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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > nnsub | Unicode version |
Description: Subtraction of positive integers. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.) |
Ref | Expression |
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nnsub |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | breq2 4009 |
. . . . . 6
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2 | oveq1 5884 |
. . . . . . 7
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3 | 2 | eleq1d 2246 |
. . . . . 6
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4 | 1, 3 | imbi12d 234 |
. . . . 5
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5 | 4 | ralbidv 2477 |
. . . 4
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6 | breq2 4009 |
. . . . . 6
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7 | oveq1 5884 |
. . . . . . 7
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8 | 7 | eleq1d 2246 |
. . . . . 6
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9 | 6, 8 | imbi12d 234 |
. . . . 5
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10 | 9 | ralbidv 2477 |
. . . 4
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11 | breq2 4009 |
. . . . . 6
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12 | oveq1 5884 |
. . . . . . 7
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13 | 12 | eleq1d 2246 |
. . . . . 6
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14 | 11, 13 | imbi12d 234 |
. . . . 5
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15 | 14 | ralbidv 2477 |
. . . 4
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16 | breq2 4009 |
. . . . . 6
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17 | oveq1 5884 |
. . . . . . 7
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18 | 17 | eleq1d 2246 |
. . . . . 6
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19 | 16, 18 | imbi12d 234 |
. . . . 5
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20 | 19 | ralbidv 2477 |
. . . 4
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21 | nnnlt1 8947 |
. . . . . 6
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22 | 21 | pm2.21d 619 |
. . . . 5
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23 | 22 | rgen 2530 |
. . . 4
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24 | breq1 4008 |
. . . . . . 7
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25 | oveq2 5885 |
. . . . . . . 8
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26 | 25 | eleq1d 2246 |
. . . . . . 7
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27 | 24, 26 | imbi12d 234 |
. . . . . 6
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28 | 27 | cbvralv 2705 |
. . . . 5
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29 | nncn 8929 |
. . . . . . . . . . . . 13
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30 | 29 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . 12
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31 | ax-1cn 7906 |
. . . . . . . . . . . 12
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32 | pncan 8165 |
. . . . . . . . . . . 12
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33 | 30, 31, 32 | sylancl 413 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . 11
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35 | 33, 34 | eqeltrd 2254 |
. . . . . . . . . 10
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36 | oveq2 5885 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | 36 | eleq1d 2246 |
. . . . . . . . . 10
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38 | 35, 37 | syl5ibrcom 157 |
. . . . . . . . 9
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39 | 38 | a1dd 48 |
. . . . . . . 8
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40 | 39 | a1dd 48 |
. . . . . . 7
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41 | breq1 4008 |
. . . . . . . . . 10
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42 | oveq2 5885 |
. . . . . . . . . . 11
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43 | 42 | eleq1d 2246 |
. . . . . . . . . 10
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44 | 41, 43 | imbi12d 234 |
. . . . . . . . 9
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45 | 44 | rspcv 2839 |
. . . . . . . 8
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46 | nnre 8928 |
. . . . . . . . . . 11
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47 | nnre 8928 |
. . . . . . . . . . 11
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48 | 1re 7958 |
. . . . . . . . . . . 12
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49 | ltsubadd 8391 |
. . . . . . . . . . . 12
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50 | 48, 49 | mp3an2 1325 |
. . . . . . . . . . 11
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51 | 46, 47, 50 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . . 10
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52 | nncn 8929 |
. . . . . . . . . . . 12
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53 | subsub3 8191 |
. . . . . . . . . . . . 13
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54 | 31, 53 | mp3an3 1326 |
. . . . . . . . . . . 12
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55 | 29, 52, 54 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . 11
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56 | 55 | eleq1d 2246 |
. . . . . . . . . 10
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57 | 51, 56 | imbi12d 234 |
. . . . . . . . 9
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58 | 57 | biimpd 144 |
. . . . . . . 8
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59 | 45, 58 | syl9r 73 |
. . . . . . 7
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60 | nn1m1nn 8939 |
. . . . . . . 8
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61 | 60 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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62 | 40, 59, 61 | mpjaod 718 |
. . . . . 6
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63 | 62 | ralrimdva 2557 |
. . . . 5
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64 | 28, 63 | biimtrid 152 |
. . . 4
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65 | 5, 10, 15, 20, 23, 64 | nnind 8937 |
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66 | breq1 4008 |
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67 | oveq2 5885 |
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68 | 67 | eleq1d 2246 |
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69 | 66, 68 | imbi12d 234 |
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70 | 69 | rspcva 2841 |
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71 | 65, 70 | sylan2 286 |
. 2
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72 | nngt0 8946 |
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73 | nnre 8928 |
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74 | nnre 8928 |
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75 | posdif 8414 |
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76 | 73, 74, 75 | syl2an 289 |
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77 | 72, 76 | imbitrrid 156 |
. 2
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78 | 71, 77 | impbid 129 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4123 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-cnex 7904 ax-resscn 7905 ax-1cn 7906 ax-1re 7907 ax-icn 7908 ax-addcl 7909 ax-addrcl 7910 ax-mulcl 7911 ax-addcom 7913 ax-addass 7915 ax-distr 7917 ax-i2m1 7918 ax-0lt1 7919 ax-0id 7921 ax-rnegex 7922 ax-cnre 7924 ax-pre-ltirr 7925 ax-pre-ltwlin 7926 ax-pre-lttrn 7927 ax-pre-ltadd 7929 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-br 4006 df-opab 4067 df-id 4295 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fv 5226 df-riota 5833 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-pnf 7996 df-mnf 7997 df-xr 7998 df-ltxr 7999 df-le 8000 df-sub 8132 df-neg 8133 df-inn 8922 |
This theorem is referenced by: nnsubi 8961 uz3m2nn 9575 pythagtriplem13 12278 |
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