Theorem nninfsel 16342

Description: 𝐸 is a selection function for ℕ_∞. Theorem 3.6 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfsel.e	⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
nninfsel.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞))
nninfsel.1	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐸‘𝑄)) = 1o)

Assertion

Ref	Expression
nninfsel	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑄‘𝑝) = 1o)

Distinct variable groups:   𝑄,𝑖,𝑘,𝑛,𝑞   𝑖,𝑝,𝜑   𝜑,𝑘,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑄(𝑝)   𝐸(𝑖,𝑘,𝑛,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem nninfsel

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfsel.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞))
2		nninfsel.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
3		nninfsel.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐸‘𝑄)) = 1o)
4	2, 1, 3	nninfsellemeqinf 16341	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑄) = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
5	4	fveq2d 5630	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐸‘𝑄)) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ 1o)))
6	5, 3	eqtr3d 2264	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) = 1o)
7	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞))
8	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑄‘(𝐸‘𝑄)) = 1o)
9		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
10	2, 7, 8, 9	nninfsellemqall 16340	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = 1o)
11	10	ralrimiva 2603	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = 1o)
12	1, 6, 11	nninfall 16334	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑄‘𝑝) = 1o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∅c0 3491  ifcif 3602   ↦ cmpt 4144  suc csuc 4455  ωcom 4681  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  1_oc1o 6553  2_oc2o 6554   ↑_𝑚 cmap 6793  ℕ_∞xnninf 7282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1o 6560  df-2o 6561  df-map 6795  df-nninf 7283

This theorem is referenced by:  nninfomnilem  16343