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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > nnsub | Unicode version |
Description: Subtraction of positive integers. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.) |
Ref | Expression |
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nnsub |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | breq2 3941 |
. . . . . 6
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2 | oveq1 5789 |
. . . . . . 7
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3 | 2 | eleq1d 2209 |
. . . . . 6
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4 | 1, 3 | imbi12d 233 |
. . . . 5
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5 | 4 | ralbidv 2438 |
. . . 4
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6 | breq2 3941 |
. . . . . 6
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7 | oveq1 5789 |
. . . . . . 7
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8 | 7 | eleq1d 2209 |
. . . . . 6
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9 | 6, 8 | imbi12d 233 |
. . . . 5
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10 | 9 | ralbidv 2438 |
. . . 4
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11 | breq2 3941 |
. . . . . 6
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12 | oveq1 5789 |
. . . . . . 7
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13 | 12 | eleq1d 2209 |
. . . . . 6
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14 | 11, 13 | imbi12d 233 |
. . . . 5
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15 | 14 | ralbidv 2438 |
. . . 4
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16 | breq2 3941 |
. . . . . 6
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17 | oveq1 5789 |
. . . . . . 7
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18 | 17 | eleq1d 2209 |
. . . . . 6
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19 | 16, 18 | imbi12d 233 |
. . . . 5
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20 | 19 | ralbidv 2438 |
. . . 4
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21 | nnnlt1 8770 |
. . . . . 6
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22 | 21 | pm2.21d 609 |
. . . . 5
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23 | 22 | rgen 2488 |
. . . 4
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24 | breq1 3940 |
. . . . . . 7
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25 | oveq2 5790 |
. . . . . . . 8
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26 | 25 | eleq1d 2209 |
. . . . . . 7
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27 | 24, 26 | imbi12d 233 |
. . . . . 6
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28 | 27 | cbvralv 2657 |
. . . . 5
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29 | nncn 8752 |
. . . . . . . . . . . . 13
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30 | 29 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . 12
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31 | ax-1cn 7737 |
. . . . . . . . . . . 12
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32 | pncan 7992 |
. . . . . . . . . . . 12
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33 | 30, 31, 32 | sylancl 410 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | simpl 108 |
. . . . . . . . . . 11
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35 | 33, 34 | eqeltrd 2217 |
. . . . . . . . . 10
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36 | oveq2 5790 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | 36 | eleq1d 2209 |
. . . . . . . . . 10
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38 | 35, 37 | syl5ibrcom 156 |
. . . . . . . . 9
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39 | 38 | a1dd 48 |
. . . . . . . 8
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40 | 39 | a1dd 48 |
. . . . . . 7
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41 | breq1 3940 |
. . . . . . . . . 10
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42 | oveq2 5790 |
. . . . . . . . . . 11
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43 | 42 | eleq1d 2209 |
. . . . . . . . . 10
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44 | 41, 43 | imbi12d 233 |
. . . . . . . . 9
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45 | 44 | rspcv 2789 |
. . . . . . . 8
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46 | nnre 8751 |
. . . . . . . . . . 11
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47 | nnre 8751 |
. . . . . . . . . . 11
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48 | 1re 7789 |
. . . . . . . . . . . 12
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49 | ltsubadd 8218 |
. . . . . . . . . . . 12
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50 | 48, 49 | mp3an2 1304 |
. . . . . . . . . . 11
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51 | 46, 47, 50 | syl2anr 288 |
. . . . . . . . . 10
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52 | nncn 8752 |
. . . . . . . . . . . 12
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53 | subsub3 8018 |
. . . . . . . . . . . . 13
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54 | 31, 53 | mp3an3 1305 |
. . . . . . . . . . . 12
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55 | 29, 52, 54 | syl2an 287 |
. . . . . . . . . . 11
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56 | 55 | eleq1d 2209 |
. . . . . . . . . 10
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57 | 51, 56 | imbi12d 233 |
. . . . . . . . 9
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58 | 57 | biimpd 143 |
. . . . . . . 8
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59 | 45, 58 | syl9r 73 |
. . . . . . 7
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60 | nn1m1nn 8762 |
. . . . . . . 8
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61 | 60 | adantl 275 |
. . . . . . 7
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62 | 40, 59, 61 | mpjaod 708 |
. . . . . 6
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63 | 62 | ralrimdva 2515 |
. . . . 5
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64 | 28, 63 | syl5bi 151 |
. . . 4
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65 | 5, 10, 15, 20, 23, 64 | nnind 8760 |
. . 3
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66 | breq1 3940 |
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67 | oveq2 5790 |
. . . . . 6
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68 | 67 | eleq1d 2209 |
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69 | 66, 68 | imbi12d 233 |
. . . 4
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70 | 69 | rspcva 2791 |
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71 | 65, 70 | sylan2 284 |
. 2
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72 | nngt0 8769 |
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73 | nnre 8751 |
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74 | nnre 8751 |
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75 | posdif 8241 |
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76 | 73, 74, 75 | syl2an 287 |
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77 | 72, 76 | syl5ibr 155 |
. 2
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78 | 71, 77 | impbid 128 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-sep 4054 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-addcom 7744 ax-addass 7746 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-ltadd 7760 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-br 3938 df-opab 3998 df-id 4223 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fv 5139 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-inn 8745 |
This theorem is referenced by: nnsubi 8784 uz3m2nn 9395 |
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