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → 𝑄 ∈ (2𝑜𝑚))
83adantr 270 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → (𝑄‘(𝐸𝑄)) = 1𝑜)
9 simpr 108 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
102, 7, 8, 9nninfsellemqall 11907 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
1110ralrimiva 2446 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
121, 6, 11nninfall 11900 1 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℕ (𝑄𝑝) = 1𝑜)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438  wral 2359  c0 3286  ifcif 3393  cmpt 3899  suc csuc 4192  ωcom 4405  cfv 5015  (class class class)co 5652  1𝑜c1o 6174  2𝑜c2o 6175  𝑚 cmap 6405  xnninf 6789
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1o 6181  df-2o 6182  df-map 6407  df-nninf 6791
This theorem is referenced by:  nninfomnilem  11910
  Copyright terms: Public domain W3C validator