Theorem nngt0 9308

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	|- ( A e. NN -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9290	. 2 |- ( A e. NN -> A e. RR )
2		nnge1 9306	. 2 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
3		0lt1 8443	. . 3 |- 0 < 1
4		0re 8316	. . . 4 |- 0 e. RR
5		1re 8315	. . . 4 |- 1 e. RR
6		ltletr 8405	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
7	4, 5, 6	mp3an12 1368	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
8	3, 7	mpani 434	. 2 |- ( A e. RR -> ( 1 <_ A -> 0 < A ) )
9	1, 2, 8	sylc 62	1 |- ( A e. NN -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   < clt 8350   <_ cle 8351   NNcn 9283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-cnv 4777  df-iota 5332  df-fv 5380  df-ov 6078  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-inn 9284

This theorem is referenced by:  nnap0  9312  nngt0i  9313  nn2ge  9316  nn1gt1  9317  nnsub  9322  nngt0d  9327  nnrecl  9540  nn0ge0  9567  0mnnnnn0  9574  elnnnn0b  9586  elnnz  9633  elnn0z  9636  ztri3or0  9665  nnnle0  9672  nnm1ge0  9711  gtndiv  9720  elpq  10028  elpqb  10029  nnrp  10043  nnledivrp  10146  fzo1fzo0n0  10573  ubmelfzo  10596  adddivflid  10705  flltdivnn0lt  10717  intfracq  10735  zmodcl  10759  zmodfz  10761  zmodid2  10767  m1modnnsub1  10785  expnnval  10957  nnlesq  11058  facdiv  11154  faclbnd  11157  bc0k  11172  ccatval21sw  11351  ccats1pfxeqrex  11465  dvdsval3  12536  nndivdvds  12541  moddvds  12544  evennn2n  12628  nnoddm1d2  12655  divalglemnn  12663  ndvdssub  12675  ndvdsadd  12676  modgcd  12746  sqgcd  12784  lcmgcdlem  12833  qredeu  12853  divdenle  12953  hashgcdlem  12994  oddprm  13016  pythagtriplem12  13032  pythagtriplem13  13033  pythagtriplem14  13034  pythagtriplem16  13036  pythagtriplem19  13039  pc2dvds  13087  fldivp1  13105  modsubi  13176  ballotfilemonn  13199  znnen  13267  exmidunben  13295  mulgnn  13906  mulgnegnn  13912  mulgmodid  13941  znf1o  14958  znidomb  14965  pellexlem1  16005  lgsval4a  16055  lgsne0  16071  gausslemma2dlem1a  16091  clwwlknonccat  16588