Theorem nnnlt1 8859

Description: A positive integer is not less than one. (Contributed by NM, 18-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
nnnlt1	|- ( A e. NN -> -. A < 1 )

Proof of Theorem nnnlt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1 8856	. 2 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
2		1re 7877	. . 3 |- 1 e. RR
3		nnre 8840	. . 3 |- ( A e. NN -> A e. RR )
4		lenlt 7953	. . 3 |- ( ( 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 1 <_ A <-> -. A < 1 ) )
5	2, 3, 4	sylancr 411	. 2 |- ( A e. NN -> ( 1 <_ A <-> -. A < 1 ) )
6	1, 5	mpbid 146	1 |- ( A e. NN -> -. A < 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 2128   class class class wbr 3965   RRcr 7731   1c1 7733   < clt 7912   <_ cle 7913   NNcn 8833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1re 7826  ax-addrcl 7829  ax-0lt1 7838  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-ltadd 7848

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4592  df-cnv 4594  df-iota 5135  df-fv 5178  df-ov 5827  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-inn 8834

This theorem is referenced by:  0nnn  8860  nnsub  8872  indstr  9504  indstr2  9520  sqrt2irr  12036