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Theorem nninfsellemqall 14008
Description: Lemma for nninfsel 14010. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfsel.e  |-  E  =  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
nninfsel.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( 2o 
^m ) )
nninfsel.1  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( E `  Q )
)  =  1o )
nninfsel.n  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
Assertion
Ref Expression
nninfsellemqall  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
Distinct variable groups:    i, N    Q, n, q    i, n    ph, n    i, k, n    k, q
Allowed substitution hints:    ph( i, k, q)    Q( i, k)    E( i, k, n, q)    N( k, n, q)

Proof of Theorem nninfsellemqall
Dummy variables  x  a  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninfsel.n . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
2 elequ2 2146 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
i  e.  x  <->  i  e.  y ) )
32ifbid 3546 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) )  =  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
43mpteq2dv 4078 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )
54fveq2d 5498 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) ) )
65eqeq1d 2179 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
76imbi2d 229 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  ->  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  <->  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) ) )
8 eleq2 2234 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
i  e.  x  <->  i  e.  N ) )
98ifbid 3546 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) )  =  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
109mpteq2dv 4078 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )
1110fveq2d 5498 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) ) )
1211eqeq1d 2179 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
1312imbi2d 229 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  <->  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) ) )
14 1n0 6408 . . . . . . 7  |-  1o  =/=  (/)
1514neii 2342 . . . . . 6  |-  -.  1o  =  (/)
16 nninfsel.e . . . . . . . . . . . 12  |-  E  =  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
17 elequ2 2146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  y  ->  (
i  e.  k  <->  i  e.  y ) )
1817ifbid 3546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  y  ->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) )  =  if (
i  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
1918mpteq2dv 4078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  y  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )
2019fveq2d 5498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  y  ->  (
q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) ) )
2120eqeq1d 2179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  y  ->  (
( q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
2221cbvralv 2696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. y  e.  suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
23 elequ1 2145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  a  ->  (
i  e.  y  <->  a  e.  y ) )
2423ifbid 3546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  =  a  ->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  if (
a  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
2524cbvmptv 4083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  =  ( a  e. 
om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
2625fveq2i 5497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )
2726eqeq1i 2178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
2827ralbii 2476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. y  e.  suc  n ( q `
 ( a  e. 
om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
2922, 28bitri 183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. y  e.  suc  n ( q `
 ( a  e. 
om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
30 ifbi 3545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. y  e.  suc  n ( q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  if ( A. y  e.  suc  n ( q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  if ( A. y  e.  suc  n ( q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )
3231mpteq2i 4074 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  =  ( n  e.  om  |->  if ( A. y  e. 
suc  n ( q `
 ( a  e. 
om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
3332mpteq2i 4074 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( n  e. 
om  |->  if ( A. y  e.  suc  n ( q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
3416, 33eqtri 2191 . . . . . . . . . . 11  |-  E  =  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( n  e. 
om  |->  if ( A. y  e.  suc  n ( q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
35 nninfsel.q . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( 2o 
^m ) )
3635ad2antlr 486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  /\  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )  ->  Q  e.  ( 2o  ^m ) )
37 nninfsel.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( E `  Q )
)  =  1o )
3837ad2antlr 486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  /\  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )  ->  ( Q `  ( E `  Q ) )  =  1o )
39 simpll 524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  x  e.  om )
4039adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  /\  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )  ->  x  e.  om )
41 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  ph )
42 simplr 525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
43 r19.21v 2547 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  <->  ( ph  ->  A. y  e.  x  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
4442, 43sylib 121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  ( ph  ->  A. y  e.  x  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
4541, 44mpd 13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  A. y  e.  x  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
4625fveq2i 5497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( Q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )
4746eqeq1i 2178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
4847ralbii 2476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  x  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. y  e.  x  ( Q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
4945, 48sylib 121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  A. y  e.  x  ( Q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
5049adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  /\  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )  ->  A. y  e.  x  ( Q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
51 elequ1 2145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  a  ->  (
i  e.  x  <->  a  e.  x ) )
5251ifbid 3546 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  a  ->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) )  =  if ( a  e.  x ,  1o ,  (/) ) )
5352cbvmptv 4083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) )  =  ( a  e. 
om  |->  if ( a  e.  x ,  1o ,  (/) ) )
5453fveq2i 5497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( Q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )
55 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  /\  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )
5654, 55eqtr3id 2217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  /\  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )  ->  ( Q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )
5734, 36, 38, 40, 50, 56nninfsellemeq 14007 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  /\  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )  ->  ( E `  Q )  =  ( a  e. 
om  |->  if ( a  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )
5857, 53eqtr4di 2221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  /\  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )  ->  ( E `  Q )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )
5958fveq2d 5498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  /\  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )  ->  ( Q `  ( E `  Q ) )  =  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) ) )
6059, 38, 553eqtr3d 2211 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  /\  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )  ->  1o  =  (/) )
6160ex 114 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  ( ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/)  ->  1o  =  (/) ) )
6215, 61mtoi 659 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  -.  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )
6335adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  Q  e.  ( 2o  ^m ) )
64 elmapi 6644 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  ->  Q : --> 2o )
6563, 64syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  Q : --> 2o )
66 nnnninf 7098 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  om  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) )  e.
)
6739, 66syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) )  e. )
6865, 67ffvelrnd 5629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  e.  2o )
69 df2o3 6406 . . . . . . . 8  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
7068, 69eleqtrdi 2263 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  e.  { (/) ,  1o } )
71 elpri 3604 . . . . . . 7  |-  ( ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  e.  { (/) ,  1o }  ->  (
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/)  \/  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
7270, 71syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  ( ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/)  \/  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
7372orcomd 724 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  ( ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  \/  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) ) )
7462, 73ecased 1344 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
7574exp31 362 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) ) )
767, 13, 75omsinds 4604 . 2  |-  ( N  e.  om  ->  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
771, 76mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 703    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   (/)c0 3414   ifcif 3525   {cpr 3582    |-> cmpt 4048   suc csuc 4348   omcom 4572   -->wf 5192   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   1oc1o 6385   2oc2o 6386    ^m cmap 6622  ℕxnninf 7092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1o 6392  df-2o 6393  df-map 6624  df-nninf 7093
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