Theorem nngt0 8769

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	|- ( A e. NN -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 8751	. 2 |- ( A e. NN -> A e. RR )
2		nnge1 8767	. 2 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
3		0lt1 7913	. . 3 |- 0 < 1
4		0re 7790	. . . 4 |- 0 e. RR
5		1re 7789	. . . 4 |- 1 e. RR
6		ltletr 7877	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
7	4, 5, 6	mp3an12 1306	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
8	3, 7	mpani 427	. 2 |- ( A e. RR -> ( 1 <_ A -> 0 < A ) )
9	1, 2, 8	sylc 62	1 |- ( A e. NN -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   RRcr 7643   0cc0 7644   1c1 7645   < clt 7824   <_ cle 7825   NNcn 8744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1re 7738  ax-addrcl 7741  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-cnv 4555  df-iota 5096  df-fv 5139  df-ov 5785  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-inn 8745

This theorem is referenced by:  nnap0  8773  nngt0i  8774  nn2ge  8777  nn1gt1  8778  nnsub  8783  nngt0d  8788  nnrecl  8999  nn0ge0  9026  0mnnnnn0  9033  elnnnn0b  9045  elnnz  9088  elnn0z  9091  ztri3or0  9120  nnm1ge0  9161  gtndiv  9170  elpq  9467  elpqb  9468  nnrp  9480  nnledivrp  9583  fzo1fzo0n0  9991  ubmelfzo  10008  adddivflid  10096  flltdivnn0lt  10108  intfracq  10124  zmodcl  10148  zmodfz  10150  zmodid2  10156  m1modnnsub1  10174  expnnval  10327  nnlesq  10427  facdiv  10516  faclbnd  10519  bc0k  10534  dvdsval3  11533  nndivdvds  11535  moddvds  11538  evennn2n  11616  nnoddm1d2  11643  divalglemnn  11651  ndvdssub  11663  ndvdsadd  11664  modgcd  11715  sqgcd  11753  lcmgcdlem  11794  qredeu  11814  divdenle  11911  hashgcdlem  11939  znnen  11947  exmidunben  11975