Theorem nngt0 9331

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	|- ( A e. NN -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9313	. 2 |- ( A e. NN -> A e. RR )
2		nnge1 9329	. 2 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
3		0lt1 8454	. . 3 |- 0 < 1
4		0re 8326	. . . 4 |- 0 e. RR
5		1re 8325	. . . 4 |- 1 e. RR
6		ltletr 8415	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
7	4, 5, 6	mp3an12 1368	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
8	3, 7	mpani 434	. 2 |- ( A e. RR -> ( 1 <_ A -> 0 < A ) )
9	1, 2, 8	sylc 62	1 |- ( A e. NN -> 0 < A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180   < clt 8360   <_ cle 8361   NNcn 9306

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-inn 9307

This theorem is used by:  nnap0  9335  nngt0i  9336  nn2ge  9339  nn1gt1  9340  nnsub  9345  nngt0d  9350  nnrecl  9565  nn0ge0  9592  0mnnnnn0  9599  elnnnn0b  9611  elnnz  9658  elnn0z  9661  ztri3or0  9690  nnnle0  9697  nnm1ge0  9736  gtndiv  9745  elpq  10059  elpqb  10060  nnrp  10074  nnledivrp  10177  fzo1fzo0n0  10605  ubmelfzo  10628  adddivflid  10740  flltdivnn0lt  10752  intfracq  10770  zmodcl  10794  zmodfz  10796  zmodid2  10802  m1modnnsub1  10820  expnnval  10992  nnlesq  11093  facdiv  11190  faclbnd  11193  bc0k  11208  ccatval21sw  11387  ccats1pfxeqrex  11501  dvdsval3  12574  nndivdvds  12579  moddvds  12582  evennn2n  12666  nnoddm1d2  12693  divalglemnn  12701  ndvdssub  12713  ndvdsadd  12714  modgcd  12784  sqgcd  12822  lcmgcdlem  12871  qredeu  12891  divdenle  12993  hashgcdlem  13036  oddprm  13058  pythagtriplem12  13074  pythagtriplem13  13075  pythagtriplem14  13076  pythagtriplem16  13078  pythagtriplem19  13081  pc2dvds  13129  fldivp1  13147  modsubi  13219  ballotfilemonn  13270  znnen  13338  exmidunben  13366  mulgnn  13978  mulgnegnn  13984  mulgmodid  14013  znf1o  15035  znidomb  15042  pellexlem1  16148  bcmono  16202  bposlem5  16213  lgsval4a  16239  lgsne0  16255  gausslemma2dlem1a  16275  clwwlknonccat  16772