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Theorem nninfsellemqall 13384
Description: Lemma for nninfsel 13386. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfsel.e  |-  E  =  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
nninfsel.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( 2o 
^m ) )
nninfsel.1  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( E `  Q )
)  =  1o )
nninfsel.n  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
Assertion
Ref Expression
nninfsellemqall  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
Distinct variable groups:    i, N    Q, n, q    i, n    ph, n    i, k, n    k, q
Allowed substitution hints:    ph( i, k, q)    Q( i, k)    E( i, k, n, q)    N( k, n, q)

Proof of Theorem nninfsellemqall
Dummy variables  x  a  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninfsel.n . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
2 elequ2 1692 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
i  e.  x  <->  i  e.  y ) )
32ifbid 3497 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) )  =  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
43mpteq2dv 4026 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )
54fveq2d 5432 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) ) )
65eqeq1d 2149 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
76imbi2d 229 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  ->  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  <->  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) ) )
8 eleq2 2204 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
i  e.  x  <->  i  e.  N ) )
98ifbid 3497 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) )  =  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
109mpteq2dv 4026 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )
1110fveq2d 5432 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) ) )
1211eqeq1d 2149 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
1312imbi2d 229 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  <->  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) ) )
14 1n0 6336 . . . . . . 7  |-  1o  =/=  (/)
1514neii 2311 . . . . . 6  |-  -.  1o  =  (/)
16 nninfsel.e . . . . . . . . . . . 12  |-  E  =  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
17 elequ2 1692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  y  ->  (
i  e.  k  <->  i  e.  y ) )
1817ifbid 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  y  ->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) )  =  if (
i  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
1918mpteq2dv 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  y  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )
2019fveq2d 5432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  y  ->  (
q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) ) )
2120eqeq1d 2149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  y  ->  (
( q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
2221cbvralv 2657 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. y  e.  suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
23 elequ1 1691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  a  ->  (
i  e.  y  <->  a  e.  y ) )
2423ifbid 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  =  a  ->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) )  =  if (
a  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
2524cbvmptv 4031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) )  =  ( a  e. 
om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) )
2625fveq2i 5431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )
2726eqeq1i 2148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
2827ralbii 2444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. y  e.  suc  n ( q `
 ( a  e. 
om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
2922, 28bitri 183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. y  e.  suc  n ( q `
 ( a  e. 
om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
30 ifbi 3496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. y  e.  suc  n ( q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  if ( A. y  e.  suc  n ( q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  if ( A. y  e.  suc  n ( q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )
3231mpteq2i 4022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  =  ( n  e.  om  |->  if ( A. y  e. 
suc  n ( q `
 ( a  e. 
om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
3332mpteq2i 4022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( n  e. 
om  |->  if ( A. y  e.  suc  n ( q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
3416, 33eqtri 2161 . . . . . . . . . . 11  |-  E  =  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( n  e. 
om  |->  if ( A. y  e.  suc  n ( q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
35 nninfsel.q . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( 2o 
^m ) )
3635ad2antlr 481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  /\  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )  ->  Q  e.  ( 2o  ^m ) )
37 nninfsel.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( E `  Q )
)  =  1o )
3837ad2antlr 481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  /\  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )  ->  ( Q `  ( E `  Q ) )  =  1o )
39 simpll 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  x  e.  om )
4039adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  /\  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )  ->  x  e.  om )
41 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  ph )
42 simplr 520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
43 r19.21v 2512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  <->  ( ph  ->  A. y  e.  x  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
4442, 43sylib 121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  ( ph  ->  A. y  e.  x  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
4541, 44mpd 13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  A. y  e.  x  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
4625fveq2i 5431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( Q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )
4746eqeq1i 2148 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
4847ralbii 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  x  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. y  e.  x  ( Q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
4945, 48sylib 121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  A. y  e.  x  ( Q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
5049adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  /\  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )  ->  A. y  e.  x  ( Q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
51 elequ1 1691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  a  ->  (
i  e.  x  <->  a  e.  x ) )
5251ifbid 3497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  a  ->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) )  =  if ( a  e.  x ,  1o ,  (/) ) )
5352cbvmptv 4031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) )  =  ( a  e. 
om  |->  if ( a  e.  x ,  1o ,  (/) ) )
5453fveq2i 5431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( Q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )
55 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  /\  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )
5654, 55syl5eqr 2187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  /\  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )  ->  ( Q `  ( a  e.  om  |->  if ( a  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )
5734, 36, 38, 40, 50, 56nninfsellemeq 13383 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  /\  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )  ->  ( E `  Q )  =  ( a  e. 
om  |->  if ( a  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )
5857, 53eqtr4di 2191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  /\  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )  ->  ( E `  Q )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )
5958fveq2d 5432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  /\  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )  ->  ( Q `  ( E `  Q ) )  =  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) ) )
6059, 38, 553eqtr3d 2181 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  /\  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )  ->  1o  =  (/) )
6160ex 114 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  ( ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/)  ->  1o  =  (/) ) )
6215, 61mtoi 654 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  -.  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) )
6335adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  Q  e.  ( 2o  ^m ) )
64 elmapi 6571 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  ->  Q : --> 2o )
6563, 64syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  Q : --> 2o )
66 nnnninf 7030 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  om  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) )  e.
)
6739, 66syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) )  e. )
6865, 67ffvelrnd 5563 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  e.  2o )
69 df2o3 6334 . . . . . . . 8  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
7068, 69eleqtrdi 2233 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  e.  { (/) ,  1o } )
71 elpri 3554 . . . . . . 7  |-  ( ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  e.  { (/) ,  1o }  ->  (
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/)  \/  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
7270, 71syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  ( ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/)  \/  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
7372orcomd 719 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  ( ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  \/  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  (/) ) )
7462, 73ecased 1328 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  om  /\ 
A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )  /\  ph )  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
7574exp31 362 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. y  e.  x  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  y ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  x ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) ) )
767, 13, 75omsinds 4542 . 2  |-  ( N  e.  om  ->  ( ph  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
771, 76mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698    = wceq 1332    e. wcel 1481   A.wral 2417   (/)c0 3367   ifcif 3478   {cpr 3532    |-> cmpt 3996   suc csuc 4294   omcom 4511   -->wf 5126   ` cfv 5130  (class class class)co 5781   1oc1o 6313   2oc2o 6314    ^m cmap 6549  ℕxnninf 7012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1o 6320  df-2o 6321  df-map 6551  df-nninf 7014
This theorem is referenced by:  nninfsellemeqinf  13385  nninfsel  13386
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