Theorem nnnlt1 9169

Description: A positive integer is not less than one. (Contributed by NM, 18-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
nnnlt1	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ 𝐴 < 1)

Proof of Theorem nnnlt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1 9166	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
2		1re 8178	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		nnre 9150	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
4		lenlt 8255	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 1))
5	2, 3, 4	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 1))
6	1, 5	mpbid 147	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ 𝐴 < 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ℝcr 8031  1c1 8033   < clt 8214   ≤ cle 8215  ℕcn 9143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6021  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-inn 9144

This theorem is referenced by:  0nnn  9170  nnsub  9182  indstr  9827  indstr2  9843  sqrt2irr  12739