Theorem nngt0 9018

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	|- ( A e. NN -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9000	. 2 |- ( A e. NN -> A e. RR )
2		nnge1 9016	. 2 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
3		0lt1 8156	. . 3 |- 0 < 1
4		0re 8029	. . . 4 |- 0 e. RR
5		1re 8028	. . . 4 |- 1 e. RR
6		ltletr 8119	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
7	4, 5, 6	mp3an12 1338	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
8	3, 7	mpani 430	. 2 |- ( A e. RR -> ( 1 <_ A -> 0 < A ) )
9	1, 2, 8	sylc 62	1 |- ( A e. NN -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   RRcr 7881   0cc0 7882   1c1 7883   < clt 8064   <_ cle 8065   NNcn 8993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1re 7976  ax-addrcl 7979  ax-0lt1 7988  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-ltadd 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5926  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-inn 8994

This theorem is referenced by:  nnap0  9022  nngt0i  9023  nn2ge  9026  nn1gt1  9027  nnsub  9032  nngt0d  9037  nnrecl  9250  nn0ge0  9277  0mnnnnn0  9284  elnnnn0b  9296  elnnz  9339  elnn0z  9342  ztri3or0  9371  nnm1ge0  9415  gtndiv  9424  elpq  9726  elpqb  9727  nnrp  9741  nnledivrp  9844  fzo1fzo0n0  10262  ubmelfzo  10279  adddivflid  10385  flltdivnn0lt  10397  intfracq  10415  zmodcl  10439  zmodfz  10441  zmodid2  10447  m1modnnsub1  10465  expnnval  10637  nnlesq  10738  facdiv  10833  faclbnd  10836  bc0k  10851  dvdsval3  11959  nndivdvds  11964  moddvds  11967  evennn2n  12051  nnoddm1d2  12078  divalglemnn  12086  ndvdssub  12098  ndvdsadd  12099  modgcd  12169  sqgcd  12207  lcmgcdlem  12256  qredeu  12276  divdenle  12376  hashgcdlem  12417  oddprm  12439  pythagtriplem12  12455  pythagtriplem13  12456  pythagtriplem14  12457  pythagtriplem16  12459  pythagtriplem19  12462  pc2dvds  12510  fldivp1  12528  modsubi  12599  znnen  12626  exmidunben  12654  mulgnn  13282  mulgnegnn  13288  mulgmodid  13317  znf1o  14233  znidomb  14240  lgsval4a  15289  lgsne0  15305  gausslemma2dlem1a  15325