Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nninfsel GIF version

Theorem nninfsel 13266
 Description: 𝐸 is a selection function for ℕ∞. Theorem 3.6 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfsel.e 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o𝑚) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
nninfsel.q (𝜑𝑄 ∈ (2o𝑚))
nninfsel.1 (𝜑 → (𝑄‘(𝐸𝑄)) = 1o)
Assertion
Ref Expression
nninfsel (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℕ (𝑄𝑝) = 1o)
Distinct variable groups:   𝑄,𝑖,𝑘,𝑛,𝑞   𝑖,𝑝,𝜑   𝜑,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑄(𝑝)   𝐸(𝑖,𝑘,𝑛,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem nninfsel
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninfsel.q . 2 (𝜑𝑄 ∈ (2o𝑚))
2 nninfsel.e . . . . 5 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o𝑚) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
3 nninfsel.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄‘(𝐸𝑄)) = 1o)
42, 1, 3nninfsellemeqinf 13265 . . . 4 (𝜑 → (𝐸𝑄) = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
54fveq2d 5425 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘(𝐸𝑄)) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ 1o)))
65, 3eqtr3d 2174 . 2 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ 1o)) = 1o)
71adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → 𝑄 ∈ (2o𝑚))
83adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → (𝑄‘(𝐸𝑄)) = 1o)
9 simpr 109 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
102, 7, 8, 9nninfsellemqall 13264 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) = 1o)
1110ralrimiva 2505 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) = 1o)
121, 6, 11nninfall 13257 1 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℕ (𝑄𝑝) = 1o)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  ∅c0 3363  ifcif 3474   ↦ cmpt 3989  suc csuc 4287  ωcom 4504  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  1oc1o 6306  2oc2o 6307   ↑𝑚 cmap 6542  ℕ∞xnninf 7005 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1o 6313  df-2o 6314  df-map 6544  df-nninf 7007 This theorem is referenced by:  nninfomnilem  13267
 Copyright terms: Public domain W3C validator