Theorem nnsub 9075

Description: Subtraction of positive integers. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnsub	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A < B <-> ( B - A ) e. NN ) )

Proof of Theorem nnsub

Dummy variables z x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4048	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( z < x <-> z < 1 ) )
2		oveq1 5951	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( x - z ) = ( 1 - z ) )
3	2	eleq1d 2274	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( x - z ) e. NN <-> ( 1 - z ) e. NN ) )
4	1, 3	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> ( z < 1 -> ( 1 - z ) e. NN ) ) )
5	4	ralbidv 2506	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( A. z e. NN ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> A. z e. NN ( z < 1 -> ( 1 - z ) e. NN ) ) )
6		breq2 4048	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( z < x <-> z < y ) )
7		oveq1 5951	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x - z ) = ( y - z ) )
8	7	eleq1d 2274	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x - z ) e. NN <-> ( y - z ) e. NN ) )
9	6, 8	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> ( z < y -> ( y - z ) e. NN ) ) )
10	9	ralbidv 2506	. . . 4 |- ( x = y -> ( A. z e. NN ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> A. z e. NN ( z < y -> ( y - z ) e. NN ) ) )
11		breq2 4048	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( z < x <-> z < ( y + 1 ) ) )
12		oveq1 5951	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x - z ) = ( ( y + 1 ) - z ) )
13	12	eleq1d 2274	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x - z ) e. NN <-> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) )
14	11, 13	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
15	14	ralbidv 2506	. . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( A. z e. NN ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> A. z e. NN ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
16		breq2 4048	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( z < x <-> z < B ) )
17		oveq1 5951	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( x - z ) = ( B - z ) )
18	17	eleq1d 2274	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( ( x - z ) e. NN <-> ( B - z ) e. NN ) )
19	16, 18	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = B -> ( ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> ( z < B -> ( B - z ) e. NN ) ) )
20	19	ralbidv 2506	. . . 4 |- ( x = B -> ( A. z e. NN ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> A. z e. NN ( z < B -> ( B - z ) e. NN ) ) )
21		nnnlt1 9062	. . . . . 6 |- ( z e. NN -> -. z < 1 )
22	21	pm2.21d 620	. . . . 5 |- ( z e. NN -> ( z < 1 -> ( 1 - z ) e. NN ) )
23	22	rgen 2559	. . . 4 |- A. z e. NN ( z < 1 -> ( 1 - z ) e. NN )
24		breq1 4047	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( z < y <-> x < y ) )
25		oveq2 5952	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( y - z ) = ( y - x ) )
26	25	eleq1d 2274	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( ( y - z ) e. NN <-> ( y - x ) e. NN ) )
27	24, 26	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( ( z < y -> ( y - z ) e. NN ) <-> ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) ) )
28	27	cbvralv 2738	. . . . 5 |- ( A. z e. NN ( z < y -> ( y - z ) e. NN ) <-> A. x e. NN ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) )
29		nncn 9044	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> y e. CC )
30	29	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> y e. CC )
31		ax-1cn 8018	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
32		pncan 8278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( y + 1 ) - 1 ) = y )
33	30, 31, 32	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( y + 1 ) - 1 ) = y )
34		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> y e. NN )
35	33, 34	eqeltrd 2282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( y + 1 ) - 1 ) e. NN )
36		oveq2 5952	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = 1 -> ( ( y + 1 ) - z ) = ( ( y + 1 ) - 1 ) )
37	36	eleq1d 2274	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 1 -> ( ( ( y + 1 ) - z ) e. NN <-> ( ( y + 1 ) - 1 ) e. NN ) )
38	35, 37	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( z = 1 -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) )
39	38	a1dd 48	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( z = 1 -> ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
40	39	a1dd 48	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( z = 1 -> ( A. x e. NN ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) -> ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) ) )
41		breq1 4047	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( z - 1 ) -> ( x < y <-> ( z - 1 ) < y ) )
42		oveq2 5952	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( z - 1 ) -> ( y - x ) = ( y - ( z - 1 ) ) )
43	42	eleq1d 2274	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( z - 1 ) -> ( ( y - x ) e. NN <-> ( y - ( z - 1 ) ) e. NN ) )
44	41, 43	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( z - 1 ) -> ( ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) <-> ( ( z - 1 ) < y -> ( y - ( z - 1 ) ) e. NN ) ) )
45	44	rspcv 2873	. . . . . . . 8 |- ( ( z - 1 ) e. NN -> ( A. x e. NN ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) -> ( ( z - 1 ) < y -> ( y - ( z - 1 ) ) e. NN ) ) )
46		nnre 9043	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. NN -> z e. RR )
47		nnre 9043	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> y e. RR )
48		1re 8071	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
49		ltsubadd 8505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. RR /\ 1 e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( z - 1 ) < y <-> z < ( y + 1 ) ) )
50	48, 49	mp3an2 1338	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( z - 1 ) < y <-> z < ( y + 1 ) ) )
51	46, 47, 50	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( z - 1 ) < y <-> z < ( y + 1 ) ) )
52		nncn 9044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. NN -> z e. CC )
53		subsub3 8304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( y - ( z - 1 ) ) = ( ( y + 1 ) - z ) )
54	31, 53	mp3an3 1339	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC ) -> ( y - ( z - 1 ) ) = ( ( y + 1 ) - z ) )
55	29, 52, 54	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( y - ( z - 1 ) ) = ( ( y + 1 ) - z ) )
56	55	eleq1d 2274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( y - ( z - 1 ) ) e. NN <-> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) )
57	51, 56	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( ( z - 1 ) < y -> ( y - ( z - 1 ) ) e. NN ) <-> ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
58	57	biimpd 144	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( ( z - 1 ) < y -> ( y - ( z - 1 ) ) e. NN ) -> ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
59	45, 58	syl9r 73	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( z - 1 ) e. NN -> ( A. x e. NN ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) -> ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) ) )
60		nn1m1nn 9054	. . . . . . . 8 |- ( z e. NN -> ( z = 1 \/ ( z - 1 ) e. NN ) )
61	60	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( z = 1 \/ ( z - 1 ) e. NN ) )
62	40, 59, 61	mpjaod 720	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( A. x e. NN ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) -> ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
63	62	ralrimdva 2586	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( A. x e. NN ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) -> A. z e. NN ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
64	28, 63	biimtrid 152	. . . 4 |- ( y e. NN -> ( A. z e. NN ( z < y -> ( y - z ) e. NN ) -> A. z e. NN ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
65	5, 10, 15, 20, 23, 64	nnind 9052	. . 3 |- ( B e. NN -> A. z e. NN ( z < B -> ( B - z ) e. NN ) )
66		breq1 4047	. . . . 5 |- ( z = A -> ( z < B <-> A < B ) )
67		oveq2 5952	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( B - z ) = ( B - A ) )
68	67	eleq1d 2274	. . . . 5 |- ( z = A -> ( ( B - z ) e. NN <-> ( B - A ) e. NN ) )
69	66, 68	imbi12d 234	. . . 4 |- ( z = A -> ( ( z < B -> ( B - z ) e. NN ) <-> ( A < B -> ( B - A ) e. NN ) ) )
70	69	rspcva 2875	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ A. z e. NN ( z < B -> ( B - z ) e. NN ) ) -> ( A < B -> ( B - A ) e. NN ) )
71	65, 70	sylan2 286	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A < B -> ( B - A ) e. NN ) )
72		nngt0 9061	. . 3 |- ( ( B - A ) e. NN -> 0 < ( B - A ) )
73		nnre 9043	. . . 4 |- ( A e. NN -> A e. RR )
74		nnre 9043	. . . 4 |- ( B e. NN -> B e. RR )
75		posdif 8528	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
76	73, 74, 75	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
77	72, 76	imbitrrid 156	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( B - A ) e. NN -> A < B ) )
78	71, 77	impbid 129	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A < B <-> ( B - A ) e. NN ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   CCcc 7923   RRcr 7924   0cc0 7925   1c1 7926   + caddc 7928   < clt 8107   - cmin 8243   NNcn 9036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037

This theorem is referenced by:  nnsubi  9076  uz3m2nn  9694  pythagtriplem13  12599  perfectlem1  15471