Theorem nnnlt1 9132

Description: A positive integer is not less than one. (Contributed by NM, 18-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
nnnlt1	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ 𝐴 < 1)

Proof of Theorem nnnlt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1 9129	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
2		1re 8141	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		nnre 9113	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
4		lenlt 8218	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 1))
5	2, 3, 4	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 1))
6	1, 5	mpbid 147	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ 𝐴 < 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  ℝcr 7994  1c1 7996   < clt 8177   ≤ cle 8178  ℕcn 9106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4724  df-cnv 4726  df-iota 5277  df-fv 5325  df-ov 6003  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-inn 9107

This theorem is referenced by:  0nnn  9133  nnsub  9145  indstr  9784  indstr2  9800  sqrt2irr  12679