Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sqrt2irr Unicode version

Theorem sqrt2irr 11896
 Description: The square root of 2 is not rational. That is, for any rational number, does not equal it. However, if we were to say "the square root of 2 is irrational" that would mean something stronger: "for any rational number, is apart from it" (the two statements are equivalent given excluded middle). See sqrt2irrap 11914 for the proof that the square root of two is irrational. The proof's core is proven in sqrt2irrlem 11895, which shows that if , then and are even, so and are smaller representatives, which is absurd. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
sqrt2irr

Proof of Theorem sqrt2irr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn 8776 . . . . . 6
2 breq2 3942 . . . . . . . . 9
32imbi1d 230 . . . . . . . 8
43ralbidv 2439 . . . . . . 7
5 breq2 3942 . . . . . . . . 9
65imbi1d 230 . . . . . . . 8
76ralbidv 2439 . . . . . . 7
8 breq2 3942 . . . . . . . . 9
98imbi1d 230 . . . . . . . 8
109ralbidv 2439 . . . . . . 7
11 nnnlt1 8790 . . . . . . . . 9
1211pm2.21d 609 . . . . . . . 8
1312rgen 2489 . . . . . . 7
14 nnrp 9500 . . . . . . . . . . . . . 14
15 rphalflt 9520 . . . . . . . . . . . . . 14
1614, 15syl 14 . . . . . . . . . . . . 13
17 breq1 3941 . . . . . . . . . . . . . . . 16
18 oveq2 5791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1918neeq2d 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2019ralbidv 2439 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2117, 20imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . 15
2221rspcv 2790 . . . . . . . . . . . . . 14
2322com13 80 . . . . . . . . . . . . 13
2416, 23syl 14 . . . . . . . . . . . 12
25 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
26 zcn 9103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2726ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
28 nncn 8772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2928ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
30 2cnd 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
31 nnap0 8793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 #
3231ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 #
33 2ap0 8857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 #
3433a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 #
3527, 29, 30, 32, 34divcanap7d 8623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3625, 35eqtr4d 2176 . . . . . . . . . . . . . . . 16
37 simplr 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
38 simpll 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3937, 38, 25sqrt2irrlem 11895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4039simprd 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4139simpld 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
42 oveq1 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4342neeq2d 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4443rspcv 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4541, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4640, 45embantd 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4746necon2bd 2367 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4836, 47mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . 15
4948ex 114 . . . . . . . . . . . . . 14
5049necon2ad 2366 . . . . . . . . . . . . 13
5150ralrimdva 2516 . . . . . . . . . . . 12
5224, 51syld 45 . . . . . . . . . . 11
53 oveq1 5790 . . . . . . . . . . . . 13
5453neeq2d 2328 . . . . . . . . . . . 12
5554cbvralv 2658 . . . . . . . . . . 11
5652, 55syl6ibr 161 . . . . . . . . . 10
57 oveq2 5791 . . . . . . . . . . . . 13
5857neeq2d 2328 . . . . . . . . . . . 12
5958ralbidv 2439 . . . . . . . . . . 11
6059ceqsralv 2721 . . . . . . . . . 10
6156, 60sylibrd 168 . . . . . . . . 9
6261ancld 323 . . . . . . . 8
63 nnleltp1 9157 . . . . . . . . . . . . . 14
64 nnz 9117 . . . . . . . . . . . . . . 15
65 nnz 9117 . . . . . . . . . . . . . . 15
66 zleloe 9145 . . . . . . . . . . . . . . 15
6764, 65, 66syl2an 287 . . . . . . . . . . . . . 14
6863, 67bitr3d 189 . . . . . . . . . . . . 13
6968ancoms 266 . . . . . . . . . . . 12
7069imbi1d 230 . . . . . . . . . . 11
71 jaob 700 . . . . . . . . . . 11
7270, 71syl6bb 195 . . . . . . . . . 10
7372ralbidva 2435 . . . . . . . . 9
74 r19.26 2562 . . . . . . . . 9
7573, 74syl6bb 195 . . . . . . . 8
7662, 75sylibrd 168 . . . . . . 7
774, 7, 10, 10, 13, 76nnind 8780 . . . . . 6
781, 77syl 14 . . . . 5
79 nnre 8771 . . . . . 6
8079ltp1d 8732 . . . . 5
81 breq1 3941 . . . . . . 7
82 df-ne 2310 . . . . . . . . . 10
8358, 82syl6bb 195 . . . . . . . . 9
8483ralbidv 2439 . . . . . . . 8
85 ralnex 2427 . . . . . . . 8
8684, 85syl6bb 195 . . . . . . 7
8781, 86imbi12d 233 . . . . . 6
8887rspcv 2790 . . . . 5
8978, 80, 88mp2d 47 . . . 4
9089nrex 2528 . . 3
91 elq 9461 . . . 4
92 rexcom 2599 . . . 4
9391, 92bitri 183 . . 3
9490, 93mtbir 661 . 2
9594nelir 2407 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   wo 698   wceq 1332   wcel 1481   wne 2309   wnel 2404  wral 2417  wrex 2418   class class class wbr 3938  cfv 5132  (class class class)co 5783  cc 7662  cc0 7664  c1 7665   caddc 7667   clt 7844   cle 7845   # cap 8387   cdiv 8476  cn 8764  c2 8815  cz 9098  cq 9458  crp 9490  csqrt 10820 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781  ax-pre-mulext 7782  ax-arch 7783  ax-caucvg 7784 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-recs 6211  df-frec 6297  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-ap 8388  df-div 8477  df-inn 8765  df-2 8823  df-3 8824  df-4 8825  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-q 9459  df-rp 9491  df-seqfrec 10270  df-exp 10344  df-rsqrt 10822 This theorem is referenced by:  sqrt2irr0  11898
 Copyright terms: Public domain W3C validator