Theorem nnsub 8947

Description: Subtraction of positive integers. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnsub	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A < B <-> ( B - A ) e. NN ) )

Proof of Theorem nnsub

Dummy variables z x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4004	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( z < x <-> z < 1 ) )
2		oveq1 5876	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( x - z ) = ( 1 - z ) )
3	2	eleq1d 2246	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( x - z ) e. NN <-> ( 1 - z ) e. NN ) )
4	1, 3	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> ( z < 1 -> ( 1 - z ) e. NN ) ) )
5	4	ralbidv 2477	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( A. z e. NN ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> A. z e. NN ( z < 1 -> ( 1 - z ) e. NN ) ) )
6		breq2 4004	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( z < x <-> z < y ) )
7		oveq1 5876	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x - z ) = ( y - z ) )
8	7	eleq1d 2246	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x - z ) e. NN <-> ( y - z ) e. NN ) )
9	6, 8	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> ( z < y -> ( y - z ) e. NN ) ) )
10	9	ralbidv 2477	. . . 4 |- ( x = y -> ( A. z e. NN ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> A. z e. NN ( z < y -> ( y - z ) e. NN ) ) )
11		breq2 4004	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( z < x <-> z < ( y + 1 ) ) )
12		oveq1 5876	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x - z ) = ( ( y + 1 ) - z ) )
13	12	eleq1d 2246	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x - z ) e. NN <-> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) )
14	11, 13	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
15	14	ralbidv 2477	. . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( A. z e. NN ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> A. z e. NN ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
16		breq2 4004	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( z < x <-> z < B ) )
17		oveq1 5876	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( x - z ) = ( B - z ) )
18	17	eleq1d 2246	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( ( x - z ) e. NN <-> ( B - z ) e. NN ) )
19	16, 18	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = B -> ( ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> ( z < B -> ( B - z ) e. NN ) ) )
20	19	ralbidv 2477	. . . 4 |- ( x = B -> ( A. z e. NN ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> A. z e. NN ( z < B -> ( B - z ) e. NN ) ) )
21		nnnlt1 8934	. . . . . 6 |- ( z e. NN -> -. z < 1 )
22	21	pm2.21d 619	. . . . 5 |- ( z e. NN -> ( z < 1 -> ( 1 - z ) e. NN ) )
23	22	rgen 2530	. . . 4 |- A. z e. NN ( z < 1 -> ( 1 - z ) e. NN )
24		breq1 4003	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( z < y <-> x < y ) )
25		oveq2 5877	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( y - z ) = ( y - x ) )
26	25	eleq1d 2246	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( ( y - z ) e. NN <-> ( y - x ) e. NN ) )
27	24, 26	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( ( z < y -> ( y - z ) e. NN ) <-> ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) ) )
28	27	cbvralv 2703	. . . . 5 |- ( A. z e. NN ( z < y -> ( y - z ) e. NN ) <-> A. x e. NN ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) )
29		nncn 8916	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> y e. CC )
30	29	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> y e. CC )
31		ax-1cn 7895	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
32		pncan 8153	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( y + 1 ) - 1 ) = y )
33	30, 31, 32	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( y + 1 ) - 1 ) = y )
34		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> y e. NN )
35	33, 34	eqeltrd 2254	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( y + 1 ) - 1 ) e. NN )
36		oveq2 5877	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = 1 -> ( ( y + 1 ) - z ) = ( ( y + 1 ) - 1 ) )
37	36	eleq1d 2246	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 1 -> ( ( ( y + 1 ) - z ) e. NN <-> ( ( y + 1 ) - 1 ) e. NN ) )
38	35, 37	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( z = 1 -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) )
39	38	a1dd 48	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( z = 1 -> ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
40	39	a1dd 48	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( z = 1 -> ( A. x e. NN ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) -> ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) ) )
41		breq1 4003	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( z - 1 ) -> ( x < y <-> ( z - 1 ) < y ) )
42		oveq2 5877	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( z - 1 ) -> ( y - x ) = ( y - ( z - 1 ) ) )
43	42	eleq1d 2246	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( z - 1 ) -> ( ( y - x ) e. NN <-> ( y - ( z - 1 ) ) e. NN ) )
44	41, 43	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( z - 1 ) -> ( ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) <-> ( ( z - 1 ) < y -> ( y - ( z - 1 ) ) e. NN ) ) )
45	44	rspcv 2837	. . . . . . . 8 |- ( ( z - 1 ) e. NN -> ( A. x e. NN ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) -> ( ( z - 1 ) < y -> ( y - ( z - 1 ) ) e. NN ) ) )
46		nnre 8915	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. NN -> z e. RR )
47		nnre 8915	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> y e. RR )
48		1re 7947	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
49		ltsubadd 8379	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. RR /\ 1 e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( z - 1 ) < y <-> z < ( y + 1 ) ) )
50	48, 49	mp3an2 1325	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( z - 1 ) < y <-> z < ( y + 1 ) ) )
51	46, 47, 50	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( z - 1 ) < y <-> z < ( y + 1 ) ) )
52		nncn 8916	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. NN -> z e. CC )
53		subsub3 8179	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( y - ( z - 1 ) ) = ( ( y + 1 ) - z ) )
54	31, 53	mp3an3 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC ) -> ( y - ( z - 1 ) ) = ( ( y + 1 ) - z ) )
55	29, 52, 54	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( y - ( z - 1 ) ) = ( ( y + 1 ) - z ) )
56	55	eleq1d 2246	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( y - ( z - 1 ) ) e. NN <-> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) )
57	51, 56	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( ( z - 1 ) < y -> ( y - ( z - 1 ) ) e. NN ) <-> ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
58	57	biimpd 144	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( ( z - 1 ) < y -> ( y - ( z - 1 ) ) e. NN ) -> ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
59	45, 58	syl9r 73	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( z - 1 ) e. NN -> ( A. x e. NN ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) -> ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) ) )
60		nn1m1nn 8926	. . . . . . . 8 |- ( z e. NN -> ( z = 1 \/ ( z - 1 ) e. NN ) )
61	60	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( z = 1 \/ ( z - 1 ) e. NN ) )
62	40, 59, 61	mpjaod 718	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( A. x e. NN ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) -> ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
63	62	ralrimdva 2557	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( A. x e. NN ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) -> A. z e. NN ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
64	28, 63	biimtrid 152	. . . 4 |- ( y e. NN -> ( A. z e. NN ( z < y -> ( y - z ) e. NN ) -> A. z e. NN ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
65	5, 10, 15, 20, 23, 64	nnind 8924	. . 3 |- ( B e. NN -> A. z e. NN ( z < B -> ( B - z ) e. NN ) )
66		breq1 4003	. . . . 5 |- ( z = A -> ( z < B <-> A < B ) )
67		oveq2 5877	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( B - z ) = ( B - A ) )
68	67	eleq1d 2246	. . . . 5 |- ( z = A -> ( ( B - z ) e. NN <-> ( B - A ) e. NN ) )
69	66, 68	imbi12d 234	. . . 4 |- ( z = A -> ( ( z < B -> ( B - z ) e. NN ) <-> ( A < B -> ( B - A ) e. NN ) ) )
70	69	rspcva 2839	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ A. z e. NN ( z < B -> ( B - z ) e. NN ) ) -> ( A < B -> ( B - A ) e. NN ) )
71	65, 70	sylan2 286	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A < B -> ( B - A ) e. NN ) )
72		nngt0 8933	. . 3 |- ( ( B - A ) e. NN -> 0 < ( B - A ) )
73		nnre 8915	. . . 4 |- ( A e. NN -> A e. RR )
74		nnre 8915	. . . 4 |- ( B e. NN -> B e. RR )
75		posdif 8402	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
76	73, 74, 75	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
77	72, 76	syl5ibr 156	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( B - A ) e. NN -> A < B ) )
78	71, 77	impbid 129	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A < B <-> ( B - A ) e. NN ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869   CCcc 7800   RRcr 7801   0cc0 7802   1c1 7803   + caddc 7805   < clt 7982   - cmin 8118   NNcn 8908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909

This theorem is referenced by:  nnsubi  8948  uz3m2nn  9562  pythagtriplem13  12259