Theorem nngt0 8946

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	|- ( A e. NN -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 8928	. 2 |- ( A e. NN -> A e. RR )
2		nnge1 8944	. 2 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
3		0lt1 8086	. . 3 |- 0 < 1
4		0re 7959	. . . 4 |- 0 e. RR
5		1re 7958	. . . 4 |- 1 e. RR
6		ltletr 8049	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
7	4, 5, 6	mp3an12 1327	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
8	3, 7	mpani 430	. 2 |- ( A e. RR -> ( 1 <_ A -> 0 < A ) )
9	1, 2, 8	sylc 62	1 |- ( A e. NN -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   RRcr 7812   0cc0 7813   1c1 7814   < clt 7994   <_ cle 7995   NNcn 8921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-cnv 4636  df-iota 5180  df-fv 5226  df-ov 5880  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-inn 8922

This theorem is referenced by:  nnap0  8950  nngt0i  8951  nn2ge  8954  nn1gt1  8955  nnsub  8960  nngt0d  8965  nnrecl  9176  nn0ge0  9203  0mnnnnn0  9210  elnnnn0b  9222  elnnz  9265  elnn0z  9268  ztri3or0  9297  nnm1ge0  9341  gtndiv  9350  elpq  9650  elpqb  9651  nnrp  9665  nnledivrp  9768  fzo1fzo0n0  10185  ubmelfzo  10202  adddivflid  10294  flltdivnn0lt  10306  intfracq  10322  zmodcl  10346  zmodfz  10348  zmodid2  10354  m1modnnsub1  10372  expnnval  10525  nnlesq  10626  facdiv  10720  faclbnd  10723  bc0k  10738  dvdsval3  11800  nndivdvds  11805  moddvds  11808  evennn2n  11890  nnoddm1d2  11917  divalglemnn  11925  ndvdssub  11937  ndvdsadd  11938  modgcd  11994  sqgcd  12032  lcmgcdlem  12079  qredeu  12099  divdenle  12199  hashgcdlem  12240  oddprm  12261  pythagtriplem12  12277  pythagtriplem13  12278  pythagtriplem14  12279  pythagtriplem16  12281  pythagtriplem19  12284  pc2dvds  12331  fldivp1  12348  znnen  12401  exmidunben  12429  mulgnn  12994  mulgnegnn  12998  mulgmodid  13027  lgsval4a  14462  lgsne0  14478