Theorem nnnlt1 9309

Description: A positive integer is not less than one. (Contributed by NM, 18-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
nnnlt1	|- ( A e. NN -> -. A < 1 )

Proof of Theorem nnnlt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1 9306	. 2 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
2		1re 8315	. . 3 |- 1 e. RR
3		nnre 9290	. . 3 |- ( A e. NN -> A e. RR )
4		lenlt 8391	. . 3 |- ( ( 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 1 <_ A <-> -. A < 1 ) )
5	2, 3, 4	sylancr 418	. 2 |- ( A e. NN -> ( 1 <_ A <-> -. A < 1 ) )
6	1, 5	mpbid 147	1 |- ( A e. NN -> -. A < 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   RRcr 8168   1c1 8170   < clt 8350   <_ cle 8351   NNcn 9283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-cnv 4777  df-iota 5332  df-fv 5380  df-ov 6078  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-inn 9284

This theorem is referenced by:  0nnn  9310  nnsub  9322  indstr  9972  indstr2  9988  sqrt2irr  12918