Theorem iswomnimap 7092

Description: The predicate of being weakly omniscient stated in terms of set exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
iswomnimap	|- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) )

Distinct variable groups:   A, f, x   f, V

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem iswomnimap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswomni 7091	. . 3 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f ( f : A --> 2o -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) )
2		2onn 6461	. . . . . 6 |- 2o e. om
3		elmapg 6599	. . . . . 6 |- ( ( 2o e. om /\ A e. V ) -> ( f e. ( 2o ^m A ) <-> f : A --> 2o ) )
4	2, 3	mpan 421	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( f e. ( 2o ^m A ) <-> f : A --> 2o ) )
5	4	imbi1d 230	. . . 4 |- ( A e. V -> ( ( f e. ( 2o ^m A ) -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) <-> ( f : A --> 2o -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) )
6	5	albidv 1804	. . 3 |- ( A e. V -> ( A. f ( f e. ( 2o ^m A ) -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) <-> A. f ( f : A --> 2o -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) )
7	1, 6	bitr4d 190	. 2 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f ( f e. ( 2o ^m A ) -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) )
8		df-ral 2440	. 2 |- ( A. f e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o <-> A. f ( f e. ( 2o ^m A ) -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) )
9	7, 8	bitr4di 197	1 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104  DECID wdc 820   A.wal 1333   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   omcom 4547   -->wf 5163   ` cfv 5167  (class class class)co 5818   1oc1o 6350   2oc2o 6351   ^m cmap 6586  WOmnicwomni 7089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4252  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-fv 5175  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1o 6357  df-2o 6358  df-map 6588  df-womni 7090

This theorem is referenced by:  enwomnilem  7095  iswomninnlem  13582