Theorem nninfsel 15954

Description: 𝐸 is a selection function for ℕ_∞. Theorem 3.6 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfsel.e	⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
nninfsel.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞))
nninfsel.1	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐸‘𝑄)) = 1o)

Assertion

Ref	Expression
nninfsel	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑄‘𝑝) = 1o)

Distinct variable groups:   𝑄,𝑖,𝑘,𝑛,𝑞   𝑖,𝑝,𝜑   𝜑,𝑘,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑄(𝑝)   𝐸(𝑖,𝑘,𝑛,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem nninfsel

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfsel.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞))
2		nninfsel.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
3		nninfsel.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐸‘𝑄)) = 1o)
4	2, 1, 3	nninfsellemeqinf 15953	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑄) = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
5	4	fveq2d 5580	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐸‘𝑄)) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ 1o)))
6	5, 3	eqtr3d 2240	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) = 1o)
7	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞))
8	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑄‘(𝐸‘𝑄)) = 1o)
9		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
10	2, 7, 8, 9	nninfsellemqall 15952	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = 1o)
11	10	ralrimiva 2579	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = 1o)
12	1, 6, 11	nninfall 15946	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℕ∞ (𝑄‘𝑝) = 1o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  ∀wral 2484  ∅c0 3460  ifcif 3571   ↦ cmpt 4105  suc csuc 4412  ωcom 4638  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944  1_oc1o 6495  2_oc2o 6496   ↑_𝑚 cmap 6735  ℕ_∞xnninf 7221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1o 6502  df-2o 6503  df-map 6737  df-nninf 7222

This theorem is referenced by:  nninfomnilem  15955