Theorem nngt0 8878

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	|- ( A e. NN -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 8860	. 2 |- ( A e. NN -> A e. RR )
2		nnge1 8876	. 2 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
3		0lt1 8021	. . 3 |- 0 < 1
4		0re 7895	. . . 4 |- 0 e. RR
5		1re 7894	. . . 4 |- 1 e. RR
6		ltletr 7984	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
7	4, 5, 6	mp3an12 1317	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
8	3, 7	mpani 427	. 2 |- ( A e. RR -> ( 1 <_ A -> 0 < A ) )
9	1, 2, 8	sylc 62	1 |- ( A e. NN -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2136   class class class wbr 3981   RRcr 7748   0cc0 7749   1c1 7750   < clt 7929   <_ cle 7930   NNcn 8853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1re 7843  ax-addrcl 7846  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-rab 2452  df-v 2727  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-br 3982  df-opab 4043  df-xp 4609  df-cnv 4611  df-iota 5152  df-fv 5195  df-ov 5844  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-inn 8854

This theorem is referenced by:  nnap0  8882  nngt0i  8883  nn2ge  8886  nn1gt1  8887  nnsub  8892  nngt0d  8897  nnrecl  9108  nn0ge0  9135  0mnnnnn0  9142  elnnnn0b  9154  elnnz  9197  elnn0z  9200  ztri3or0  9229  nnm1ge0  9273  gtndiv  9282  elpq  9582  elpqb  9583  nnrp  9595  nnledivrp  9698  fzo1fzo0n0  10114  ubmelfzo  10131  adddivflid  10223  flltdivnn0lt  10235  intfracq  10251  zmodcl  10275  zmodfz  10277  zmodid2  10283  m1modnnsub1  10301  expnnval  10454  nnlesq  10554  facdiv  10647  faclbnd  10650  bc0k  10665  dvdsval3  11727  nndivdvds  11732  moddvds  11735  evennn2n  11816  nnoddm1d2  11843  divalglemnn  11851  ndvdssub  11863  ndvdsadd  11864  modgcd  11920  sqgcd  11958  lcmgcdlem  12005  qredeu  12025  divdenle  12125  hashgcdlem  12166  oddprm  12187  pythagtriplem12  12203  pythagtriplem13  12204  pythagtriplem14  12205  pythagtriplem16  12207  pythagtriplem19  12210  pc2dvds  12257  fldivp1  12274  znnen  12327  exmidunben  12355  lgsval4a  13523  lgsne0  13539