Theorem nninfsellemeqinf 16725

Description: Lemma for nninfsel 16726. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfsel.e	|- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
nninfsel.q	|- ( ph -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
nninfsel.1	|- ( ph -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = 1o )

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemeqinf	|- ( ph -> ( E ` Q ) = ( i e. om |-> 1o ) )

Distinct variable groups:   Q, k, n, q   i, k, n, q   ph, k, n

Allowed substitution hints:   ph( i, q)   Q( i)   E( i, k, n, q)

Proof of Theorem nninfsellemeqinf

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfsel.e	. . . . . . 7 |- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
2	1	nninfself 16722	. . . . . 6 |- E : ( 2o ^m ℕ∞ ) -->ℕ∞
3	2	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> E : ( 2o ^m ℕ∞ ) -->ℕ∞ )
4		nninfsel.q	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
5	3, 4	ffvelcdmd 5791	. . . 4 |- ( ph -> ( E ` Q ) e. ℕ∞ )
6		nninff 7364	. . . 4 |- ( ( E ` Q ) e. ℕ∞ -> ( E ` Q ) : om --> 2o )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( E ` Q ) : om --> 2o )
8	7	ffnd 5490	. 2 |- ( ph -> ( E ` Q ) Fn om )
9		1onn 6731	. . . . 5 |- 1o e. om
10		fnconstg 5543	. . . . 5 |- ( 1o e. om -> ( om X. { 1o } ) Fn om )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 |- ( om X. { 1o } ) Fn om
12		fconstmpt 4779	. . . . 5 |- ( om X. { 1o } ) = ( i e. om |-> 1o )
13	12	fneq1i 5431	. . . 4 |- ( ( om X. { 1o } ) Fn om <-> ( i e. om |-> 1o ) Fn om )
14	11, 13	mpbi 145	. . 3 |- ( i e. om |-> 1o ) Fn om
15	14	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( i e. om |-> 1o ) Fn om )
16		elequ2 2207	. . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( i e. j <-> i e. k ) )
17	16	ifbid 3631	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> if ( i e. j , 1o , (/) ) = if ( i e. k , 1o , (/) ) )
18	17	mpteq2dv 4185	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( i e. om |-> if ( i e. j , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) )
19	18	fveq2d 5652	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. j , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) )
20	19	eqeq1d 2240	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. j , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
21	4	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
22		nninfsel.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = 1o )
23	22	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = 1o )
24		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> j e. om )
25	1, 21, 23, 24	nninfsellemqall 16724	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. j , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
26	25	ralrimiva 2606	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. j e. om ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. j , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
27	26	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ k e. suc j ) -> A. j e. om ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. j , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
28		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ k e. suc j ) -> k e. suc j )
29		peano2 4699	. . . . . . . 8 |- ( j e. om -> suc j e. om )
30	29	ad2antlr 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ k e. suc j ) -> suc j e. om )
31		elnn 4710	. . . . . . 7 |- ( ( k e. suc j /\ suc j e. om ) -> k e. om )
32	28, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ k e. suc j ) -> k e. om )
33	20, 27, 32	rspcdva 2916	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ k e. suc j ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
34	33	ralrimiva 2606	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
35	34	iftrued 3616	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> if ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = 1o )
36		omex 4697	. . . . . . 7 |- om e. _V
37	36	mptex 5890	. . . . . 6 |- ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. _V
38	37	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. _V )
39		fveq1 5647	. . . . . . . . . 10 |- ( q = Q -> ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) )
40	39	eqeq1d 2240	. . . . . . . . 9 |- ( q = Q -> ( ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
41	40	ralbidv 2533	. . . . . . . 8 |- ( q = Q -> ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
42	41	ifbid 3631	. . . . . . 7 |- ( q = Q -> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
43	42	mpteq2dv 4185	. . . . . 6 |- ( q = Q -> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
44	43, 1	fvmptg 5731	. . . . 5 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. _V ) -> ( E ` Q ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
45	21, 38, 44	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( E ` Q ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
46		suceq 4505	. . . . . . 7 |- ( n = j -> suc n = suc j )
47	46	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ n = j ) -> suc n = suc j )
48	47	raleqdv 2737	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ n = j ) -> ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
49	48	ifbid 3631	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ n = j ) -> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
50	35, 9	eqeltrdi 2322	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> if ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. om )
51	45, 49, 24, 50	fvmptd 5736	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( ( E ` Q ) ` j ) = if ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
52		eqidd 2232	. . . . . 6 |- ( i = j -> 1o = 1o )
53		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( i e. om |-> 1o ) = ( i e. om |-> 1o )
54	52, 53	fvmptg 5731	. . . . 5 |- ( ( j e. om /\ 1o e. om ) -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) = 1o )
55	9, 54	mpan2 425	. . . 4 |- ( j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) = 1o )
56	55	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) = 1o )
57	35, 51, 56	3eqtr4d 2274	. 2 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( ( E ` Q ) ` j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) )
58	8, 15, 57	eqfnfvd 5756	1 |- ( ph -> ( E ` Q ) = ( i e. om |-> 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   _Vcvv 2803   (/)c0 3496   ifcif 3607   {csn 3673   |-> cmpt 4155   suc csuc 4468   omcom 4694   X. cxp 4729   Fn wfn 5328   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   1oc1o 6618   2oc2o 6619   ^m cmap 6860  ℕ_∞xnninf 7361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1o 6625  df-2o 6626  df-map 6862  df-nninf 7362

This theorem is referenced by:  nninfsel  16726