Theorem nngt0 9096

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	|- ( A e. NN -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9078	. 2 |- ( A e. NN -> A e. RR )
2		nnge1 9094	. 2 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
3		0lt1 8234	. . 3 |- 0 < 1
4		0re 8107	. . . 4 |- 0 e. RR
5		1re 8106	. . . 4 |- 1 e. RR
6		ltletr 8197	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
7	4, 5, 6	mp3an12 1340	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
8	3, 7	mpani 430	. 2 |- ( A e. RR -> ( 1 <_ A -> 0 < A ) )
9	1, 2, 8	sylc 62	1 |- ( A e. NN -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   RRcr 7959   0cc0 7960   1c1 7961   < clt 8142   <_ cle 8143   NNcn 9071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-cnv 4701  df-iota 5251  df-fv 5298  df-ov 5970  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-inn 9072

This theorem is referenced by:  nnap0  9100  nngt0i  9101  nn2ge  9104  nn1gt1  9105  nnsub  9110  nngt0d  9115  nnrecl  9328  nn0ge0  9355  0mnnnnn0  9362  elnnnn0b  9374  elnnz  9417  elnn0z  9420  ztri3or0  9449  nnnle0  9456  nnm1ge0  9494  gtndiv  9503  elpq  9805  elpqb  9806  nnrp  9820  nnledivrp  9923  fzo1fzo0n0  10344  ubmelfzo  10366  adddivflid  10472  flltdivnn0lt  10484  intfracq  10502  zmodcl  10526  zmodfz  10528  zmodid2  10534  m1modnnsub1  10552  expnnval  10724  nnlesq  10825  facdiv  10920  faclbnd  10923  bc0k  10938  ccatval21sw  11099  ccats1pfxeqrex  11206  dvdsval3  12217  nndivdvds  12222  moddvds  12225  evennn2n  12309  nnoddm1d2  12336  divalglemnn  12344  ndvdssub  12356  ndvdsadd  12357  modgcd  12427  sqgcd  12465  lcmgcdlem  12514  qredeu  12534  divdenle  12634  hashgcdlem  12675  oddprm  12697  pythagtriplem12  12713  pythagtriplem13  12714  pythagtriplem14  12715  pythagtriplem16  12717  pythagtriplem19  12720  pc2dvds  12768  fldivp1  12786  modsubi  12857  znnen  12884  exmidunben  12912  mulgnn  13577  mulgnegnn  13583  mulgmodid  13612  znf1o  14528  znidomb  14535  lgsval4a  15614  lgsne0  15630  gausslemma2dlem1a  15650