Theorem nninfsel 17035

Description: 𝐸 is a selection function for ℕ_∞. Theorem 3.6 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfsel.e	⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
nninfsel.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞))
nninfsel.1	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐸‘𝑄)) = 1o)

Assertion

Ref	Expression
nninfsel	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑄‘𝑝) = 1o)

Distinct variable groups:   𝑄,𝑖,𝑘,𝑛,𝑞   𝑖,𝑝,𝜑   𝜑,𝑘,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑄(𝑝)   𝐸(𝑖, 𝑘, 𝑛, 𝑞, 𝑝)

Proof of Theorem nninfsel

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfsel.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞))
2		nninfsel.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
3		nninfsel.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐸‘𝑄)) = 1o)
4	2, 1, 3	nninfsellemeqinf 17034	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑄) = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
5	4	fveq2d 5697	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐸‘𝑄)) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ 1o)))
6	5, 3	eqtr3d 2273	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) = 1o)
7	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞))
8	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑄‘(𝐸‘𝑄)) = 1o)
9		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
10	2, 7, 8, 9	nninfsellemqall 17033	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = 1o)
11	10	ralrimiva 2623	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = 1o)
12	1, 6, 11	nninfall 17027	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑄‘𝑝) = 1o)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∅c0 3520  ifcif 3638   ↦ cmpt 4190  suc csuc 4508  ωcom 4735  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  1_oc1o 6674  2_oc2o 6675   ↑_𝑚 cmap 6916  ℕ_∞xnninf 7453

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1o 6681  df-2o 6682  df-map 6918  df-nninf 7454

This theorem is used by:  nninfomnilem  17036