Theorem indstr2 9804

Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). The first two hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
indstr2.1	|- ( x = 1 -> ( ph <-> ch ) )
indstr2.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
indstr2.3	|- ch
indstr2.4	|- ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
indstr2	|- ( x e. NN -> ph )

Distinct variable groups:   ph, y   ps, x   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( x, y)

Proof of Theorem indstr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indstr2.2	. 2 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
2		elnn1uz2 9802	. . 3 |- ( x e. NN <-> ( x = 1 \/ x e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
3		indstr2.3	. . . . 5 |- ch
4		nnnlt1 9136	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> -. y < 1 )
5	4	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = 1 /\ y e. NN ) -> -. y < 1 )
6		breq2 4087	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 1 -> ( y < x <-> y < 1 ) )
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = 1 /\ y e. NN ) -> ( y < x <-> y < 1 ) )
8	5, 7	mtbird 677	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = 1 /\ y e. NN ) -> -. y < x )
9	8	pm2.21d 622	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 1 /\ y e. NN ) -> ( y < x -> ps ) )
10	9	ralrimiva 2603	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> A. y e. NN ( y < x -> ps ) )
11		pm5.5 242	. . . . . . 7 |- ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ( ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) <-> ph ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) <-> ph ) )
13		indstr2.1	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ph <-> ch ) )
14	12, 13	bitrd 188	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) <-> ch ) )
15	3, 14	mpbiri 168	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )
16		indstr2.4	. . . 4 |- ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )
17	15, 16	jaoi 721	. . 3 |- ( ( x = 1 \/ x e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )
18	2, 17	sylbi 121	. 2 |- ( x e. NN -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )
19	1, 18	indstr 9788	1 |- ( x e. NN -> ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   class class class wbr 4083   ` cfv 5318   1c1 8000   < clt 8181   NNcn 9110   2c2 9161   ZZ>=cuz 9722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-2 9169  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723

This theorem is referenced by: (None)