Theorem indstr2 9904

Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). The first two hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
indstr2.1	|- ( x = 1 -> ( ph <-> ch ) )
indstr2.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
indstr2.3	|- ch
indstr2.4	|- ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
indstr2	|- ( x e. NN -> ph )

Distinct variable groups:   ph, y   ps, x   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( x, y)

Proof of Theorem indstr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indstr2.2	. 2 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
2		elnn1uz2 9902	. . 3 |- ( x e. NN <-> ( x = 1 \/ x e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
3		indstr2.3	. . . . 5 |- ch
4		nnnlt1 9228	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> -. y < 1 )
5	4	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = 1 /\ y e. NN ) -> -. y < 1 )
6		breq2 4097	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 1 -> ( y < x <-> y < 1 ) )
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = 1 /\ y e. NN ) -> ( y < x <-> y < 1 ) )
8	5, 7	mtbird 680	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = 1 /\ y e. NN ) -> -. y < x )
9	8	pm2.21d 624	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 1 /\ y e. NN ) -> ( y < x -> ps ) )
10	9	ralrimiva 2606	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> A. y e. NN ( y < x -> ps ) )
11		pm5.5 242	. . . . . . 7 |- ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ( ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) <-> ph ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) <-> ph ) )
13		indstr2.1	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ph <-> ch ) )
14	12, 13	bitrd 188	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) <-> ch ) )
15	3, 14	mpbiri 168	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )
16		indstr2.4	. . . 4 |- ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )
17	15, 16	jaoi 724	. . 3 |- ( ( x = 1 \/ x e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )
18	2, 17	sylbi 121	. 2 |- ( x e. NN -> ( A. y e. NN ( y < x -> ps ) -> ph ) )
19	1, 18	indstr 9888	1 |- ( x e. NN -> ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   class class class wbr 4093   ` cfv 5333   1c1 8093   < clt 8273   NNcn 9202   2c2 9253   ZZ>=cuz 9816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-2 9261  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817

This theorem is referenced by: (None)