Theorem nngt0 8961

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	|- ( A e. NN -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 8943	. 2 |- ( A e. NN -> A e. RR )
2		nnge1 8959	. 2 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
3		0lt1 8101	. . 3 |- 0 < 1
4		0re 7974	. . . 4 |- 0 e. RR
5		1re 7973	. . . 4 |- 1 e. RR
6		ltletr 8064	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
7	4, 5, 6	mp3an12 1337	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
8	3, 7	mpani 430	. 2 |- ( A e. RR -> ( 1 <_ A -> 0 < A ) )
9	1, 2, 8	sylc 62	1 |- ( A e. NN -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2159   class class class wbr 4017   RRcr 7827   0cc0 7828   1c1 7829   < clt 8009   <_ cle 8010   NNcn 8936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1re 7922  ax-addrcl 7925  ax-0lt1 7934  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-ltadd 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-rab 2476  df-v 2753  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-br 4018  df-opab 4079  df-xp 4646  df-cnv 4648  df-iota 5192  df-fv 5238  df-ov 5893  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-inn 8937

This theorem is referenced by:  nnap0  8965  nngt0i  8966  nn2ge  8969  nn1gt1  8970  nnsub  8975  nngt0d  8980  nnrecl  9191  nn0ge0  9218  0mnnnnn0  9225  elnnnn0b  9237  elnnz  9280  elnn0z  9283  ztri3or0  9312  nnm1ge0  9356  gtndiv  9365  elpq  9665  elpqb  9666  nnrp  9680  nnledivrp  9783  fzo1fzo0n0  10200  ubmelfzo  10217  adddivflid  10309  flltdivnn0lt  10321  intfracq  10337  zmodcl  10361  zmodfz  10363  zmodid2  10369  m1modnnsub1  10387  expnnval  10540  nnlesq  10641  facdiv  10735  faclbnd  10738  bc0k  10753  dvdsval3  11815  nndivdvds  11820  moddvds  11823  evennn2n  11905  nnoddm1d2  11932  divalglemnn  11940  ndvdssub  11952  ndvdsadd  11953  modgcd  12009  sqgcd  12047  lcmgcdlem  12094  qredeu  12114  divdenle  12214  hashgcdlem  12255  oddprm  12276  pythagtriplem12  12292  pythagtriplem13  12293  pythagtriplem14  12294  pythagtriplem16  12296  pythagtriplem19  12299  pc2dvds  12346  fldivp1  12363  znnen  12416  exmidunben  12444  mulgnn  13033  mulgnegnn  13037  mulgmodid  13066  lgsval4a  14806  lgsne0  14822