ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  indstr2 Unicode version

Theorem indstr2 9352
Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). The first two hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
indstr2.1  |-  ( x  =  1  ->  ( ph 
<->  ch ) )
indstr2.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
indstr2.3  |-  ch
indstr2.4  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. y  e.  NN  (
y  <  x  ->  ps )  ->  ph ) )
Assertion
Ref Expression
indstr2  |-  ( x  e.  NN  ->  ph )
Distinct variable groups:    ph, y    ps, x    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( x, y)

Proof of Theorem indstr2
StepHypRef Expression
1 indstr2.2 . 2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
2 elnn1uz2 9350 . . 3  |-  ( x  e.  NN  <->  ( x  =  1  \/  x  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
3 indstr2.3 . . . . 5  |-  ch
4 nnnlt1 8703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  -.  y  <  1 )
54adantl 273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  1  /\  y  e.  NN )  ->  -.  y  <  1 )
6 breq2 3901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  (
y  <  x  <->  y  <  1 ) )
76adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  1  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  < 
x  <->  y  <  1
) )
85, 7mtbird 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  1  /\  y  e.  NN )  ->  -.  y  <  x )
98pm2.21d 591 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  1  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  < 
x  ->  ps )
)
109ralrimiva 2480 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )
)
11 pm5.5 241 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  NN  (
y  <  x  ->  ps )  ->  ( ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )  <->  ph ) )
1210, 11syl 14 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )  ->  ph )  <->  ph ) )
13 indstr2.1 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( ph 
<->  ch ) )
1412, 13bitrd 187 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )  ->  ph )  <->  ch )
)
153, 14mpbiri 167 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )
)
16 indstr2.4 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. y  e.  NN  (
y  <  x  ->  ps )  ->  ph ) )
1715, 16jaoi 688 . . 3  |-  ( ( x  =  1  \/  x  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )  ->  ph ) )
182, 17sylbi 120 . 2  |-  ( x  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )
)
191, 18indstr 9337 1  |-  ( x  e.  NN  ->  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   class class class wbr 3897   ` cfv 5091   1c1 7585    < clt 7764   NNcn 8677   2c2 8728   ZZ>=cuz 9275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-2 8736  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator