Theorem nnnlt1 8958

Description: A positive integer is not less than one. (Contributed by NM, 18-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
nnnlt1	|- ( A e. NN -> -. A < 1 )

Proof of Theorem nnnlt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1 8955	. 2 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
2		1re 7969	. . 3 |- 1 e. RR
3		nnre 8939	. . 3 |- ( A e. NN -> A e. RR )
4		lenlt 8046	. . 3 |- ( ( 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 1 <_ A <-> -. A < 1 ) )
5	2, 3, 4	sylancr 414	. 2 |- ( A e. NN -> ( 1 <_ A <-> -. A < 1 ) )
6	1, 5	mpbid 147	1 |- ( A e. NN -> -. A < 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2158   class class class wbr 4015   RRcr 7823   1c1 7825   < clt 8005   <_ cle 8006   NNcn 8932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1re 7918  ax-addrcl 7921  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-xp 4644  df-cnv 4646  df-iota 5190  df-fv 5236  df-ov 5891  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-inn 8933

This theorem is referenced by:  0nnn  8959  nnsub  8971  indstr  9606  indstr2  9622  sqrt2irr  12175