Theorem nnnlt1 9061

Description: A positive integer is not less than one. (Contributed by NM, 18-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
nnnlt1	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ 𝐴 < 1)

Proof of Theorem nnnlt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1 9058	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
2		1re 8070	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		nnre 9042	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
4		lenlt 8147	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 1))
5	2, 3, 4	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 1))
6	1, 5	mpbid 147	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ 𝐴 < 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  ℝcr 7923  1c1 7925   < clt 8106   ≤ cle 8107  ℕcn 9035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-xp 4680  df-cnv 4682  df-iota 5231  df-fv 5278  df-ov 5946  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-inn 9036

This theorem is referenced by:  0nnn  9062  nnsub  9074  indstr  9713  indstr2  9729  sqrt2irr  12426