Theorem nnnlt1 8943

Description: A positive integer is not less than one. (Contributed by NM, 18-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
nnnlt1	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ 𝐴 < 1)

Proof of Theorem nnnlt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1 8940	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
2		1re 7955	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		nnre 8924	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
4		lenlt 8031	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 1))
5	2, 3, 4	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 1))
6	1, 5	mpbid 147	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ 𝐴 < 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4003  ℝcr 7809  1c1 7811   < clt 7990   ≤ cle 7991  ℕcn 8917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-xp 4632  df-cnv 4634  df-iota 5178  df-fv 5224  df-ov 5877  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-inn 8918

This theorem is referenced by:  0nnn  8944  nnsub  8956  indstr  9591  indstr2  9607  sqrt2irr  12156