Theorem nngt0 9015

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	|- ( A e. NN -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 8997	. 2 |- ( A e. NN -> A e. RR )
2		nnge1 9013	. 2 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
3		0lt1 8153	. . 3 |- 0 < 1
4		0re 8026	. . . 4 |- 0 e. RR
5		1re 8025	. . . 4 |- 1 e. RR
6		ltletr 8116	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
7	4, 5, 6	mp3an12 1338	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
8	3, 7	mpani 430	. 2 |- ( A e. RR -> ( 1 <_ A -> 0 < A ) )
9	1, 2, 8	sylc 62	1 |- ( A e. NN -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   class class class wbr 4033   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   < clt 8061   <_ cle 8062   NNcn 8990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-cnv 4671  df-iota 5219  df-fv 5266  df-ov 5925  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-inn 8991

This theorem is referenced by:  nnap0  9019  nngt0i  9020  nn2ge  9023  nn1gt1  9024  nnsub  9029  nngt0d  9034  nnrecl  9247  nn0ge0  9274  0mnnnnn0  9281  elnnnn0b  9293  elnnz  9336  elnn0z  9339  ztri3or0  9368  nnm1ge0  9412  gtndiv  9421  elpq  9723  elpqb  9724  nnrp  9738  nnledivrp  9841  fzo1fzo0n0  10259  ubmelfzo  10276  adddivflid  10382  flltdivnn0lt  10394  intfracq  10412  zmodcl  10436  zmodfz  10438  zmodid2  10444  m1modnnsub1  10462  expnnval  10634  nnlesq  10735  facdiv  10830  faclbnd  10833  bc0k  10848  dvdsval3  11956  nndivdvds  11961  moddvds  11964  evennn2n  12048  nnoddm1d2  12075  divalglemnn  12083  ndvdssub  12095  ndvdsadd  12096  modgcd  12158  sqgcd  12196  lcmgcdlem  12245  qredeu  12265  divdenle  12365  hashgcdlem  12406  oddprm  12428  pythagtriplem12  12444  pythagtriplem13  12445  pythagtriplem14  12446  pythagtriplem16  12448  pythagtriplem19  12451  pc2dvds  12499  fldivp1  12517  modsubi  12588  znnen  12615  exmidunben  12643  mulgnn  13256  mulgnegnn  13262  mulgmodid  13291  znf1o  14207  znidomb  14214  lgsval4a  15263  lgsne0  15279  gausslemma2dlem1a  15299