Theorem nngt0 9167

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	|- ( A e. NN -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9149	. 2 |- ( A e. NN -> A e. RR )
2		nnge1 9165	. 2 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
3		0lt1 8305	. . 3 |- 0 < 1
4		0re 8178	. . . 4 |- 0 e. RR
5		1re 8177	. . . 4 |- 1 e. RR
6		ltletr 8268	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
7	4, 5, 6	mp3an12 1363	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
8	3, 7	mpani 430	. 2 |- ( A e. RR -> ( 1 <_ A -> 0 < A ) )
9	1, 2, 8	sylc 62	1 |- ( A e. NN -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   RRcr 8030   0cc0 8031   1c1 8032   < clt 8213   <_ cle 8214   NNcn 9142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6020  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-inn 9143

This theorem is referenced by:  nnap0  9171  nngt0i  9172  nn2ge  9175  nn1gt1  9176  nnsub  9181  nngt0d  9186  nnrecl  9399  nn0ge0  9426  0mnnnnn0  9433  elnnnn0b  9445  elnnz  9488  elnn0z  9491  ztri3or0  9520  nnnle0  9527  nnm1ge0  9565  gtndiv  9574  elpq  9882  elpqb  9883  nnrp  9897  nnledivrp  10000  fzo1fzo0n0  10421  ubmelfzo  10444  adddivflid  10551  flltdivnn0lt  10563  intfracq  10581  zmodcl  10605  zmodfz  10607  zmodid2  10613  m1modnnsub1  10631  expnnval  10803  nnlesq  10904  facdiv  10999  faclbnd  11002  bc0k  11017  ccatval21sw  11181  ccats1pfxeqrex  11295  dvdsval3  12351  nndivdvds  12356  moddvds  12359  evennn2n  12443  nnoddm1d2  12470  divalglemnn  12478  ndvdssub  12490  ndvdsadd  12491  modgcd  12561  sqgcd  12599  lcmgcdlem  12648  qredeu  12668  divdenle  12768  hashgcdlem  12809  oddprm  12831  pythagtriplem12  12847  pythagtriplem13  12848  pythagtriplem14  12849  pythagtriplem16  12851  pythagtriplem19  12854  pc2dvds  12902  fldivp1  12920  modsubi  12991  znnen  13018  exmidunben  13046  mulgnn  13712  mulgnegnn  13718  mulgmodid  13747  znf1o  14664  znidomb  14671  lgsval4a  15750  lgsne0  15766  gausslemma2dlem1a  15786  clwwlknonccat  16283