Theorem nngt0 9227

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	|- ( A e. NN -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9209	. 2 |- ( A e. NN -> A e. RR )
2		nnge1 9225	. 2 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
3		0lt1 8365	. . 3 |- 0 < 1
4		0re 8239	. . . 4 |- 0 e. RR
5		1re 8238	. . . 4 |- 1 e. RR
6		ltletr 8328	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
7	4, 5, 6	mp3an12 1364	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
8	3, 7	mpani 430	. 2 |- ( A e. RR -> ( 1 <_ A -> 0 < A ) )
9	1, 2, 8	sylc 62	1 |- ( A e. NN -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   RRcr 8091   0cc0 8092   1c1 8093   < clt 8273   <_ cle 8274   NNcn 9202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1re 8186  ax-addrcl 8189  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-inn 9203

This theorem is referenced by:  nnap0  9231  nngt0i  9232  nn2ge  9235  nn1gt1  9236  nnsub  9241  nngt0d  9246  nnrecl  9459  nn0ge0  9486  0mnnnnn0  9493  elnnnn0b  9505  elnnz  9550  elnn0z  9553  ztri3or0  9582  nnnle0  9589  nnm1ge0  9627  gtndiv  9636  elpq  9944  elpqb  9945  nnrp  9959  nnledivrp  10062  fzo1fzo0n0  10485  ubmelfzo  10508  adddivflid  10615  flltdivnn0lt  10627  intfracq  10645  zmodcl  10669  zmodfz  10671  zmodid2  10677  m1modnnsub1  10695  expnnval  10867  nnlesq  10968  facdiv  11063  faclbnd  11066  bc0k  11081  ccatval21sw  11248  ccats1pfxeqrex  11362  dvdsval3  12432  nndivdvds  12437  moddvds  12440  evennn2n  12524  nnoddm1d2  12551  divalglemnn  12559  ndvdssub  12571  ndvdsadd  12572  modgcd  12642  sqgcd  12680  lcmgcdlem  12729  qredeu  12749  divdenle  12849  hashgcdlem  12890  oddprm  12912  pythagtriplem12  12928  pythagtriplem13  12929  pythagtriplem14  12930  pythagtriplem16  12932  pythagtriplem19  12935  pc2dvds  12983  fldivp1  13001  modsubi  13072  znnen  13099  exmidunben  13127  mulgnn  13793  mulgnegnn  13799  mulgmodid  13828  znf1o  14747  znidomb  14754  pellexlem1  15791  lgsval4a  15841  lgsne0  15857  gausslemma2dlem1a  15877  clwwlknonccat  16374