Theorem nninfsellemeqinf 13896

Description: Lemma for nninfsel 13897. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfsel.e	|- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
nninfsel.q	|- ( ph -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
nninfsel.1	|- ( ph -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = 1o )

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemeqinf	|- ( ph -> ( E ` Q ) = ( i e. om |-> 1o ) )

Distinct variable groups:   Q, k, n, q   i, k, n, q   ph, k, n

Allowed substitution hints:   ph( i, q)   Q( i)   E( i, k, n, q)

Proof of Theorem nninfsellemeqinf

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfsel.e	. . . . . . 7 |- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
2	1	nninfself 13893	. . . . . 6 |- E : ( 2o ^m ℕ∞ ) -->ℕ∞
3	2	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> E : ( 2o ^m ℕ∞ ) -->ℕ∞ )
4		nninfsel.q	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
5	3, 4	ffvelrnd 5621	. . . 4 |- ( ph -> ( E ` Q ) e. ℕ∞ )
6		nninff 7087	. . . 4 |- ( ( E ` Q ) e. ℕ∞ -> ( E ` Q ) : om --> 2o )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( E ` Q ) : om --> 2o )
8	7	ffnd 5338	. 2 |- ( ph -> ( E ` Q ) Fn om )
9		1onn 6488	. . . . 5 |- 1o e. om
10		fnconstg 5385	. . . . 5 |- ( 1o e. om -> ( om X. { 1o } ) Fn om )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 |- ( om X. { 1o } ) Fn om
12		fconstmpt 4651	. . . . 5 |- ( om X. { 1o } ) = ( i e. om |-> 1o )
13	12	fneq1i 5282	. . . 4 |- ( ( om X. { 1o } ) Fn om <-> ( i e. om |-> 1o ) Fn om )
14	11, 13	mpbi 144	. . 3 |- ( i e. om |-> 1o ) Fn om
15	14	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( i e. om |-> 1o ) Fn om )
16		elequ2 2141	. . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( i e. j <-> i e. k ) )
17	16	ifbid 3541	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> if ( i e. j , 1o , (/) ) = if ( i e. k , 1o , (/) ) )
18	17	mpteq2dv 4073	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( i e. om |-> if ( i e. j , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) )
19	18	fveq2d 5490	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. j , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) )
20	19	eqeq1d 2174	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. j , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
21	4	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
22		nninfsel.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = 1o )
23	22	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = 1o )
24		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> j e. om )
25	1, 21, 23, 24	nninfsellemqall 13895	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. j , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
26	25	ralrimiva 2539	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. j e. om ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. j , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
27	26	ad2antrr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ k e. suc j ) -> A. j e. om ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. j , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
28		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ k e. suc j ) -> k e. suc j )
29		peano2 4572	. . . . . . . 8 |- ( j e. om -> suc j e. om )
30	29	ad2antlr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ k e. suc j ) -> suc j e. om )
31		elnn 4583	. . . . . . 7 |- ( ( k e. suc j /\ suc j e. om ) -> k e. om )
32	28, 30, 31	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ k e. suc j ) -> k e. om )
33	20, 27, 32	rspcdva 2835	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ k e. suc j ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
34	33	ralrimiva 2539	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
35	34	iftrued 3527	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> if ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = 1o )
36		omex 4570	. . . . . . 7 |- om e. _V
37	36	mptex 5711	. . . . . 6 |- ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. _V
38	37	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. _V )
39		fveq1 5485	. . . . . . . . . 10 |- ( q = Q -> ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) )
40	39	eqeq1d 2174	. . . . . . . . 9 |- ( q = Q -> ( ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
41	40	ralbidv 2466	. . . . . . . 8 |- ( q = Q -> ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
42	41	ifbid 3541	. . . . . . 7 |- ( q = Q -> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
43	42	mpteq2dv 4073	. . . . . 6 |- ( q = Q -> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
44	43, 1	fvmptg 5562	. . . . 5 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. _V ) -> ( E ` Q ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
45	21, 38, 44	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( E ` Q ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
46		suceq 4380	. . . . . . 7 |- ( n = j -> suc n = suc j )
47	46	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ n = j ) -> suc n = suc j )
48	47	raleqdv 2667	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ n = j ) -> ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
49	48	ifbid 3541	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ n = j ) -> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
50	35, 9	eqeltrdi 2257	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> if ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. om )
51	45, 49, 24, 50	fvmptd 5567	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( ( E ` Q ) ` j ) = if ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
52		eqidd 2166	. . . . . 6 |- ( i = j -> 1o = 1o )
53		eqid 2165	. . . . . 6 |- ( i e. om |-> 1o ) = ( i e. om |-> 1o )
54	52, 53	fvmptg 5562	. . . . 5 |- ( ( j e. om /\ 1o e. om ) -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) = 1o )
55	9, 54	mpan2 422	. . . 4 |- ( j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) = 1o )
56	55	adantl 275	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) = 1o )
57	35, 51, 56	3eqtr4d 2208	. 2 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( ( E ` Q ) ` j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) )
58	8, 15, 57	eqfnfvd 5586	1 |- ( ph -> ( E ` Q ) = ( i e. om |-> 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   _Vcvv 2726   (/)c0 3409   ifcif 3520   {csn 3576   |-> cmpt 4043   suc csuc 4343   omcom 4567   X. cxp 4602   Fn wfn 5183   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   1oc1o 6377   2oc2o 6378   ^m cmap 6614  ℕ_∞xnninf 7084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1o 6384  df-2o 6385  df-map 6616  df-nninf 7085

This theorem is referenced by:  nninfsel  13897