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Mathbox for Jim Kingdon |
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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > Mathboxes > nninfsellemeqinf | Unicode version |
Description: Lemma for nninfsel 13388. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.) |
Ref | Expression |
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nninfsel.e |
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nninfsel.q |
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nninfsel.1 |
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Ref | Expression |
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nninfsellemeqinf |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | nninfsel.e |
. . . . . . 7
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2 | 1 | nninfself 13384 |
. . . . . 6
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3 | 2 | a1i 9 |
. . . . 5
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4 | nninfsel.q |
. . . . 5
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5 | 3, 4 | ffvelrnd 5564 |
. . . 4
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6 | nninff 13373 |
. . . 4
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7 | 5, 6 | syl 14 |
. . 3
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8 | 7 | ffnd 5281 |
. 2
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9 | 1onn 6424 |
. . . . 5
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10 | fnconstg 5328 |
. . . . 5
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11 | 9, 10 | ax-mp 5 |
. . . 4
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12 | fconstmpt 4594 |
. . . . 5
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13 | 12 | fneq1i 5225 |
. . . 4
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14 | 11, 13 | mpbi 144 |
. . 3
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15 | 14 | a1i 9 |
. 2
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16 | elequ2 1692 |
. . . . . . . . . 10
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17 | 16 | ifbid 3498 |
. . . . . . . . 9
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18 | 17 | mpteq2dv 4027 |
. . . . . . . 8
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19 | 18 | fveq2d 5433 |
. . . . . . 7
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20 | 19 | eqeq1d 2149 |
. . . . . 6
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21 | 4 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
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22 | nninfsel.1 |
. . . . . . . . . 10
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23 | 22 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
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24 | simpr 109 |
. . . . . . . . 9
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25 | 1, 21, 23, 24 | nninfsellemqall 13386 |
. . . . . . . 8
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26 | 25 | ralrimiva 2508 |
. . . . . . 7
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27 | 26 | ad2antrr 480 |
. . . . . 6
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28 | simpr 109 |
. . . . . . 7
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29 | peano2 4517 |
. . . . . . . 8
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30 | 29 | ad2antlr 481 |
. . . . . . 7
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31 | elnn 4527 |
. . . . . . 7
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32 | 28, 30, 31 | syl2anc 409 |
. . . . . 6
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33 | 20, 27, 32 | rspcdva 2798 |
. . . . 5
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34 | 33 | ralrimiva 2508 |
. . . 4
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35 | 34 | iftrued 3486 |
. . 3
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36 | omex 4515 |
. . . . . . 7
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37 | 36 | mptex 5654 |
. . . . . 6
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38 | 37 | a1i 9 |
. . . . 5
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39 | fveq1 5428 |
. . . . . . . . . 10
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40 | 39 | eqeq1d 2149 |
. . . . . . . . 9
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41 | 40 | ralbidv 2438 |
. . . . . . . 8
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42 | 41 | ifbid 3498 |
. . . . . . 7
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43 | 42 | mpteq2dv 4027 |
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44 | 43, 1 | fvmptg 5505 |
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45 | 21, 38, 44 | syl2anc 409 |
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46 | suceq 4332 |
. . . . . . 7
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47 | 46 | adantl 275 |
. . . . . 6
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48 | 47 | raleqdv 2635 |
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49 | 48 | ifbid 3498 |
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50 | 35, 9 | eqeltrdi 2231 |
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51 | 45, 49, 24, 50 | fvmptd 5510 |
. . 3
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52 | eqidd 2141 |
. . . . . 6
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53 | eqid 2140 |
. . . . . 6
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54 | 52, 53 | fvmptg 5505 |
. . . . 5
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55 | 9, 54 | mpan2 422 |
. . . 4
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56 | 55 | adantl 275 |
. . 3
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57 | 35, 51, 56 | 3eqtr4d 2183 |
. 2
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58 | 8, 15, 57 | eqfnfvd 5529 |
1
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Colors of variables: wff set class |
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This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-if 3480 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-iord 4296 df-on 4298 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1o 6321 df-2o 6322 df-map 6552 df-nninf 7015 |
This theorem is referenced by: nninfsel 13388 |
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