Theorem iswomnimap 7164

Description: The predicate of being weakly omniscient stated in terms of set exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
iswomnimap	|- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) )

Distinct variable groups:   A, f, x   f, V

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem iswomnimap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswomni 7163	. . 3 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f ( f : A --> 2o -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) )
2		2onn 6522	. . . . . 6 |- 2o e. om
3		elmapg 6661	. . . . . 6 |- ( ( 2o e. om /\ A e. V ) -> ( f e. ( 2o ^m A ) <-> f : A --> 2o ) )
4	2, 3	mpan 424	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( f e. ( 2o ^m A ) <-> f : A --> 2o ) )
5	4	imbi1d 231	. . . 4 |- ( A e. V -> ( ( f e. ( 2o ^m A ) -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) <-> ( f : A --> 2o -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) )
6	5	albidv 1824	. . 3 |- ( A e. V -> ( A. f ( f e. ( 2o ^m A ) -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) <-> A. f ( f : A --> 2o -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) )
7	1, 6	bitr4d 191	. 2 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f ( f e. ( 2o ^m A ) -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) )
8		df-ral 2460	. 2 |- ( A. f e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o <-> A. f ( f e. ( 2o ^m A ) -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) )
9	7, 8	bitr4di 198	1 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105  DECID wdc 834   A.wal 1351   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   omcom 4590   -->wf 5213   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   1oc1o 6410   2oc2o 6411   ^m cmap 6648  WOmnicwomni 7161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1o 6417  df-2o 6418  df-map 6650  df-womni 7162

This theorem is referenced by:  enwomnilem  7167  nninfdcinf  7169  nninfwlporlem  7171  nninfwlpoim  7176  iswomninnlem  14800