Theorem iswomnimap 7227

Description: The predicate of being weakly omniscient stated in terms of set exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
iswomnimap	|- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) )

Distinct variable groups:   A, f, x   f, V

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem iswomnimap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswomni 7226	. . 3 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f ( f : A --> 2o -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) )
2		2onn 6576	. . . . . 6 |- 2o e. om
3		elmapg 6717	. . . . . 6 |- ( ( 2o e. om /\ A e. V ) -> ( f e. ( 2o ^m A ) <-> f : A --> 2o ) )
4	2, 3	mpan 424	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( f e. ( 2o ^m A ) <-> f : A --> 2o ) )
5	4	imbi1d 231	. . . 4 |- ( A e. V -> ( ( f e. ( 2o ^m A ) -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) <-> ( f : A --> 2o -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) )
6	5	albidv 1835	. . 3 |- ( A e. V -> ( A. f ( f e. ( 2o ^m A ) -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) <-> A. f ( f : A --> 2o -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) )
7	1, 6	bitr4d 191	. 2 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f ( f e. ( 2o ^m A ) -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) )
8		df-ral 2477	. 2 |- ( A. f e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o <-> A. f ( f e. ( 2o ^m A ) -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) )
9	7, 8	bitr4di 198	1 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105  DECID wdc 835   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   omcom 4623   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   1oc1o 6464   2oc2o 6465   ^m cmap 6704  WOmnicwomni 7224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1o 6471  df-2o 6472  df-map 6706  df-womni 7225

This theorem is referenced by:  enwomnilem  7230  nninfdcinf  7232  nninfwlporlem  7234  nninfwlpoim  7239  iswomninnlem  15609