Theorem nninfsellemqall 15746

Description: Lemma for nninfsel 15748. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfsel.e	|- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
nninfsel.q	|- ( ph -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
nninfsel.1	|- ( ph -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = 1o )
nninfsel.n	|- ( ph -> N e. om )

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemqall	|- ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ) = 1o )

Distinct variable groups:   i, N   Q, n, q   i, n   ph, n   i, k, n   k, q

Allowed substitution hints:   ph( i, k, q)   Q( i, k)   E( i, k, n, q)   N( k, n, q)

Proof of Theorem nninfsellemqall

Dummy variables x a y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfsel.n	. 2 |- ( ph -> N e. om )
2		elequ2 2172	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( i e. x <-> i e. y ) )
3	2	ifbid 3583	. . . . . . 7 |- ( x = y -> if ( i e. x , 1o , (/) ) = if ( i e. y , 1o , (/) ) )
4	3	mpteq2dv 4125	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) )
5	4	fveq2d 5565	. . . . 5 |- ( x = y -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) )
6	5	eqeq1d 2205	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
7	6	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = y -> ( ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) <-> ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
8		eleq2 2260	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( i e. x <-> i e. N ) )
9	8	ifbid 3583	. . . . . . 7 |- ( x = N -> if ( i e. x , 1o , (/) ) = if ( i e. N , 1o , (/) ) )
10	9	mpteq2dv 4125	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) )
11	10	fveq2d 5565	. . . . 5 |- ( x = N -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ) )
12	11	eqeq1d 2205	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
13	12	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = N -> ( ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) <-> ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
14		1n0 6499	. . . . . . 7 |- 1o =/= (/)
15	14	neii 2369	. . . . . 6 |- -. 1o = (/)
16		nninfsel.e	. . . . . . . . . . . 12 |- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
17		elequ2 2172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = y -> ( i e. k <-> i e. y ) )
18	17	ifbid 3583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = y -> if ( i e. k , 1o , (/) ) = if ( i e. y , 1o , (/) ) )
19	18	mpteq2dv 4125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = y -> ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) )
20	19	fveq2d 5565	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = y -> ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) )
21	20	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = y -> ( ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
22	21	cbvralv 2729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. y e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
23		elequ1 2171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i = a -> ( i e. y <-> a e. y ) )
24	23	ifbid 3583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i = a -> if ( i e. y , 1o , (/) ) = if ( a e. y , 1o , (/) ) )
25	24	cbvmptv 4130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) = ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) )
26	25	fveq2i 5564	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = ( q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) )
27	26	eqeq1i 2204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
28	27	ralbii 2503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. y e. suc n ( q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
29	22, 28	bitri 184	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. y e. suc n ( q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
30		ifbi 3582	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. y e. suc n ( q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. y e. suc n ( q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. y e. suc n ( q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) )
32	31	mpteq2i 4121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) = ( n e. om |-> if ( A. y e. suc n ( q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
33	32	mpteq2i 4121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ) = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. y e. suc n ( q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
34	16, 33	eqtri 2217	. . . . . . . . . . 11 |- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. y e. suc n ( q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
35		nninfsel.q	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
36	35	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
37		nninfsel.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = 1o )
38	37	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = 1o )
39		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> x e. om )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) -> x e. om )
41		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ph )
42		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
43		r19.21v 2574	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) <-> ( ph -> A. y e. x ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
44	42, 43	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( ph -> A. y e. x ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
45	41, 44	mpd 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> A. y e. x ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
46	25	fveq2i 5564	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) )
47	46	eqeq1i 2204	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
48	47	ralbii 2503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y e. x ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. y e. x ( Q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
49	45, 48	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> A. y e. x ( Q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) -> A. y e. x ( Q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
51		elequ1 2171	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = a -> ( i e. x <-> a e. x ) )
52	51	ifbid 3583	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = a -> if ( i e. x , 1o , (/) ) = if ( a e. x , 1o , (/) ) )
53	52	cbvmptv 4130	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) = ( a e. om |-> if ( a e. x , 1o , (/) ) )
54	53	fveq2i 5564	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( a e. om |-> if ( a e. x , 1o , (/) ) ) )
55		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) )
56	54, 55	eqtr3id 2243	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) -> ( Q ` ( a e. om |-> if ( a e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) )
57	34, 36, 38, 40, 50, 56	nninfsellemeq 15745	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) -> ( E ` Q ) = ( a e. om |-> if ( a e. x , 1o , (/) ) ) )
58	57, 53	eqtr4di 2247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) -> ( E ` Q ) = ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) )
59	58	fveq2d 5565	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) )
60	59, 38, 55	3eqtr3d 2237	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) -> 1o = (/) )
61	60	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) -> 1o = (/) ) )
62	15, 61	mtoi 665	. . . . 5 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> -. ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) )
63	35	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
64		elmapi 6738	. . . . . . . . . 10 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> Q :ℕ∞ --> 2o )
65	63, 64	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> Q :ℕ∞ --> 2o )
66		nnnninf 7201	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
67	39, 66	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
68	65, 67	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) e. 2o )
69		df2o3 6497	. . . . . . . 8 |- 2o = { (/) , 1o }
70	68, 69	eleqtrdi 2289	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) e. { (/) , 1o } )
71		elpri 3646	. . . . . . 7 |- ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) e. { (/) , 1o } -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) \/ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
72	70, 71	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) \/ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
73	72	orcomd 730	. . . . 5 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o \/ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) )
74	62, 73	ecased 1360	. . . 4 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
75	74	exp31 364	. . 3 |- ( x e. om -> ( A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
76	7, 13, 75	omsinds 4659	. 2 |- ( N e. om -> ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
77	1, 76	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ) = 1o )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   (/)c0 3451   ifcif 3562   {cpr 3624   |-> cmpt 4095   suc csuc 4401   omcom 4627   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   1oc1o 6476   2oc2o 6477   ^m cmap 6716  ℕ_∞xnninf 7194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1o 6483  df-2o 6484  df-map 6718  df-nninf 7195

This theorem is referenced by:  nninfsellemeqinf  15747  nninfsel  15748