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Theorem omniwomnimkv 7155
Description: A set is omniscient if and only if it is weakly omniscient and Markov. The case  A  =  om says that LPO  <-> WLPO  /\ MP which is a remark following Definition 2.5 of [Pierik], p. 9. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
omniwomnimkv  |-  ( A  e. Omni 
<->  ( A  e. WOmni  /\  A  e. Markov ) )

Proof of Theorem omniwomnimkv
Dummy variables  f  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2746 . 2  |-  ( A  e. Omni  ->  A  e.  _V )
2 simpl 109 . . 3  |-  ( ( A  e. WOmni  /\  A  e. Markov
)  ->  A  e. WOmni )
32elexd 2748 . 2  |-  ( ( A  e. WOmni  /\  A  e. Markov
)  ->  A  e.  _V )
4 1n0 6423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  =/=  (/)
54nesymi 2391 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  (/)  =  1o
6 eqeq1 2182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  x )  =  (/)  ->  ( ( f `  x )  =  1o  <->  (/)  =  1o ) )
75, 6mtbiri 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  x )  =  (/)  ->  -.  (
f `  x )  =  1o )
87reximi 2572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/)  ->  E. x  e.  A  -.  (
f `  x )  =  1o )
9 rexnalim 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  A  -.  ( f `  x
)  =  1o  ->  -. 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o )
108, 9syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/)  ->  -.  A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o )
1110orim1i 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o )  ->  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o ) )
1211orcomd 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o )  ->  ( A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  \/  -.  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o ) )
13 df-dc 835 . . . . . . . . 9  |-  (DECID  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o  <->  ( A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  \/  -.  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o ) )
1412, 13sylibr 134 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o )  -> DECID  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o )
1514adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  f : A --> 2o )  /\  ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o ) )  -> DECID  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o )
16 simpr 110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  f : A --> 2o )  /\  ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o ) )  ->  ( E. x  e.  A  (
f `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o ) )
1716orcomd 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  f : A --> 2o )  /\  ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o ) )  ->  ( A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o  \/  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/) ) )
1817ord 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  f : A --> 2o )  /\  ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o ) )  ->  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o  ->  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/) ) )
1915, 18jca 306 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  f : A --> 2o )  /\  ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o ) )  ->  (DECID  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
/\  ( -.  A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o  ->  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/) ) ) )
20 simprl 529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  f : A --> 2o )  /\  (DECID 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  /\  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) ) ) )  -> DECID  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o )
2120, 13sylib 122 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  f : A --> 2o )  /\  (DECID 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  /\  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) ) ) )  ->  ( A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o  \/  -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o ) )
22 simprr 531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  f : A --> 2o )  /\  (DECID 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  /\  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) ) ) )  ->  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o  ->  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/) ) )
2322orim2d 788 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  f : A --> 2o )  /\  (DECID 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  /\  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) ) ) )  ->  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  \/  -.  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o )  ->  ( A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o  \/  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/) ) ) )
2421, 23mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  f : A --> 2o )  /\  (DECID 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  /\  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) ) ) )  ->  ( A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o  \/  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/) ) )
2524orcomd 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  f : A --> 2o )  /\  (DECID 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  /\  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) ) ) )  ->  ( E. x  e.  A  (
f `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o ) )
2619, 25impbida 596 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  f : A --> 2o )  ->  ( ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/)  \/  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o )  <->  (DECID 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  /\  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) ) ) ) )
2726pm5.74da 443 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( f : A --> 2o  ->  ( E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/)  \/ 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o ) )  <->  ( f : A --> 2o  ->  (DECID  A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o  /\  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  ->  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/) ) ) ) ) )
2827albidv 1822 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. f ( f : A --> 2o  ->  ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o ) )  <->  A. f
( f : A --> 2o  ->  (DECID 
A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  /\  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) ) ) ) ) )
29 isomni 7124 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e. Omni  <->  A. f ( f : A --> 2o  ->  ( E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/)  \/  A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o ) ) ) )
30 iswomni 7153 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e. WOmni  <->  A. f ( f : A --> 2o  -> DECID  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o ) ) )
31 ismkv 7141 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e. Markov  <->  A. f ( f : A --> 2o  ->  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) ) ) ) )
3230, 31anbi12d 473 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( A  e. WOmni  /\  A  e. Markov )  <->  ( A. f
( f : A --> 2o  -> DECID  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o )  /\  A. f ( f : A --> 2o  ->  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) ) ) ) ) )
33 19.26 1479 . . . . 5  |-  ( A. f ( ( f : A --> 2o  -> DECID  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o )  /\  ( f : A --> 2o  ->  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) ) ) )  <->  ( A. f
( f : A --> 2o  -> DECID  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o )  /\  A. f ( f : A --> 2o  ->  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) ) ) ) )
3432, 33bitr4di 198 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( A  e. WOmni  /\  A  e. Markov )  <->  A. f ( ( f : A --> 2o  -> DECID  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o )  /\  ( f : A --> 2o  ->  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) ) ) ) ) )
35 jcab 603 . . . . 5  |-  ( ( f : A --> 2o  ->  (DECID  A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o  /\  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  ->  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/) ) ) )  <-> 
( ( f : A --> 2o  -> DECID  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o )  /\  ( f : A --> 2o  ->  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  ->  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/) ) ) ) )
3635albii 1468 . . . 4  |-  ( A. f ( f : A --> 2o  ->  (DECID  A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o  /\  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  ->  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/) ) ) )  <->  A. f ( ( f : A --> 2o  -> DECID  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o )  /\  ( f : A --> 2o  ->  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  1o 
->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  (/) ) ) ) )
3734, 36bitr4di 198 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( A  e. WOmni  /\  A  e. Markov )  <->  A. f ( f : A --> 2o  ->  (DECID  A. x  e.  A  (
f `  x )  =  1o  /\  ( -.  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  1o  ->  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  (/) ) ) ) ) )
3828, 29, 373bitr4d 220 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e. Omni  <->  ( A  e. WOmni  /\  A  e. Markov ) ) )
391, 3, 38pm5.21nii 704 1  |-  ( A  e. Omni 
<->  ( A  e. WOmni  /\  A  e. Markov ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708  DECID wdc 834   A.wal 1351    = wceq 1353    e. wcel 2146   A.wral 2453   E.wrex 2454   _Vcvv 2735   (/)c0 3420   -->wf 5204   ` cfv 5208   1oc1o 6400   2oc2o 6401  Omnicomni 7122  Markovcmarkov 7139  WOmnicwomni 7151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-ext 2157  ax-nul 4124
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-dif 3129  df-un 3131  df-nul 3421  df-sn 3595  df-suc 4365  df-fn 5211  df-f 5212  df-1o 6407  df-omni 7123  df-markov 7140  df-womni 7152
This theorem is referenced by:  lpowlpo  7156
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