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Theorem nnsub 8719
Description: Subtraction of positive integers. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnsub  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  <  B  <->  ( B  -  A )  e.  NN ) )

Proof of Theorem nnsub
Dummy variables  z  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3901 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
z  <  x  <->  z  <  1 ) )
2 oveq1 5747 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
x  -  z )  =  ( 1  -  z ) )
32eleq1d 2184 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( x  -  z
)  e.  NN  <->  ( 1  -  z )  e.  NN ) )
41, 3imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <-> 
( z  <  1  ->  ( 1  -  z
)  e.  NN ) ) )
54ralbidv 2412 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <->  A. z  e.  NN  ( z  <  1  ->  ( 1  -  z
)  e.  NN ) ) )
6 breq2 3901 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
z  <  x  <->  z  <  y ) )
7 oveq1 5747 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  -  z )  =  ( y  -  z ) )
87eleq1d 2184 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  -  z
)  e.  NN  <->  ( y  -  z )  e.  NN ) )
96, 8imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <-> 
( z  <  y  ->  ( y  -  z
)  e.  NN ) ) )
109ralbidv 2412 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <->  A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  ( y  -  z
)  e.  NN ) ) )
11 breq2 3901 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
z  <  x  <->  z  <  ( y  +  1 ) ) )
12 oveq1 5747 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  -  z )  =  ( ( y  +  1 )  -  z ) )
1312eleq1d 2184 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( x  -  z
)  e.  NN  <->  ( (
y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) )
1411, 13imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <-> 
( z  <  (
y  +  1 )  ->  ( ( y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) )
1514ralbidv 2412 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <->  A. z  e.  NN  ( z  <  (
y  +  1 )  ->  ( ( y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) )
16 breq2 3901 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
z  <  x  <->  z  <  B ) )
17 oveq1 5747 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
x  -  z )  =  ( B  -  z ) )
1817eleq1d 2184 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
( x  -  z
)  e.  NN  <->  ( B  -  z )  e.  NN ) )
1916, 18imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <-> 
( z  <  B  ->  ( B  -  z
)  e.  NN ) ) )
2019ralbidv 2412 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <->  A. z  e.  NN  ( z  <  B  ->  ( B  -  z
)  e.  NN ) ) )
21 nnnlt1 8706 . . . . . 6  |-  ( z  e.  NN  ->  -.  z  <  1 )
2221pm2.21d 591 . . . . 5  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  <  1  ->  ( 1  -  z )  e.  NN ) )
2322rgen 2460 . . . 4  |-  A. z  e.  NN  ( z  <  1  ->  ( 1  -  z )  e.  NN )
24 breq1 3900 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
z  <  y  <->  x  <  y ) )
25 oveq2 5748 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
y  -  z )  =  ( y  -  x ) )
2625eleq1d 2184 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
( y  -  z
)  e.  NN  <->  ( y  -  x )  e.  NN ) )
2724, 26imbi12d 233 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  <  y  ->  ( y  -  z
)  e.  NN )  <-> 
( x  <  y  ->  ( y  -  x
)  e.  NN ) ) )
2827cbvralv 2629 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  NN  (
z  <  y  ->  ( y  -  z )  e.  NN )  <->  A. x  e.  NN  ( x  < 
y  ->  ( y  -  x )  e.  NN ) )
29 nncn 8688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
3029adantr 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  y  e.  CC )
31 ax-1cn 7677 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
32 pncan 7932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( y  +  1 )  -  1 )  =  y )
3330, 31, 32sylancl 407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( y  +  1 )  -  1 )  =  y )
34 simpl 108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  y  e.  NN )
3533, 34eqeltrd 2192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( y  +  1 )  -  1 )  e.  NN )
36 oveq2 5748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  1  ->  (
( y  +  1 )  -  z )  =  ( ( y  +  1 )  - 
1 ) )
3736eleq1d 2184 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  1  ->  (
( ( y  +  1 )  -  z
)  e.  NN  <->  ( (
y  +  1 )  -  1 )  e.  NN ) )
3835, 37syl5ibrcom 156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  =  1  ->  ( ( y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) )
3938a1dd 48 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  =  1  ->  ( z  < 
( y  +  1 )  ->  ( (
y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) )
4039a1dd 48 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  =  1  ->  ( A. x  e.  NN  ( x  < 
y  ->  ( y  -  x )  e.  NN )  ->  ( z  < 
( y  +  1 )  ->  ( (
y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) ) )
41 breq1 3900 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( z  - 
1 )  ->  (
x  <  y  <->  ( z  -  1 )  < 
y ) )
42 oveq2 5748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( z  - 
1 )  ->  (
y  -  x )  =  ( y  -  ( z  -  1 ) ) )
4342eleq1d 2184 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( z  - 
1 )  ->  (
( y  -  x
)  e.  NN  <->  ( y  -  ( z  - 
1 ) )  e.  NN ) )
4441, 43imbi12d 233 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( z  - 
1 )  ->  (
( x  <  y  ->  ( y  -  x
)  e.  NN )  <-> 
( ( z  - 
1 )  <  y  ->  ( y  -  (
z  -  1 ) )  e.  NN ) ) )
4544rspcv 2757 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  -  1 )  e.  NN  ->  ( A. x  e.  NN  ( x  <  y  -> 
( y  -  x
)  e.  NN )  ->  ( ( z  -  1 )  < 
y  ->  ( y  -  ( z  - 
1 ) )  e.  NN ) ) )
46 nnre 8687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  RR )
47 nnre 8687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
48 1re 7729 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
49 ltsubadd 8158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  -  1 )  <  y  <->  z  <  ( y  +  1 ) ) )
5048, 49mp3an2 1286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( z  - 
1 )  <  y  <->  z  <  ( y  +  1 ) ) )
5146, 47, 50syl2anr 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( z  - 
1 )  <  y  <->  z  <  ( y  +  1 ) ) )
52 nncn 8688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  CC )
53 subsub3 7958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
y  -  ( z  -  1 ) )  =  ( ( y  +  1 )  -  z ) )
5431, 53mp3an3 1287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( y  -  (
z  -  1 ) )  =  ( ( y  +  1 )  -  z ) )
5529, 52, 54syl2an 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( y  -  (
z  -  1 ) )  =  ( ( y  +  1 )  -  z ) )
5655eleq1d 2184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( y  -  ( z  -  1 ) )  e.  NN  <->  ( ( y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) )
5751, 56imbi12d 233 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( ( z  -  1 )  < 
y  ->  ( y  -  ( z  - 
1 ) )  e.  NN )  <->  ( z  <  ( y  +  1 )  ->  ( (
y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) )
5857biimpd 143 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( ( z  -  1 )  < 
y  ->  ( y  -  ( z  - 
1 ) )  e.  NN )  ->  (
z  <  ( y  +  1 )  -> 
( ( y  +  1 )  -  z
)  e.  NN ) ) )
5945, 58syl9r 73 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( z  - 
1 )  e.  NN  ->  ( A. x  e.  NN  ( x  < 
y  ->  ( y  -  x )  e.  NN )  ->  ( z  < 
( y  +  1 )  ->  ( (
y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) ) )
60 nn1m1nn 8698 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  =  1  \/  ( z  -  1 )  e.  NN ) )
6160adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  =  1  \/  ( z  - 
1 )  e.  NN ) )
6240, 59, 61mpjaod 690 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( A. x  e.  NN  ( x  < 
y  ->  ( y  -  x )  e.  NN )  ->  ( z  < 
( y  +  1 )  ->  ( (
y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) )
6362ralrimdva 2487 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. x  e.  NN  ( x  <  y  -> 
( y  -  x
)  e.  NN )  ->  A. z  e.  NN  ( z  <  (
y  +  1 )  ->  ( ( y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) )
6428, 63syl5bi 151 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  ( y  -  z
)  e.  NN )  ->  A. z  e.  NN  ( z  <  (
y  +  1 )  ->  ( ( y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) )
655, 10, 15, 20, 23, 64nnind 8696 . . 3  |-  ( B  e.  NN  ->  A. z  e.  NN  ( z  < 
B  ->  ( B  -  z )  e.  NN ) )
66 breq1 3900 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
z  <  B  <->  A  <  B ) )
67 oveq2 5748 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  ( B  -  z )  =  ( B  -  A ) )
6867eleq1d 2184 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
( B  -  z
)  e.  NN  <->  ( B  -  A )  e.  NN ) )
6966, 68imbi12d 233 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  (
( z  <  B  ->  ( B  -  z
)  e.  NN )  <-> 
( A  <  B  ->  ( B  -  A
)  e.  NN ) ) )
7069rspcva 2759 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A. z  e.  NN  (
z  <  B  ->  ( B  -  z )  e.  NN ) )  ->  ( A  < 
B  ->  ( B  -  A )  e.  NN ) )
7165, 70sylan2 282 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  <  B  ->  ( B  -  A
)  e.  NN ) )
72 nngt0 8705 . . 3  |-  ( ( B  -  A )  e.  NN  ->  0  <  ( B  -  A
) )
73 nnre 8687 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
74 nnre 8687 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
75 posdif 8181 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
7673, 74, 75syl2an 285 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
7772, 76syl5ibr 155 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( B  -  A )  e.  NN  ->  A  <  B ) )
7871, 77impbid 128 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  <  B  <->  ( B  -  A )  e.  NN ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740   CCcc 7582   RRcr 7583   0cc0 7584   1c1 7585    + caddc 7587    < clt 7764    - cmin 7897   NNcn 8680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8681
This theorem is referenced by:  nnsubi  8720  uz3m2nn  9320
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