Theorem nngt0 9264

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	|- ( A e. NN -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9246	. 2 |- ( A e. NN -> A e. RR )
2		nnge1 9262	. 2 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
3		0lt1 8402	. . 3 |- 0 < 1
4		0re 8276	. . . 4 |- 0 e. RR
5		1re 8275	. . . 4 |- 1 e. RR
6		ltletr 8365	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
7	4, 5, 6	mp3an12 1364	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
8	3, 7	mpani 430	. 2 |- ( A e. RR -> ( 1 <_ A -> 0 < A ) )
9	1, 2, 8	sylc 62	1 |- ( A e. NN -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2205   class class class wbr 4111   RRcr 8128   0cc0 8129   1c1 8130   < clt 8310   <_ cle 8311   NNcn 9239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1re 8223  ax-addrcl 8226  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-xp 4757  df-cnv 4759  df-iota 5314  df-fv 5362  df-ov 6055  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-inn 9240

This theorem is referenced by:  nnap0  9268  nngt0i  9269  nn2ge  9272  nn1gt1  9273  nnsub  9278  nngt0d  9283  nnrecl  9496  nn0ge0  9523  0mnnnnn0  9530  elnnnn0b  9542  elnnz  9589  elnn0z  9592  ztri3or0  9621  nnnle0  9628  nnm1ge0  9667  gtndiv  9676  elpq  9984  elpqb  9985  nnrp  9999  nnledivrp  10102  fzo1fzo0n0  10526  ubmelfzo  10549  adddivflid  10656  flltdivnn0lt  10668  intfracq  10686  zmodcl  10710  zmodfz  10712  zmodid2  10718  m1modnnsub1  10736  expnnval  10908  nnlesq  11009  facdiv  11104  faclbnd  11107  bc0k  11122  ccatval21sw  11297  ccats1pfxeqrex  11411  dvdsval3  12481  nndivdvds  12486  moddvds  12489  evennn2n  12573  nnoddm1d2  12600  divalglemnn  12608  ndvdssub  12620  ndvdsadd  12621  modgcd  12691  sqgcd  12729  lcmgcdlem  12778  qredeu  12798  divdenle  12898  hashgcdlem  12939  oddprm  12961  pythagtriplem12  12977  pythagtriplem13  12978  pythagtriplem14  12979  pythagtriplem16  12981  pythagtriplem19  12984  pc2dvds  13032  fldivp1  13050  modsubi  13121  ballotfilemonn  13144  znnen  13166  exmidunben  13194  mulgnn  13860  mulgnegnn  13866  mulgmodid  13895  znf1o  14816  znidomb  14823  pellexlem1  15862  lgsval4a  15912  lgsne0  15928  gausslemma2dlem1a  15948  clwwlknonccat  16445