ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nngt0 Unicode version

Theorem nngt0 8705
Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
nngt0  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )

Proof of Theorem nngt0
StepHypRef Expression
1 nnre 8687 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
2 nnge1 8703 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  1  <_  A )
3 0lt1 7853 . . 3  |-  0  <  1
4 0re 7730 . . . 4  |-  0  e.  RR
5 1re 7729 . . . 4  |-  1  e.  RR
6 ltletr 7817 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  A )  ->  0  <  A
) )
74, 5, 6mp3an12 1288 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  A )  ->  0  <  A
) )
83, 7mpani 424 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  <_  A  ->  0  <  A ) )
91, 2, 8sylc 62 1  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1463   class class class wbr 3897   RRcr 7583   0cc0 7584   1c1 7585    < clt 7764    <_ cle 7765   NNcn 8680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1re 7678  ax-addrcl 7681  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-xp 4513  df-cnv 4515  df-iota 5056  df-fv 5099  df-ov 5743  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-inn 8681
This theorem is referenced by:  nnap0  8709  nngt0i  8710  nn2ge  8713  nn1gt1  8714  nnsub  8719  nngt0d  8724  nnrecl  8929  nn0ge0  8956  0mnnnnn0  8963  elnnnn0b  8975  elnnz  9018  elnn0z  9021  ztri3or0  9050  nnm1ge0  9091  gtndiv  9100  nnrp  9402  nnledivrp  9504  fzo1fzo0n0  9911  ubmelfzo  9928  adddivflid  10016  flltdivnn0lt  10028  intfracq  10044  zmodcl  10068  zmodfz  10070  zmodid2  10076  m1modnnsub1  10094  expnnval  10247  nnlesq  10347  facdiv  10435  faclbnd  10438  bc0k  10453  dvdsval3  11404  nndivdvds  11406  moddvds  11409  evennn2n  11487  nnoddm1d2  11514  divalglemnn  11522  ndvdssub  11534  ndvdsadd  11535  modgcd  11586  sqgcd  11624  lcmgcdlem  11665  qredeu  11685  divdenle  11781  hashgcdlem  11809  znnen  11817  exmidunben  11845
  Copyright terms: Public domain W3C validator