Theorem nninfsellemqall 16617

Description: Lemma for nninfsel 16619. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfsel.e	|- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
nninfsel.q	|- ( ph -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
nninfsel.1	|- ( ph -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = 1o )
nninfsel.n	|- ( ph -> N e. om )

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemqall	|- ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ) = 1o )

Distinct variable groups:   i, N   Q, n, q   i, n   ph, n   i, k, n   k, q

Allowed substitution hints:   ph( i, k, q)   Q( i, k)   E( i, k, n, q)   N( k, n, q)

Proof of Theorem nninfsellemqall

Dummy variables x a y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfsel.n	. 2 |- ( ph -> N e. om )
2		elequ2 2207	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( i e. x <-> i e. y ) )
3	2	ifbid 3627	. . . . . . 7 |- ( x = y -> if ( i e. x , 1o , (/) ) = if ( i e. y , 1o , (/) ) )
4	3	mpteq2dv 4180	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) )
5	4	fveq2d 5643	. . . . 5 |- ( x = y -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) )
6	5	eqeq1d 2240	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
7	6	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = y -> ( ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) <-> ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
8		eleq2 2295	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( i e. x <-> i e. N ) )
9	8	ifbid 3627	. . . . . . 7 |- ( x = N -> if ( i e. x , 1o , (/) ) = if ( i e. N , 1o , (/) ) )
10	9	mpteq2dv 4180	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) )
11	10	fveq2d 5643	. . . . 5 |- ( x = N -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ) )
12	11	eqeq1d 2240	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
13	12	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = N -> ( ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) <-> ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
14		1n0 6599	. . . . . . 7 |- 1o =/= (/)
15	14	neii 2404	. . . . . 6 |- -. 1o = (/)
16		nninfsel.e	. . . . . . . . . . . 12 |- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
17		elequ2 2207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = y -> ( i e. k <-> i e. y ) )
18	17	ifbid 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = y -> if ( i e. k , 1o , (/) ) = if ( i e. y , 1o , (/) ) )
19	18	mpteq2dv 4180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = y -> ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) )
20	19	fveq2d 5643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = y -> ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) )
21	20	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = y -> ( ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
22	21	cbvralv 2767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. y e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
23		elequ1 2206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i = a -> ( i e. y <-> a e. y ) )
24	23	ifbid 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i = a -> if ( i e. y , 1o , (/) ) = if ( a e. y , 1o , (/) ) )
25	24	cbvmptv 4185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) = ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) )
26	25	fveq2i 5642	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = ( q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) )
27	26	eqeq1i 2239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
28	27	ralbii 2538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. y e. suc n ( q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
29	22, 28	bitri 184	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. y e. suc n ( q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
30		ifbi 3626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. y e. suc n ( q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. y e. suc n ( q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. y e. suc n ( q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) )
32	31	mpteq2i 4176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) = ( n e. om |-> if ( A. y e. suc n ( q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
33	32	mpteq2i 4176	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ) = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. y e. suc n ( q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
34	16, 33	eqtri 2252	. . . . . . . . . . 11 |- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. y e. suc n ( q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
35		nninfsel.q	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
36	35	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
37		nninfsel.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = 1o )
38	37	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = 1o )
39		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> x e. om )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) -> x e. om )
41		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ph )
42		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
43		r19.21v 2609	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) <-> ( ph -> A. y e. x ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
44	42, 43	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( ph -> A. y e. x ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
45	41, 44	mpd 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> A. y e. x ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
46	25	fveq2i 5642	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) )
47	46	eqeq1i 2239	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
48	47	ralbii 2538	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y e. x ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. y e. x ( Q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
49	45, 48	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> A. y e. x ( Q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) -> A. y e. x ( Q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
51		elequ1 2206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = a -> ( i e. x <-> a e. x ) )
52	51	ifbid 3627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = a -> if ( i e. x , 1o , (/) ) = if ( a e. x , 1o , (/) ) )
53	52	cbvmptv 4185	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) = ( a e. om |-> if ( a e. x , 1o , (/) ) )
54	53	fveq2i 5642	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( a e. om |-> if ( a e. x , 1o , (/) ) ) )
55		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) )
56	54, 55	eqtr3id 2278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) -> ( Q ` ( a e. om |-> if ( a e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) )
57	34, 36, 38, 40, 50, 56	nninfsellemeq 16616	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) -> ( E ` Q ) = ( a e. om |-> if ( a e. x , 1o , (/) ) ) )
58	57, 53	eqtr4di 2282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) -> ( E ` Q ) = ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) )
59	58	fveq2d 5643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) )
60	59, 38, 55	3eqtr3d 2272	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) -> 1o = (/) )
61	60	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) -> 1o = (/) ) )
62	15, 61	mtoi 670	. . . . 5 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> -. ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) )
63	35	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
64		elmapi 6838	. . . . . . . . . 10 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> Q :ℕ∞ --> 2o )
65	63, 64	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> Q :ℕ∞ --> 2o )
66		nnnninf 7324	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
67	39, 66	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
68	65, 67	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) e. 2o )
69		df2o3 6596	. . . . . . . 8 |- 2o = { (/) , 1o }
70	68, 69	eleqtrdi 2324	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) e. { (/) , 1o } )
71		elpri 3692	. . . . . . 7 |- ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) e. { (/) , 1o } -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) \/ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
72	70, 71	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) \/ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
73	72	orcomd 736	. . . . 5 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o \/ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) )
74	62, 73	ecased 1385	. . . 4 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
75	74	exp31 364	. . 3 |- ( x e. om -> ( A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
76	7, 13, 75	omsinds 4720	. 2 |- ( N e. om -> ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
77	1, 76	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ) = 1o )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   (/)c0 3494   ifcif 3605   {cpr 3670   |-> cmpt 4150   suc csuc 4462   omcom 4688   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   1oc1o 6574   2oc2o 6575   ^m cmap 6816  ℕ_∞xnninf 7317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1o 6581  df-2o 6582  df-map 6818  df-nninf 7318

This theorem is referenced by:  nninfsellemeqinf  16618  nninfsel  16619