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Theorem nninfsellemqall 11336
Description: Lemma for nninfsel 11338. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfsel.e  |-  E  =  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
nninfsel.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( 2o 
^m ) )
nninfsel.1  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( E `  Q )
)  =  1o )
nninfsel.n  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
Assertion
Ref Expression
nninfsellemqall  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
Distinct variable groups:    i, N    Q, n, q    i, n    ph, n    i, k, n    k, q
Allowed substitution hints:    ph( i, k, q)    Q( i, k)    E( i, k, n, q)    N( k, n, q)

Proof of Theorem nninfsellemqall
Dummy variables  x  a  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninfsel.n . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
2 elequ2 1645 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
i  e.  x  <->  i  e.  y ) )
32ifbid 3398 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) )  =  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
43mpteq2dv 3903 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )
54fveq2d 5265 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) ) )
65eqeq1d 2093 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
76imbi2d 228 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  ->  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  <->  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) ) )
8 eleq2 2148 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
i  e.  x  <->  i  e.  N ) )
98ifbid 3398 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) )  =  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
109mpteq2dv 3903 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )
1110fveq2d 5265 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) ) )
1211eqeq1d 2093 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
1312imbi2d 228 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  <->  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) ) )
14 1n0 6144 . . . . . . 7  |-  1o  =/=  (/)
1514neii 2253 . . . . . 6  |-  -.  1o  =  (/)
16 nninfsel.e . . . . . . . . . . . 12  |-  E  =  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
17 elequ2 1645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  y  ->  (
i  e.  k  <->  i  e.  y ) )
1817ifbid 3398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  y  ->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) )  =  if (
i  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
1918mpteq2dv 3903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  y  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )
2019fveq2d 5265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  y  ->  (
q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) ) )
2120eqeq1d 2093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  y  ->  (
( q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
2221cbvralv 2586 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. y  e.  suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
23 elequ1 1644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  a  ->  (
i  e.  y  <->  a  e.  y ) )
2423ifbid 3398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  =  a  ->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  if (
a  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
2524cbvmptv 3907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  =  ( a  e. 
om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
2625fveq2i 5264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )
2726eqeq1i 2092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
2827ralbii 2380 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. y  e.  suc  n ( q `
 ( a  e. 
om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
2922, 28bitri 182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. y  e.  suc  n ( q `
 ( a  e. 
om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
30 ifbi 3397 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. y  e.  suc  n ( q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  if ( A. y  e.  suc  n ( q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
3129, 30ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  if ( A. y  e.  suc  n ( q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )
3231mpteq2i 3899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  =  ( n  e.  om  |->  if ( A. y  e. 
suc  n ( q `
 ( a  e. 
om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
3332mpteq2i 3899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( n  e. 
om  |->  if ( A. y  e.  suc  n ( q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
3416, 33eqtri 2105 . . . . . . . . . . 11  |-  E  =  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( n  e. 
om  |->  if ( A. y  e.  suc  n ( q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
35 nninfsel.q . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( 2o 
^m ) )
3635ad2antlr 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  /\  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )  ->  Q  e.  ( 2o  ^m ) )
37 nninfsel.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( E `  Q )
)  =  1o )
3837ad2antlr 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  /\  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )  ->  ( Q `  ( E `  Q ) )  =  1o )
39 simpll 496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  x  e.  om )
4039adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  /\  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )  ->  x  e.  om )
41 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  ph )
42 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
43 r19.21v 2446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  <->  ( ph  ->  A. y  e.  x  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
4442, 43sylib 120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  ( ph  ->  A. y  e.  x  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
4541, 44mpd 13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  A. y  e.  x  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
4625fveq2i 5264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( Q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )
4746eqeq1i 2092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
4847ralbii 2380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  x  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. y  e.  x  ( Q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
4945, 48sylib 120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  A. y  e.  x  ( Q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
5049adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  /\  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )  ->  A. y  e.  x  ( Q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
51 elequ1 1644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  a  ->  (
i  e.  x  <->  a  e.  x ) )
5251ifbid 3398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  a  ->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) )  =  if ( a  e.  x ,  1o ,  (/) ) )
5352cbvmptv 3907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) )  =  ( a  e. 
om  |->  if ( a  e.  x ,  1o ,  (/) ) )
5453fveq2i 5264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( Q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )
55 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  /\  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )
5654, 55syl5eqr 2131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  /\  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )  ->  ( Q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )
5734, 36, 38, 40, 50, 56nninfsellemeq 11335 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  /\  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )  ->  ( E `  Q )  =  ( a  e. 
om  |->  if ( a  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )
5857, 53syl6eqr 2135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  /\  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )  ->  ( E `  Q )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )
5958fveq2d 5265 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  /\  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )  ->  ( Q `  ( E `  Q ) )  =  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) ) )
6059, 38, 553eqtr3d 2125 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  /\  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )  ->  1o  =  (/) )
6160ex 113 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  ( ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/)  ->  1o  =  (/) ) )
6215, 61mtoi 623 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  -.  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )
6335adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  Q  e.  ( 2o  ^m ) )
64 elmapi 6372 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  ->  Q : --> 2o )
6563, 64syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  Q : --> 2o )
66 nnnninf 6742 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  om  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) )  e.
)
6739, 66syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) )  e. )
6865, 67ffvelrnd 5391 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  e.  2o )
69 df2o3 6142 . . . . . . . 8  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
7068, 69syl6eleq 2177 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  e.  { (/) ,  1o } )
71 elpri 3453 . . . . . . 7  |-  ( ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  e.  { (/) ,  1o }  ->  (
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/)  \/  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
7270, 71syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  ( ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/)  \/  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
7372orcomd 681 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  ( ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  \/  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) ) )
7462, 73ecased 1283 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
7574exp31 356 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) ) )
767, 13, 75omsinds 4406 . 2  |-  ( N  e.  om  ->  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
771, 76mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662    = wceq 1287    e. wcel 1436   A.wral 2355   (/)c0 3275   ifcif 3379   {cpr 3431    |-> cmpt 3873   suc csuc 4164   omcom 4376   -->wf 4973   ` cfv 4977  (class class class)co 5606   1oc1o 6121   2oc2o 6122    ^m cmap 6350  ℕxnninf 6725
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3927  ax-sep 3930  ax-nul 3938  ax-pow 3982  ax-pr 4008  ax-un 4232  ax-setind 4324  ax-iinf 4374
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3416  df-sn 3436  df-pr 3437  df-op 3439  df-uni 3636  df-int 3671  df-iun 3714  df-br 3820  df-opab 3874  df-mpt 3875  df-tr 3910  df-id 4092  df-iord 4165  df-on 4167  df-suc 4170  df-iom 4377  df-xp 4415  df-rel 4416  df-cnv 4417  df-co 4418  df-dm 4419  df-rn 4420  df-res 4421  df-ima 4422  df-iota 4942  df-fun 4979  df-fn 4980  df-f 4981  df-f1 4982  df-fo 4983  df-f1o 4984  df-fv 4985  df-ov 5609  df-oprab 5610  df-mpt2 5611  df-1o 6128  df-2o 6129  df-map 6352  df-nninf 6727
This theorem is referenced by:  nninfsellemeqinf  11337  nninfsel  11338
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