Theorem nninfsellemeqinf 16618

Description: Lemma for nninfsel 16619. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfsel.e	|- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
nninfsel.q	|- ( ph -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
nninfsel.1	|- ( ph -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = 1o )

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemeqinf	|- ( ph -> ( E ` Q ) = ( i e. om |-> 1o ) )

Distinct variable groups:   Q, k, n, q   i, k, n, q   ph, k, n

Allowed substitution hints:   ph( i, q)   Q( i)   E( i, k, n, q)

Proof of Theorem nninfsellemeqinf

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfsel.e	. . . . . . 7 |- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
2	1	nninfself 16615	. . . . . 6 |- E : ( 2o ^m ℕ∞ ) -->ℕ∞
3	2	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> E : ( 2o ^m ℕ∞ ) -->ℕ∞ )
4		nninfsel.q	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
5	3, 4	ffvelcdmd 5783	. . . 4 |- ( ph -> ( E ` Q ) e. ℕ∞ )
6		nninff 7320	. . . 4 |- ( ( E ` Q ) e. ℕ∞ -> ( E ` Q ) : om --> 2o )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( E ` Q ) : om --> 2o )
8	7	ffnd 5483	. 2 |- ( ph -> ( E ` Q ) Fn om )
9		1onn 6687	. . . . 5 |- 1o e. om
10		fnconstg 5534	. . . . 5 |- ( 1o e. om -> ( om X. { 1o } ) Fn om )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 |- ( om X. { 1o } ) Fn om
12		fconstmpt 4773	. . . . 5 |- ( om X. { 1o } ) = ( i e. om |-> 1o )
13	12	fneq1i 5424	. . . 4 |- ( ( om X. { 1o } ) Fn om <-> ( i e. om |-> 1o ) Fn om )
14	11, 13	mpbi 145	. . 3 |- ( i e. om |-> 1o ) Fn om
15	14	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( i e. om |-> 1o ) Fn om )
16		elequ2 2207	. . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( i e. j <-> i e. k ) )
17	16	ifbid 3627	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> if ( i e. j , 1o , (/) ) = if ( i e. k , 1o , (/) ) )
18	17	mpteq2dv 4180	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( i e. om |-> if ( i e. j , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) )
19	18	fveq2d 5643	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. j , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) )
20	19	eqeq1d 2240	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. j , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
21	4	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
22		nninfsel.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = 1o )
23	22	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = 1o )
24		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> j e. om )
25	1, 21, 23, 24	nninfsellemqall 16617	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. j , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
26	25	ralrimiva 2605	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. j e. om ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. j , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
27	26	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ k e. suc j ) -> A. j e. om ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. j , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
28		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ k e. suc j ) -> k e. suc j )
29		peano2 4693	. . . . . . . 8 |- ( j e. om -> suc j e. om )
30	29	ad2antlr 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ k e. suc j ) -> suc j e. om )
31		elnn 4704	. . . . . . 7 |- ( ( k e. suc j /\ suc j e. om ) -> k e. om )
32	28, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ k e. suc j ) -> k e. om )
33	20, 27, 32	rspcdva 2915	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ k e. suc j ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
34	33	ralrimiva 2605	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
35	34	iftrued 3612	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> if ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = 1o )
36		omex 4691	. . . . . . 7 |- om e. _V
37	36	mptex 5879	. . . . . 6 |- ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. _V
38	37	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. _V )
39		fveq1 5638	. . . . . . . . . 10 |- ( q = Q -> ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) )
40	39	eqeq1d 2240	. . . . . . . . 9 |- ( q = Q -> ( ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
41	40	ralbidv 2532	. . . . . . . 8 |- ( q = Q -> ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
42	41	ifbid 3627	. . . . . . 7 |- ( q = Q -> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
43	42	mpteq2dv 4180	. . . . . 6 |- ( q = Q -> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
44	43, 1	fvmptg 5722	. . . . 5 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) e. _V ) -> ( E ` Q ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
45	21, 38, 44	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( E ` Q ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
46		suceq 4499	. . . . . . 7 |- ( n = j -> suc n = suc j )
47	46	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ n = j ) -> suc n = suc j )
48	47	raleqdv 2736	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ n = j ) -> ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
49	48	ifbid 3627	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ j e. om ) /\ n = j ) -> if ( A. k e. suc n ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
50	35, 9	eqeltrdi 2322	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> if ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. om )
51	45, 49, 24, 50	fvmptd 5727	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( ( E ` Q ) ` j ) = if ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
52		eqidd 2232	. . . . . 6 |- ( i = j -> 1o = 1o )
53		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( i e. om |-> 1o ) = ( i e. om |-> 1o )
54	52, 53	fvmptg 5722	. . . . 5 |- ( ( j e. om /\ 1o e. om ) -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) = 1o )
55	9, 54	mpan2 425	. . . 4 |- ( j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) = 1o )
56	55	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) = 1o )
57	35, 51, 56	3eqtr4d 2274	. 2 |- ( ( ph /\ j e. om ) -> ( ( E ` Q ) ` j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) )
58	8, 15, 57	eqfnfvd 5747	1 |- ( ph -> ( E ` Q ) = ( i e. om |-> 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   _Vcvv 2802   (/)c0 3494   ifcif 3605   {csn 3669   |-> cmpt 4150   suc csuc 4462   omcom 4688   X. cxp 4723   Fn wfn 5321   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   1oc1o 6574   2oc2o 6575   ^m cmap 6816  ℕ_∞xnninf 7317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1o 6581  df-2o 6582  df-map 6818  df-nninf 7318

This theorem is referenced by:  nninfsel  16619