Theorem nngt0 9158

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	|- ( A e. NN -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9140	. 2 |- ( A e. NN -> A e. RR )
2		nnge1 9156	. 2 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
3		0lt1 8296	. . 3 |- 0 < 1
4		0re 8169	. . . 4 |- 0 e. RR
5		1re 8168	. . . 4 |- 1 e. RR
6		ltletr 8259	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
7	4, 5, 6	mp3an12 1361	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
8	3, 7	mpani 430	. 2 |- ( A e. RR -> ( 1 <_ A -> 0 < A ) )
9	1, 2, 8	sylc 62	1 |- ( A e. NN -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   class class class wbr 4086   RRcr 8021   0cc0 8022   1c1 8023   < clt 8204   <_ cle 8205   NNcn 9133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1re 8116  ax-addrcl 8119  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-cnv 4731  df-iota 5284  df-fv 5332  df-ov 6016  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-inn 9134

This theorem is referenced by:  nnap0  9162  nngt0i  9163  nn2ge  9166  nn1gt1  9167  nnsub  9172  nngt0d  9177  nnrecl  9390  nn0ge0  9417  0mnnnnn0  9424  elnnnn0b  9436  elnnz  9479  elnn0z  9482  ztri3or0  9511  nnnle0  9518  nnm1ge0  9556  gtndiv  9565  elpq  9873  elpqb  9874  nnrp  9888  nnledivrp  9991  fzo1fzo0n0  10412  ubmelfzo  10435  adddivflid  10542  flltdivnn0lt  10554  intfracq  10572  zmodcl  10596  zmodfz  10598  zmodid2  10604  m1modnnsub1  10622  expnnval  10794  nnlesq  10895  facdiv  10990  faclbnd  10993  bc0k  11008  ccatval21sw  11172  ccats1pfxeqrex  11286  dvdsval3  12342  nndivdvds  12347  moddvds  12350  evennn2n  12434  nnoddm1d2  12461  divalglemnn  12469  ndvdssub  12481  ndvdsadd  12482  modgcd  12552  sqgcd  12590  lcmgcdlem  12639  qredeu  12659  divdenle  12759  hashgcdlem  12800  oddprm  12822  pythagtriplem12  12838  pythagtriplem13  12839  pythagtriplem14  12840  pythagtriplem16  12842  pythagtriplem19  12845  pc2dvds  12893  fldivp1  12911  modsubi  12982  znnen  13009  exmidunben  13037  mulgnn  13703  mulgnegnn  13709  mulgmodid  13738  znf1o  14655  znidomb  14662  lgsval4a  15741  lgsne0  15757  gausslemma2dlem1a  15777  clwwlknonccat  16228