Theorem iswomnimap 7268

Description: The predicate of being weakly omniscient stated in terms of set exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
iswomnimap	|- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) )

Distinct variable groups:   A, f, x   f, V

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem iswomnimap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswomni 7267	. . 3 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f ( f : A --> 2o -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) )
2		2onn 6607	. . . . . 6 |- 2o e. om
3		elmapg 6748	. . . . . 6 |- ( ( 2o e. om /\ A e. V ) -> ( f e. ( 2o ^m A ) <-> f : A --> 2o ) )
4	2, 3	mpan 424	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( f e. ( 2o ^m A ) <-> f : A --> 2o ) )
5	4	imbi1d 231	. . . 4 |- ( A e. V -> ( ( f e. ( 2o ^m A ) -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) <-> ( f : A --> 2o -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) )
6	5	albidv 1847	. . 3 |- ( A e. V -> ( A. f ( f e. ( 2o ^m A ) -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) <-> A. f ( f : A --> 2o -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) )
7	1, 6	bitr4d 191	. 2 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f ( f e. ( 2o ^m A ) -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) ) )
8		df-ral 2489	. 2 |- ( A. f e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o <-> A. f ( f e. ( 2o ^m A ) -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) )
9	7, 8	bitr4di 198	1 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105  DECID wdc 836   A.wal 1371   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   omcom 4638   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   1oc1o 6495   2oc2o 6496   ^m cmap 6735  WOmnicwomni 7265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1o 6502  df-2o 6503  df-map 6737  df-womni 7266

This theorem is referenced by:  enwomnilem  7271  nninfdcinf  7273  nninfwlporlem  7275  nninfwlpoim  7281  nninfinfwlpo  7282  iswomninnlem  15988