Theorem nnsub 8872

Description: Subtraction of positive integers. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnsub	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A < B <-> ( B - A ) e. NN ) )

Proof of Theorem nnsub

Dummy variables z x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3969	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( z < x <-> z < 1 ) )
2		oveq1 5831	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( x - z ) = ( 1 - z ) )
3	2	eleq1d 2226	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( x - z ) e. NN <-> ( 1 - z ) e. NN ) )
4	1, 3	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> ( z < 1 -> ( 1 - z ) e. NN ) ) )
5	4	ralbidv 2457	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( A. z e. NN ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> A. z e. NN ( z < 1 -> ( 1 - z ) e. NN ) ) )
6		breq2 3969	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( z < x <-> z < y ) )
7		oveq1 5831	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x - z ) = ( y - z ) )
8	7	eleq1d 2226	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x - z ) e. NN <-> ( y - z ) e. NN ) )
9	6, 8	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> ( z < y -> ( y - z ) e. NN ) ) )
10	9	ralbidv 2457	. . . 4 |- ( x = y -> ( A. z e. NN ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> A. z e. NN ( z < y -> ( y - z ) e. NN ) ) )
11		breq2 3969	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( z < x <-> z < ( y + 1 ) ) )
12		oveq1 5831	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x - z ) = ( ( y + 1 ) - z ) )
13	12	eleq1d 2226	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x - z ) e. NN <-> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) )
14	11, 13	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
15	14	ralbidv 2457	. . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( A. z e. NN ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> A. z e. NN ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
16		breq2 3969	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( z < x <-> z < B ) )
17		oveq1 5831	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( x - z ) = ( B - z ) )
18	17	eleq1d 2226	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( ( x - z ) e. NN <-> ( B - z ) e. NN ) )
19	16, 18	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( x = B -> ( ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> ( z < B -> ( B - z ) e. NN ) ) )
20	19	ralbidv 2457	. . . 4 |- ( x = B -> ( A. z e. NN ( z < x -> ( x - z ) e. NN ) <-> A. z e. NN ( z < B -> ( B - z ) e. NN ) ) )
21		nnnlt1 8859	. . . . . 6 |- ( z e. NN -> -. z < 1 )
22	21	pm2.21d 609	. . . . 5 |- ( z e. NN -> ( z < 1 -> ( 1 - z ) e. NN ) )
23	22	rgen 2510	. . . 4 |- A. z e. NN ( z < 1 -> ( 1 - z ) e. NN )
24		breq1 3968	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( z < y <-> x < y ) )
25		oveq2 5832	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( y - z ) = ( y - x ) )
26	25	eleq1d 2226	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( ( y - z ) e. NN <-> ( y - x ) e. NN ) )
27	24, 26	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( ( z < y -> ( y - z ) e. NN ) <-> ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) ) )
28	27	cbvralv 2680	. . . . 5 |- ( A. z e. NN ( z < y -> ( y - z ) e. NN ) <-> A. x e. NN ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) )
29		nncn 8841	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> y e. CC )
30	29	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> y e. CC )
31		ax-1cn 7825	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
32		pncan 8081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( y + 1 ) - 1 ) = y )
33	30, 31, 32	sylancl 410	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( y + 1 ) - 1 ) = y )
34		simpl 108	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> y e. NN )
35	33, 34	eqeltrd 2234	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( y + 1 ) - 1 ) e. NN )
36		oveq2 5832	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = 1 -> ( ( y + 1 ) - z ) = ( ( y + 1 ) - 1 ) )
37	36	eleq1d 2226	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 1 -> ( ( ( y + 1 ) - z ) e. NN <-> ( ( y + 1 ) - 1 ) e. NN ) )
38	35, 37	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( z = 1 -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) )
39	38	a1dd 48	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( z = 1 -> ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
40	39	a1dd 48	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( z = 1 -> ( A. x e. NN ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) -> ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) ) )
41		breq1 3968	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( z - 1 ) -> ( x < y <-> ( z - 1 ) < y ) )
42		oveq2 5832	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( z - 1 ) -> ( y - x ) = ( y - ( z - 1 ) ) )
43	42	eleq1d 2226	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( z - 1 ) -> ( ( y - x ) e. NN <-> ( y - ( z - 1 ) ) e. NN ) )
44	41, 43	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( z - 1 ) -> ( ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) <-> ( ( z - 1 ) < y -> ( y - ( z - 1 ) ) e. NN ) ) )
45	44	rspcv 2812	. . . . . . . 8 |- ( ( z - 1 ) e. NN -> ( A. x e. NN ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) -> ( ( z - 1 ) < y -> ( y - ( z - 1 ) ) e. NN ) ) )
46		nnre 8840	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. NN -> z e. RR )
47		nnre 8840	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> y e. RR )
48		1re 7877	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
49		ltsubadd 8307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. RR /\ 1 e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( z - 1 ) < y <-> z < ( y + 1 ) ) )
50	48, 49	mp3an2 1307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( z - 1 ) < y <-> z < ( y + 1 ) ) )
51	46, 47, 50	syl2anr 288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( z - 1 ) < y <-> z < ( y + 1 ) ) )
52		nncn 8841	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. NN -> z e. CC )
53		subsub3 8107	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( y - ( z - 1 ) ) = ( ( y + 1 ) - z ) )
54	31, 53	mp3an3 1308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC ) -> ( y - ( z - 1 ) ) = ( ( y + 1 ) - z ) )
55	29, 52, 54	syl2an 287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( y - ( z - 1 ) ) = ( ( y + 1 ) - z ) )
56	55	eleq1d 2226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( y - ( z - 1 ) ) e. NN <-> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) )
57	51, 56	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( ( z - 1 ) < y -> ( y - ( z - 1 ) ) e. NN ) <-> ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
58	57	biimpd 143	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( ( z - 1 ) < y -> ( y - ( z - 1 ) ) e. NN ) -> ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
59	45, 58	syl9r 73	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( z - 1 ) e. NN -> ( A. x e. NN ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) -> ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) ) )
60		nn1m1nn 8851	. . . . . . . 8 |- ( z e. NN -> ( z = 1 \/ ( z - 1 ) e. NN ) )
61	60	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( z = 1 \/ ( z - 1 ) e. NN ) )
62	40, 59, 61	mpjaod 708	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN /\ z e. NN ) -> ( A. x e. NN ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) -> ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
63	62	ralrimdva 2537	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( A. x e. NN ( x < y -> ( y - x ) e. NN ) -> A. z e. NN ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
64	28, 63	syl5bi 151	. . . 4 |- ( y e. NN -> ( A. z e. NN ( z < y -> ( y - z ) e. NN ) -> A. z e. NN ( z < ( y + 1 ) -> ( ( y + 1 ) - z ) e. NN ) ) )
65	5, 10, 15, 20, 23, 64	nnind 8849	. . 3 |- ( B e. NN -> A. z e. NN ( z < B -> ( B - z ) e. NN ) )
66		breq1 3968	. . . . 5 |- ( z = A -> ( z < B <-> A < B ) )
67		oveq2 5832	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( B - z ) = ( B - A ) )
68	67	eleq1d 2226	. . . . 5 |- ( z = A -> ( ( B - z ) e. NN <-> ( B - A ) e. NN ) )
69	66, 68	imbi12d 233	. . . 4 |- ( z = A -> ( ( z < B -> ( B - z ) e. NN ) <-> ( A < B -> ( B - A ) e. NN ) ) )
70	69	rspcva 2814	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ A. z e. NN ( z < B -> ( B - z ) e. NN ) ) -> ( A < B -> ( B - A ) e. NN ) )
71	65, 70	sylan2 284	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A < B -> ( B - A ) e. NN ) )
72		nngt0 8858	. . 3 |- ( ( B - A ) e. NN -> 0 < ( B - A ) )
73		nnre 8840	. . . 4 |- ( A e. NN -> A e. RR )
74		nnre 8840	. . . 4 |- ( B e. NN -> B e. RR )
75		posdif 8330	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
76	73, 74, 75	syl2an 287	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
77	72, 76	syl5ibr 155	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( B - A ) e. NN -> A < B ) )
78	71, 77	impbid 128	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A < B <-> ( B - A ) e. NN ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824   CCcc 7730   RRcr 7731   0cc0 7732   1c1 7733   + caddc 7735   < clt 7912   - cmin 8046   NNcn 8833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-addass 7834  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-ltadd 7848

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-inn 8834

This theorem is referenced by:  nnsubi  8873  uz3m2nn  9484