ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prmu Unicode version

Theorem prmu 7250
Description: A positive real's upper cut is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prmu  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  E. x  e.  Q.  x  e.  U )
Distinct variable groups:    x, L    x, U

Proof of Theorem prmu
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinp 7246 . 2  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P. 
<->  ( ( ( L 
C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. y  e.  Q.  y  e.  L  /\  E. x  e.  Q.  x  e.  U ) )  /\  ( ( A. y  e.  Q.  ( y  e.  L  <->  E. x  e.  Q.  ( y  <Q  x  /\  x  e.  L
) )  /\  A. x  e.  Q.  (
x  e.  U  <->  E. y  e.  Q.  ( y  <Q  x  /\  y  e.  U
) ) )  /\  A. y  e.  Q.  -.  ( y  e.  L  /\  y  e.  U
)  /\  A. y  e.  Q.  A. x  e. 
Q.  ( y  <Q  x  ->  ( y  e.  L  \/  x  e.  U ) ) ) ) )
2 simplrr 508 . 2  |-  ( ( ( ( L  C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. y  e.  Q.  y  e.  L  /\  E. x  e.  Q.  x  e.  U )
)  /\  ( ( A. y  e.  Q.  ( y  e.  L  <->  E. x  e.  Q.  (
y  <Q  x  /\  x  e.  L ) )  /\  A. x  e.  Q.  (
x  e.  U  <->  E. y  e.  Q.  ( y  <Q  x  /\  y  e.  U
) ) )  /\  A. y  e.  Q.  -.  ( y  e.  L  /\  y  e.  U
)  /\  A. y  e.  Q.  A. x  e. 
Q.  ( y  <Q  x  ->  ( y  e.  L  \/  x  e.  U ) ) ) )  ->  E. x  e.  Q.  x  e.  U
)
31, 2sylbi 120 1  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  E. x  e.  Q.  x  e.  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680    /\ w3a 945    e. wcel 1463   A.wral 2391   E.wrex 2392    C_ wss 3039   <.cop 3498   class class class wbr 3897   Q.cnq 7052    <Q cltq 7057   P.cnp 7063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-qs 6401  df-ni 7076  df-nqqs 7120  df-inp 7238
This theorem is referenced by:  prarloc  7275  genpmu  7290  ltexprlemm  7372  ltexprlemloc  7379  recexprlemm  7396  archpr  7415  caucvgprprlemmu  7467  suplocexprlemmu  7490
  Copyright terms: Public domain W3C validator