Theorem nninfsellemqall 12903

Description: Lemma for nninfsel 12905. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfsel.e	|- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
nninfsel.q	|- ( ph -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
nninfsel.1	|- ( ph -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = 1o )
nninfsel.n	|- ( ph -> N e. om )

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemqall	|- ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ) = 1o )

Distinct variable groups:   i, N   Q, n, q   i, n   ph, n   i, k, n   k, q

Allowed substitution hints:   ph( i, k, q)   Q( i, k)   E( i, k, n, q)   N( k, n, q)

Proof of Theorem nninfsellemqall

Dummy variables x a y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfsel.n	. 2 |- ( ph -> N e. om )
2		elequ2 1674	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( i e. x <-> i e. y ) )
3	2	ifbid 3459	. . . . . . 7 |- ( x = y -> if ( i e. x , 1o , (/) ) = if ( i e. y , 1o , (/) ) )
4	3	mpteq2dv 3979	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) )
5	4	fveq2d 5379	. . . . 5 |- ( x = y -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) )
6	5	eqeq1d 2123	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
7	6	imbi2d 229	. . 3 |- ( x = y -> ( ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) <-> ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
8		eleq2 2178	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( i e. x <-> i e. N ) )
9	8	ifbid 3459	. . . . . . 7 |- ( x = N -> if ( i e. x , 1o , (/) ) = if ( i e. N , 1o , (/) ) )
10	9	mpteq2dv 3979	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) )
11	10	fveq2d 5379	. . . . 5 |- ( x = N -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ) )
12	11	eqeq1d 2123	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
13	12	imbi2d 229	. . 3 |- ( x = N -> ( ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) <-> ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
14		1n0 6283	. . . . . . 7 |- 1o =/= (/)
15	14	neii 2284	. . . . . 6 |- -. 1o = (/)
16		nninfsel.e	. . . . . . . . . . . 12 |- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
17		elequ2 1674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = y -> ( i e. k <-> i e. y ) )
18	17	ifbid 3459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = y -> if ( i e. k , 1o , (/) ) = if ( i e. y , 1o , (/) ) )
19	18	mpteq2dv 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = y -> ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) )
20	19	fveq2d 5379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = y -> ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) )
21	20	eqeq1d 2123	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = y -> ( ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
22	21	cbvralv 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. y e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
23		elequ1 1673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i = a -> ( i e. y <-> a e. y ) )
24	23	ifbid 3459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i = a -> if ( i e. y , 1o , (/) ) = if ( a e. y , 1o , (/) ) )
25	24	cbvmptv 3984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) = ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) )
26	25	fveq2i 5378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = ( q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) )
27	26	eqeq1i 2122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
28	27	ralbii 2415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. y e. suc n ( q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
29	22, 28	bitri 183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. y e. suc n ( q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
30		ifbi 3458	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. y e. suc n ( q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. y e. suc n ( q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
31	29, 30	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . 14 |- if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. y e. suc n ( q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) )
32	31	mpteq2i 3975	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) = ( n e. om |-> if ( A. y e. suc n ( q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
33	32	mpteq2i 3975	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ) = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. y e. suc n ( q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
34	16, 33	eqtri 2135	. . . . . . . . . . 11 |- E = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. y e. suc n ( q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
35		nninfsel.q	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
36	35	ad2antlr 478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
37		nninfsel.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = 1o )
38	37	ad2antlr 478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = 1o )
39		simpll 501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> x e. om )
40	39	adantr 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) -> x e. om )
41		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ph )
42		simplr 502	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
43		r19.21v 2483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) <-> ( ph -> A. y e. x ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
44	42, 43	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( ph -> A. y e. x ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
45	41, 44	mpd 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> A. y e. x ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
46	25	fveq2i 5378	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) )
47	46	eqeq1i 2122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
48	47	ralbii 2415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y e. x ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. y e. x ( Q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
49	45, 48	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> A. y e. x ( Q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
50	49	adantr 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) -> A. y e. x ( Q ` ( a e. om |-> if ( a e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
51		elequ1 1673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = a -> ( i e. x <-> a e. x ) )
52	51	ifbid 3459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = a -> if ( i e. x , 1o , (/) ) = if ( a e. x , 1o , (/) ) )
53	52	cbvmptv 3984	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) = ( a e. om |-> if ( a e. x , 1o , (/) ) )
54	53	fveq2i 5378	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( a e. om |-> if ( a e. x , 1o , (/) ) ) )
55		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) )
56	54, 55	syl5eqr 2161	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) -> ( Q ` ( a e. om |-> if ( a e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) )
57	34, 36, 38, 40, 50, 56	nninfsellemeq 12902	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) -> ( E ` Q ) = ( a e. om |-> if ( a e. x , 1o , (/) ) ) )
58	57, 53	syl6eqr 2165	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) -> ( E ` Q ) = ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) )
59	58	fveq2d 5379	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) -> ( Q ` ( E ` Q ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) )
60	59, 38, 55	3eqtr3d 2155	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) /\ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) -> 1o = (/) )
61	60	ex 114	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) -> 1o = (/) ) )
62	15, 61	mtoi 636	. . . . 5 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> -. ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) )
63	35	adantl 273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) )
64		elmapi 6518	. . . . . . . . . 10 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> Q :ℕ∞ --> 2o )
65	63, 64	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> Q :ℕ∞ --> 2o )
66		nnnninf 6973	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
67	39, 66	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
68	65, 67	ffvelrnd 5510	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) e. 2o )
69		df2o3 6281	. . . . . . . 8 |- 2o = { (/) , 1o }
70	68, 69	syl6eleq 2207	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) e. { (/) , 1o } )
71		elpri 3516	. . . . . . 7 |- ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) e. { (/) , 1o } -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) \/ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
72	70, 71	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) \/ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
73	72	orcomd 701	. . . . 5 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o \/ ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = (/) ) )
74	62, 73	ecased 1310	. . . 4 |- ( ( ( x e. om /\ A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) /\ ph ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
75	74	exp31 359	. . 3 |- ( x e. om -> ( A. y e. x ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. y , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. x , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
76	7, 13, 75	omsinds 4495	. 2 |- ( N e. om -> ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
77	1, 76	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ) = 1o )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 680   = wceq 1314   e. wcel 1463   A.wral 2390   (/)c0 3329   ifcif 3440   {cpr 3494   |-> cmpt 3949   suc csuc 4247   omcom 4464   -->wf 5077   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   1oc1o 6260   2oc2o 6261   ^m cmap 6496  ℕ_∞xnninf 6955

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1o 6267  df-2o 6268  df-map 6498  df-nninf 6957

This theorem is referenced by:  nninfsellemeqinf  12904  nninfsel  12905