Theorem nngt0 9329

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	|- ( A e. NN -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9311	. 2 |- ( A e. NN -> A e. RR )
2		nnge1 9327	. 2 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
3		0lt1 8453	. . 3 |- 0 < 1
4		0re 8326	. . . 4 |- 0 e. RR
5		1re 8325	. . . 4 |- 1 e. RR
6		ltletr 8415	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
7	4, 5, 6	mp3an12 1368	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
8	3, 7	mpani 434	. 2 |- ( A e. RR -> ( 1 <_ A -> 0 < A ) )
9	1, 2, 8	sylc 62	1 |- ( A e. NN -> 0 < A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180   < clt 8360   <_ cle 8361   NNcn 9304

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-inn 9305

This theorem is used by:  nnap0  9333  nngt0i  9334  nn2ge  9337  nn1gt1  9338  nnsub  9343  nngt0d  9348  nnrecl  9561  nn0ge0  9588  0mnnnnn0  9595  elnnnn0b  9607  elnnz  9654  elnn0z  9657  ztri3or0  9686  nnnle0  9693  nnm1ge0  9732  gtndiv  9741  elpq  10049  elpqb  10050  nnrp  10064  nnledivrp  10167  fzo1fzo0n0  10595  ubmelfzo  10618  adddivflid  10727  flltdivnn0lt  10739  intfracq  10757  zmodcl  10781  zmodfz  10783  zmodid2  10789  m1modnnsub1  10807  expnnval  10979  nnlesq  11080  facdiv  11176  faclbnd  11179  bc0k  11194  ccatval21sw  11373  ccats1pfxeqrex  11487  dvdsval3  12558  nndivdvds  12563  moddvds  12566  evennn2n  12650  nnoddm1d2  12677  divalglemnn  12685  ndvdssub  12697  ndvdsadd  12698  modgcd  12768  sqgcd  12806  lcmgcdlem  12855  qredeu  12875  divdenle  12975  hashgcdlem  13016  oddprm  13038  pythagtriplem12  13054  pythagtriplem13  13055  pythagtriplem14  13056  pythagtriplem16  13058  pythagtriplem19  13061  pc2dvds  13109  fldivp1  13127  modsubi  13198  ballotfilemonn  13221  znnen  13289  exmidunben  13317  mulgnn  13929  mulgnegnn  13935  mulgmodid  13964  znf1o  14986  znidomb  14993  pellexlem1  16091  lgsval4a  16141  lgsne0  16157  gausslemma2dlem1a  16177  clwwlknonccat  16674