Theorem iswomnimap 7329

Description: The predicate of being weakly omniscient stated in terms of set exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
iswomnimap	|- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) )

Distinct variable groups:   A, f, x   f, V

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem iswomnimap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswomni 7328	. . 3 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f ( f : A --> 2o -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) )
2		2onn 6665	. . . . . 6 |- 2o e. om
3		elmapg 6806	. . . . . 6 |- ( ( 2o e. om /\ A e. V ) -> ( f e. ( 2o ^m A ) <-> f : A --> 2o ) )
4	2, 3	mpan 424	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( f e. ( 2o ^m A ) <-> f : A --> 2o ) )
5	4	imbi1d 231	. . . 4 |- ( A e. V -> ( ( f e. ( 2o ^m A ) -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) <-> ( f : A --> 2o -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) )
6	5	albidv 1870	. . 3 |- ( A e. V -> ( A. f ( f e. ( 2o ^m A ) -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) <-> A. f ( f : A --> 2o -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) )
7	1, 6	bitr4d 191	. 2 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f ( f e. ( 2o ^m A ) -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) )
8		df-ral 2513	. 2 |- ( A. f e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o <-> A. f ( f e. ( 2o ^m A ) -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) )
9	7, 8	bitr4di 198	1 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105  DECID wdc 839   A.wal 1393   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   omcom 4681   -->wf 5313   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   1oc1o 6553   2oc2o 6554   ^m cmap 6793  WOmnicwomni 7326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1o 6560  df-2o 6561  df-map 6795  df-womni 7327

This theorem is referenced by:  enwomnilem  7332  nninfdcinf  7334  nninfwlporlem  7336  nninfwlpoim  7342  nninfinfwlpo  7343  iswomninnlem  16376