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Theorem omniwomnimkv 7048
Description: A set is omniscient if and only if it is weakly omniscient and Markov. The case  A  =  om says that LPO  <-> WLPO  /\ MP which is a remark following Definition 2.5 of [Pierik], p. 9. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
omniwomnimkv  |-  ( A  e. Omni 
<->  ( A  e. WOmni  /\  A  e. Markov ) )

Proof of Theorem omniwomnimkv
Dummy variables  f  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2700 . 2  |-  ( A  e. Omni  ->  A  e.  _V )
2 simpl 108 . . 3  |-  ( ( A  e. WOmni  /\  A  e. Markov
)  ->  A  e. WOmni )
32elexd 2702 . 2  |-  ( ( A  e. WOmni  /\  A  e. Markov
)  ->  A  e.  _V )
4 1n0 6336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  =/=  (/)
54nesymi 2355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  (/)  =  1o
6 eqeq1 2147 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  x )  =  (/)  ->  ( ( f `  x )  =  1o  <->  (/)  =  1o ) )
75, 6mtbiri 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  x )  =  (/)  ->  -.  (
f `  x )  =  1o )
87reximi 2532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/)  ->  E. x  e.  A  -.  (
f `  x )  =  1o )
9 rexnalim 2428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  A  -.  ( f `  x
)  =  1o  ->  -. 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o )
108, 9syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/)  ->  -.  A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o )
1110orim1i 750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o )  ->  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o ) )
1211orcomd 719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o )  ->  ( A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  \/  -.  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o ) )
13 df-dc 821 . . . . . . . . 9  |-  (DECID  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o  <->  ( A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  \/  -.  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o ) )
1412, 13sylibr 133 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o )  -> DECID  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o )
1514adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  f : A --> 2o )  /\  ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o ) )  -> DECID  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o )
16 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  f : A --> 2o )  /\  ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o ) )  ->  ( E. x  e.  A  (
f `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o ) )
1716orcomd 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  f : A --> 2o )  /\  ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o ) )  ->  ( A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o  \/  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/) ) )
1817ord 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  f : A --> 2o )  /\  ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o ) )  ->  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o  ->  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/) ) )
1915, 18jca 304 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  f : A --> 2o )  /\  ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o ) )  ->  (DECID  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
/\  ( -.  A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o  ->  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/) ) ) )
20 simprl 521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  f : A --> 2o )  /\  (DECID 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  /\  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) ) ) )  -> DECID  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o )
2120, 13sylib 121 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  f : A --> 2o )  /\  (DECID 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  /\  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) ) ) )  ->  ( A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o  \/  -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o ) )
22 simprr 522 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  f : A --> 2o )  /\  (DECID 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  /\  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) ) ) )  ->  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o  ->  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/) ) )
2322orim2d 778 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  f : A --> 2o )  /\  (DECID 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  /\  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) ) ) )  ->  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  \/  -.  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o )  ->  ( A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o  \/  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/) ) ) )
2421, 23mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  f : A --> 2o )  /\  (DECID 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  /\  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) ) ) )  ->  ( A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o  \/  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/) ) )
2524orcomd 719 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  f : A --> 2o )  /\  (DECID 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  /\  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) ) ) )  ->  ( E. x  e.  A  (
f `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o ) )
2619, 25impbida 586 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  f : A --> 2o )  ->  ( ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o )  <->  (DECID 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  /\  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) ) ) ) )
2726pm5.74da 440 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( f : A --> 2o  ->  ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o ) )  <->  ( f : A --> 2o  ->  (DECID  A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o  /\  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  ->  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/) ) ) ) ) )
2827albidv 1797 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. f ( f : A --> 2o  ->  ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o ) )  <->  A. f
( f : A --> 2o  ->  (DECID 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  /\  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) ) ) ) ) )
29 isomni 7015 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e. Omni  <->  A. f ( f : A --> 2o  ->  ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o ) ) ) )
30 iswomni 7046 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e. WOmni  <->  A. f ( f : A --> 2o  -> DECID  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o ) ) )
31 ismkv 7034 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e. Markov  <->  A. f ( f : A --> 2o  ->  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) ) ) ) )
3230, 31anbi12d 465 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( A  e. WOmni  /\  A  e. Markov )  <->  ( A. f
( f : A --> 2o  -> DECID  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o )  /\  A. f ( f : A --> 2o  ->  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) ) ) ) ) )
33 19.26 1458 . . . . 5  |-  ( A. f ( ( f : A --> 2o  -> DECID  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o )  /\  ( f : A --> 2o  ->  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) ) ) )  <->  ( A. f
( f : A --> 2o  -> DECID  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o )  /\  A. f ( f : A --> 2o  ->  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) ) ) ) )
3432, 33syl6bbr 197 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( A  e. WOmni  /\  A  e. Markov )  <->  A. f ( ( f : A --> 2o  -> DECID  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o )  /\  ( f : A --> 2o  ->  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) ) ) ) ) )
35 jcab 593 . . . . 5  |-  ( ( f : A --> 2o  ->  (DECID  A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o  /\  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  ->  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/) ) ) )  <-> 
( ( f : A --> 2o  -> DECID  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o )  /\  ( f : A --> 2o  ->  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  ->  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/) ) ) ) )
3635albii 1447 . . . 4  |-  ( A. f ( f : A --> 2o  ->  (DECID  A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o  /\  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  ->  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/) ) ) )  <->  A. f ( ( f : A --> 2o  -> DECID  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o )  /\  ( f : A --> 2o  ->  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) ) ) ) )
3734, 36syl6bbr 197 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( A  e. WOmni  /\  A  e. Markov )  <->  A. f ( f : A --> 2o  ->  (DECID  A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o  /\  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  ->  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/) ) ) ) ) )
3828, 29, 373bitr4d 219 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e. Omni  <->  ( A  e. WOmni  /\  A  e. Markov ) ) )
391, 3, 38pm5.21nii 694 1  |-  ( A  e. Omni 
<->  ( A  e. WOmni  /\  A  e. Markov ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698  DECID wdc 820   A.wal 1330    = wceq 1332    e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   _Vcvv 2689   (/)c0 3367   -->wf 5126   ` cfv 5130   1oc1o 6313   2oc2o 6314  Omnicomni 7011  Markovcmarkov 7032  WOmnicwomni 7044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-nul 4061
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3077  df-un 3079  df-nul 3368  df-sn 3537  df-suc 4300  df-fn 5133  df-f 5134  df-1o 6320  df-omni 7013  df-markov 7033  df-womni 7045
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