Theorem nnnlt1 9099

Description: A positive integer is not less than one. (Contributed by NM, 18-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
nnnlt1	|- ( A e. NN -> -. A < 1 )

Proof of Theorem nnnlt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1 9096	. 2 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
2		1re 8108	. . 3 |- 1 e. RR
3		nnre 9080	. . 3 |- ( A e. NN -> A e. RR )
4		lenlt 8185	. . 3 |- ( ( 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 1 <_ A <-> -. A < 1 ) )
5	2, 3, 4	sylancr 414	. 2 |- ( A e. NN -> ( 1 <_ A <-> -. A < 1 ) )
6	1, 5	mpbid 147	1 |- ( A e. NN -> -. A < 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2178   class class class wbr 4060   RRcr 7961   1c1 7963   < clt 8144   <_ cle 8145   NNcn 9073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1re 8056  ax-addrcl 8059  ax-0lt1 8068  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-pre-ltirr 8074  ax-pre-lttrn 8076  ax-pre-ltadd 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2779  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-br 4061  df-opab 4123  df-xp 4700  df-cnv 4702  df-iota 5252  df-fv 5299  df-ov 5972  df-pnf 8146  df-mnf 8147  df-xr 8148  df-ltxr 8149  df-le 8150  df-inn 9074

This theorem is referenced by:  0nnn  9100  nnsub  9112  indstr  9751  indstr2  9767  sqrt2irr  12645