Theorem nngt0 9146

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	|- ( A e. NN -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9128	. 2 |- ( A e. NN -> A e. RR )
2		nnge1 9144	. 2 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
3		0lt1 8284	. . 3 |- 0 < 1
4		0re 8157	. . . 4 |- 0 e. RR
5		1re 8156	. . . 4 |- 1 e. RR
6		ltletr 8247	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
7	4, 5, 6	mp3an12 1361	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
8	3, 7	mpani 430	. 2 |- ( A e. RR -> ( 1 <_ A -> 0 < A ) )
9	1, 2, 8	sylc 62	1 |- ( A e. NN -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   RRcr 8009   0cc0 8010   1c1 8011   < clt 8192   <_ cle 8193   NNcn 9121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6010  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-inn 9122

This theorem is referenced by:  nnap0  9150  nngt0i  9151  nn2ge  9154  nn1gt1  9155  nnsub  9160  nngt0d  9165  nnrecl  9378  nn0ge0  9405  0mnnnnn0  9412  elnnnn0b  9424  elnnz  9467  elnn0z  9470  ztri3or0  9499  nnnle0  9506  nnm1ge0  9544  gtndiv  9553  elpq  9856  elpqb  9857  nnrp  9871  nnledivrp  9974  fzo1fzo0n0  10395  ubmelfzo  10418  adddivflid  10524  flltdivnn0lt  10536  intfracq  10554  zmodcl  10578  zmodfz  10580  zmodid2  10586  m1modnnsub1  10604  expnnval  10776  nnlesq  10877  facdiv  10972  faclbnd  10975  bc0k  10990  ccatval21sw  11153  ccats1pfxeqrex  11263  dvdsval3  12318  nndivdvds  12323  moddvds  12326  evennn2n  12410  nnoddm1d2  12437  divalglemnn  12445  ndvdssub  12457  ndvdsadd  12458  modgcd  12528  sqgcd  12566  lcmgcdlem  12615  qredeu  12635  divdenle  12735  hashgcdlem  12776  oddprm  12798  pythagtriplem12  12814  pythagtriplem13  12815  pythagtriplem14  12816  pythagtriplem16  12818  pythagtriplem19  12821  pc2dvds  12869  fldivp1  12887  modsubi  12958  znnen  12985  exmidunben  13013  mulgnn  13679  mulgnegnn  13685  mulgmodid  13714  znf1o  14631  znidomb  14638  lgsval4a  15717  lgsne0  15733  gausslemma2dlem1a  15753