Theorem indstr2 9396

Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). The first two hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
indstr2.1	|- ( x = 1 -> ( ph <-> ch ) )
indstr2.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
indstr2.3	|- ch
indstr2.4	|- ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
indstr2	|- ( x e. NN -> ph )

Distinct variable groups:   ph, y   ps, x   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( x, y)

Proof of Theorem indstr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indstr2.2	. 2 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
2		elnn1uz2 9394	. . 3 |- ( x e. NN <-> ( x = 1 \/ x e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
3		indstr2.3	. . . . 5 |- ch
4		nnnlt1 8739	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> -. y < 1 )
5	4	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = 1 /\ y e. NN ) -> -. y < 1 )
6		breq2 3928	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 1 -> ( y < x <-> y < 1 ) )
7	6	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = 1 /\ y e. NN ) -> ( y < x <-> y < 1 ) )
8	5, 7	mtbird 662	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = 1 /\ y e. NN ) -> -. y < x )
9	8	pm2.21d 608	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 1 /\ y e. NN ) -> ( y < x -> ps ) )
10	9	ralrimiva 2503	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> A. y e. NN ( y < x -> ps ) )
11		pm5.5 241	. . . . . . 7 |- ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ( ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) <-> ph ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) <-> ph ) )
13		indstr2.1	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ph <-> ch ) )
14	12, 13	bitrd 187	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) <-> ch ) )
15	3, 14	mpbiri 167	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )
16		indstr2.4	. . . 4 |- ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )
17	15, 16	jaoi 705	. . 3 |- ( ( x = 1 \/ x e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )
18	2, 17	sylbi 120	. 2 |- ( x e. NN -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )
19	1, 18	indstr 9381	1 |- ( x e. NN -> ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414   class class class wbr 3924   ` cfv 5118   1c1 7614   < clt 7793   NNcn 8713   2c2 8764   ZZ>=cuz 9319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-2 8772  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320

This theorem is referenced by: (None)