Theorem nngt0 9061

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	|- ( A e. NN -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9043	. 2 |- ( A e. NN -> A e. RR )
2		nnge1 9059	. 2 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
3		0lt1 8199	. . 3 |- 0 < 1
4		0re 8072	. . . 4 |- 0 e. RR
5		1re 8071	. . . 4 |- 1 e. RR
6		ltletr 8162	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
7	4, 5, 6	mp3an12 1340	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
8	3, 7	mpani 430	. 2 |- ( A e. RR -> ( 1 <_ A -> 0 < A ) )
9	1, 2, 8	sylc 62	1 |- ( A e. NN -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2176   class class class wbr 4044   RRcr 7924   0cc0 7925   1c1 7926   < clt 8107   <_ cle 8108   NNcn 9036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-cnv 4683  df-iota 5232  df-fv 5279  df-ov 5947  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-inn 9037

This theorem is referenced by:  nnap0  9065  nngt0i  9066  nn2ge  9069  nn1gt1  9070  nnsub  9075  nngt0d  9080  nnrecl  9293  nn0ge0  9320  0mnnnnn0  9327  elnnnn0b  9339  elnnz  9382  elnn0z  9385  ztri3or0  9414  nnnle0  9421  nnm1ge0  9459  gtndiv  9468  elpq  9770  elpqb  9771  nnrp  9785  nnledivrp  9888  fzo1fzo0n0  10307  ubmelfzo  10329  adddivflid  10435  flltdivnn0lt  10447  intfracq  10465  zmodcl  10489  zmodfz  10491  zmodid2  10497  m1modnnsub1  10515  expnnval  10687  nnlesq  10788  facdiv  10883  faclbnd  10886  bc0k  10901  ccatval21sw  11061  dvdsval3  12102  nndivdvds  12107  moddvds  12110  evennn2n  12194  nnoddm1d2  12221  divalglemnn  12229  ndvdssub  12241  ndvdsadd  12242  modgcd  12312  sqgcd  12350  lcmgcdlem  12399  qredeu  12419  divdenle  12519  hashgcdlem  12560  oddprm  12582  pythagtriplem12  12598  pythagtriplem13  12599  pythagtriplem14  12600  pythagtriplem16  12602  pythagtriplem19  12605  pc2dvds  12653  fldivp1  12671  modsubi  12742  znnen  12769  exmidunben  12797  mulgnn  13462  mulgnegnn  13468  mulgmodid  13497  znf1o  14413  znidomb  14420  lgsval4a  15499  lgsne0  15515  gausslemma2dlem1a  15535