Theorem nngt0 9262

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	|- ( A e. NN -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9244	. 2 |- ( A e. NN -> A e. RR )
2		nnge1 9260	. 2 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
3		0lt1 8400	. . 3 |- 0 < 1
4		0re 8274	. . . 4 |- 0 e. RR
5		1re 8273	. . . 4 |- 1 e. RR
6		ltletr 8363	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
7	4, 5, 6	mp3an12 1364	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
8	3, 7	mpani 430	. 2 |- ( A e. RR -> ( 1 <_ A -> 0 < A ) )
9	1, 2, 8	sylc 62	1 |- ( A e. NN -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2203   class class class wbr 4109   RRcr 8126   0cc0 8127   1c1 8128   < clt 8308   <_ cle 8309   NNcn 9237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-cnv 4757  df-iota 5312  df-fv 5360  df-ov 6053  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-inn 9238

This theorem is referenced by:  nnap0  9266  nngt0i  9267  nn2ge  9270  nn1gt1  9271  nnsub  9276  nngt0d  9281  nnrecl  9494  nn0ge0  9521  0mnnnnn0  9528  elnnnn0b  9540  elnnz  9587  elnn0z  9590  ztri3or0  9619  nnnle0  9626  nnm1ge0  9664  gtndiv  9673  elpq  9981  elpqb  9982  nnrp  9996  nnledivrp  10099  fzo1fzo0n0  10522  ubmelfzo  10545  adddivflid  10652  flltdivnn0lt  10664  intfracq  10682  zmodcl  10706  zmodfz  10708  zmodid2  10714  m1modnnsub1  10732  expnnval  10904  nnlesq  11005  facdiv  11100  faclbnd  11103  bc0k  11118  ccatval21sw  11293  ccats1pfxeqrex  11407  dvdsval3  12477  nndivdvds  12482  moddvds  12485  evennn2n  12569  nnoddm1d2  12596  divalglemnn  12604  ndvdssub  12616  ndvdsadd  12617  modgcd  12687  sqgcd  12725  lcmgcdlem  12774  qredeu  12794  divdenle  12894  hashgcdlem  12935  oddprm  12957  pythagtriplem12  12973  pythagtriplem13  12974  pythagtriplem14  12975  pythagtriplem16  12977  pythagtriplem19  12980  pc2dvds  13028  fldivp1  13046  modsubi  13117  ballotfilemonn  13140  znnen  13149  exmidunben  13177  mulgnn  13843  mulgnegnn  13849  mulgmodid  13878  znf1o  14799  znidomb  14806  pellexlem1  15845  lgsval4a  15895  lgsne0  15911  gausslemma2dlem1a  15931  clwwlknonccat  16428