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Theorem ltexprlemm 7159
Description: Our constructed difference is inhabited. Lemma for ltexpri 7172. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1  |-  C  = 
<. { x  e.  Q.  |  E. y ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  x )  e.  ( 1st `  B ) ) } ,  {
x  e.  Q.  |  E. y ( y  e.  ( 1st `  A
)  /\  ( y  +Q  x )  e.  ( 2nd `  B ) ) } >.
Assertion
Ref Expression
ltexprlemm  |-  ( A 
<P  B  ->  ( E. q  e.  Q.  q  e.  ( 1st `  C
)  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  ( 2nd `  C ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, q, r, A    x, B, y, q, r    x, C, y, q, r

Proof of Theorem ltexprlemm
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelpr 7064 . . . . . . . . 9  |-  <P  C_  ( P.  X.  P. )
21brel 4490 . . . . . . . 8  |-  ( A 
<P  B  ->  ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. ) )
3 ltdfpr 7065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  <P  B  <->  E. y  e.  Q.  ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  y  e.  ( 1st `  B ) ) ) )
43biimpd 142 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  <P  B  ->  E. y  e.  Q.  ( y  e.  ( 2nd `  A )  /\  y  e.  ( 1st `  B ) ) ) )
52, 4mpcom 36 . . . . . . 7  |-  ( A 
<P  B  ->  E. y  e.  Q.  ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  y  e.  ( 1st `  B ) ) )
6 simprrl 506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  <P  B  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( y  e.  ( 2nd `  A )  /\  y  e.  ( 1st `  B ) ) ) )  -> 
y  e.  ( 2nd `  A ) )
72simprd 112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
<P  B  ->  B  e. 
P. )
8 prop 7034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  P.  ->  <. ( 1st `  B ) ,  ( 2nd `  B
) >.  e.  P. )
9 prnmaxl 7047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
<. ( 1st `  B
) ,  ( 2nd `  B ) >.  e.  P.  /\  y  e.  ( 1st `  B ) )  ->  E. w  e.  ( 1st `  B ) y 
<Q  w )
108, 9sylan 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  P.  /\  y  e.  ( 1st `  B ) )  ->  E. w  e.  ( 1st `  B ) y 
<Q  w )
11 ltexnqi 6968 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y 
<Q  w  ->  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q )  =  w )
1211reximi 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. w  e.  ( 1st `  B ) y  <Q  w  ->  E. w  e.  ( 1st `  B ) E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q
)  =  w )
1310, 12syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  P.  /\  y  e.  ( 1st `  B ) )  ->  E. w  e.  ( 1st `  B ) E. q  e.  Q.  (
y  +Q  q )  =  w )
14 df-rex 2365 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. w  e.  ( 1st `  B ) E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q )  =  w  <->  E. w ( w  e.  ( 1st `  B
)  /\  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q )  =  w ) )
1513, 14sylib 120 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  P.  /\  y  e.  ( 1st `  B ) )  ->  E. w ( w  e.  ( 1st `  B
)  /\  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q )  =  w ) )
16 r19.42v 2524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. q  e.  Q.  (
w  e.  ( 1st `  B )  /\  (
y  +Q  q )  =  w )  <->  ( w  e.  ( 1st `  B
)  /\  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q )  =  w ) )
1716exbii 1541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. w E. q  e. 
Q.  ( w  e.  ( 1st `  B
)  /\  ( y  +Q  q )  =  w )  <->  E. w ( w  e.  ( 1st `  B
)  /\  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q )  =  w ) )
1815, 17sylibr 132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  P.  /\  y  e.  ( 1st `  B ) )  ->  E. w E. q  e. 
Q.  ( w  e.  ( 1st `  B
)  /\  ( y  +Q  q )  =  w ) )
19 eleq1 2150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  +Q  q )  =  w  ->  (
( y  +Q  q
)  e.  ( 1st `  B )  <->  w  e.  ( 1st `  B ) ) )
2019biimparc 293 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  ( 1st `  B )  /\  (
y  +Q  q )  =  w )  -> 
( y  +Q  q
)  e.  ( 1st `  B ) )
2120reximi 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. q  e.  Q.  (
w  e.  ( 1st `  B )  /\  (
y  +Q  q )  =  w )  ->  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q
)  e.  ( 1st `  B ) )
2221exlimiv 1534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. w E. q  e. 
Q.  ( w  e.  ( 1st `  B
)  /\  ( y  +Q  q )  =  w )  ->  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) )
2318, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  P.  /\  y  e.  ( 1st `  B ) )  ->  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q
)  e.  ( 1st `  B ) )
247, 23sylan 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  <P  B  /\  y  e.  ( 1st `  B ) )  ->  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q
)  e.  ( 1st `  B ) )
2524adantrl 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  <P  B  /\  ( y  e.  ( 2nd `  A )  /\  y  e.  ( 1st `  B ) ) )  ->  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) )
2625adantrl 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  <P  B  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( y  e.  ( 2nd `  A )  /\  y  e.  ( 1st `  B ) ) ) )  ->  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q
)  e.  ( 1st `  B ) )
276, 26jca 300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  <P  B  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( y  e.  ( 2nd `  A )  /\  y  e.  ( 1st `  B ) ) ) )  -> 
( y  e.  ( 2nd `  A )  /\  E. q  e. 
Q.  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) )
2827expr 367 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  <P  B  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  y  e.  ( 1st `  B ) )  ->  ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) ) )
2928reximdva 2475 . . . . . . 7  |-  ( A 
<P  B  ->  ( E. y  e.  Q.  (
y  e.  ( 2nd `  A )  /\  y  e.  ( 1st `  B
) )  ->  E. y  e.  Q.  ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) ) )
305, 29mpd 13 . . . . . 6  |-  ( A 
<P  B  ->  E. y  e.  Q.  ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) )
31 r19.42v 2524 . . . . . . 7  |-  ( E. q  e.  Q.  (
y  e.  ( 2nd `  A )  /\  (
y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B
) )  <->  ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) )
3231rexbii 2385 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  Q.  E. q  e.  Q.  (
y  e.  ( 2nd `  A )  /\  (
y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B
) )  <->  E. y  e.  Q.  ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) )
3330, 32sylibr 132 . . . . 5  |-  ( A 
<P  B  ->  E. y  e.  Q.  E. q  e. 
Q.  ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) )
34 rexcom 2531 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  Q.  E. q  e.  Q.  (
y  e.  ( 2nd `  A )  /\  (
y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B
) )  <->  E. q  e.  Q.  E. y  e. 
Q.  ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) )
3533, 34sylib 120 . . . 4  |-  ( A 
<P  B  ->  E. q  e.  Q.  E. y  e. 
Q.  ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) )
362simpld 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
<P  B  ->  A  e. 
P. )
37 prop 7034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  P.  ->  <. ( 1st `  A ) ,  ( 2nd `  A
) >.  e.  P. )
38 elprnqu 7041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
<. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  /\  y  e.  ( 2nd `  A ) )  -> 
y  e.  Q. )
3937, 38sylan 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  P.  /\  y  e.  ( 2nd `  A ) )  -> 
y  e.  Q. )
4036, 39sylan 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  <P  B  /\  y  e.  ( 2nd `  A ) )  -> 
y  e.  Q. )
4140ex 113 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
<P  B  ->  ( y  e.  ( 2nd `  A
)  ->  y  e.  Q. ) )
4241pm4.71rd 386 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
<P  B  ->  ( y  e.  ( 2nd `  A
)  <->  ( y  e. 
Q.  /\  y  e.  ( 2nd `  A ) ) ) )
4342anbi1d 453 . . . . . . . 8  |-  ( A 
<P  B  ->  ( ( y  e.  ( 2nd `  A )  /\  (
y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B
) )  <->  ( (
y  e.  Q.  /\  y  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  ( y  +Q  q
)  e.  ( 1st `  B ) ) ) )
44 anass 393 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Q.  /\  y  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  ( y  +Q  q
)  e.  ( 1st `  B ) )  <->  ( y  e.  Q.  /\  ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) ) )
4543, 44syl6bb 194 . . . . . . 7  |-  ( A 
<P  B  ->  ( ( y  e.  ( 2nd `  A )  /\  (
y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B
) )  <->  ( y  e.  Q.  /\  ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) ) ) )
4645exbidv 1753 . . . . . 6  |-  ( A 
<P  B  ->  ( E. y ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) )  <->  E. y ( y  e.  Q.  /\  (
y  e.  ( 2nd `  A )  /\  (
y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B
) ) ) ) )
4746rexbidv 2381 . . . . 5  |-  ( A 
<P  B  ->  ( E. q  e.  Q.  E. y ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) )  <->  E. q  e.  Q.  E. y ( y  e. 
Q.  /\  ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) ) ) )
48 df-rex 2365 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  Q.  (
y  e.  ( 2nd `  A )  /\  (
y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B
) )  <->  E. y
( y  e.  Q.  /\  ( y  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) ) )
4948rexbii 2385 . . . . 5  |-  ( E. q  e.  Q.  E. y  e.  Q.  (
y  e.  ( 2nd `  A )  /\  (
y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B
) )  <->  E. q  e.  Q.  E. y ( y  e.  Q.  /\  ( y  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) ) )
5047, 49syl6bbr 196 . . . 4  |-  ( A 
<P  B  ->  ( E. q  e.  Q.  E. y ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) )  <->  E. q  e.  Q.  E. y  e.  Q.  (
y  e.  ( 2nd `  A )  /\  (
y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B
) ) ) )
5135, 50mpbird 165 . . 3  |-  ( A 
<P  B  ->  E. q  e.  Q.  E. y ( y  e.  ( 2nd `  A )  /\  (
y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B
) ) )
52 ltexprlem.1 . . . . . 6  |-  C  = 
<. { x  e.  Q.  |  E. y ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  x )  e.  ( 1st `  B ) ) } ,  {
x  e.  Q.  |  E. y ( y  e.  ( 1st `  A
)  /\  ( y  +Q  x )  e.  ( 2nd `  B ) ) } >.
5352ltexprlemell 7157 . . . . 5  |-  ( q  e.  ( 1st `  C
)  <->  ( q  e. 
Q.  /\  E. y
( y  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) ) )
5453rexbii 2385 . . . 4  |-  ( E. q  e.  Q.  q  e.  ( 1st `  C
)  <->  E. q  e.  Q.  ( q  e.  Q.  /\ 
E. y ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) ) )
55 ssid 3044 . . . . 5  |-  Q.  C_  Q.
56 rexss 3088 . . . . 5  |-  ( Q.  C_  Q.  ->  ( E. q  e.  Q.  E. y
( y  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) )  <->  E. q  e.  Q.  ( q  e.  Q.  /\ 
E. y ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) ) ) )
5755, 56ax-mp 7 . . . 4  |-  ( E. q  e.  Q.  E. y ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) )  <->  E. q  e.  Q.  ( q  e.  Q.  /\ 
E. y ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) ) )
5854, 57bitr4i 185 . . 3  |-  ( E. q  e.  Q.  q  e.  ( 1st `  C
)  <->  E. q  e.  Q.  E. y ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) )
5951, 58sylibr 132 . 2  |-  ( A 
<P  B  ->  E. q  e.  Q.  q  e.  ( 1st `  C ) )
60 nfv 1466 . . 3  |-  F/ r  A  <P  B
61 nfre1 2419 . . 3  |-  F/ r E. r  e.  Q.  r  e.  ( 2nd `  C )
62 prmu 7037 . . . . 5  |-  ( <.
( 1st `  B
) ,  ( 2nd `  B ) >.  e.  P.  ->  E. r  e.  Q.  r  e.  ( 2nd `  B ) )
63 rexex 2422 . . . . 5  |-  ( E. r  e.  Q.  r  e.  ( 2nd `  B
)  ->  E. r 
r  e.  ( 2nd `  B ) )
6462, 63syl 14 . . . 4  |-  ( <.
( 1st `  B
) ,  ( 2nd `  B ) >.  e.  P.  ->  E. r  r  e.  ( 2nd `  B
) )
657, 8, 643syl 17 . . 3  |-  ( A 
<P  B  ->  E. r 
r  e.  ( 2nd `  B ) )
66 elprnqu 7041 . . . . . . 7  |-  ( (
<. ( 1st `  B
) ,  ( 2nd `  B ) >.  e.  P.  /\  r  e.  ( 2nd `  B ) )  -> 
r  e.  Q. )
678, 66sylan 277 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  P.  /\  r  e.  ( 2nd `  B ) )  -> 
r  e.  Q. )
687, 67sylan 277 . . . . 5  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B ) )  -> 
r  e.  Q. )
69 prml 7036 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  ->  E. y  e.  Q.  y  e.  ( 1st `  A ) )
7037, 69syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  P.  ->  E. y  e.  Q.  y  e.  ( 1st `  A ) )
71 rexex 2422 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  Q.  y  e.  ( 1st `  A
)  ->  E. y 
y  e.  ( 1st `  A ) )
7236, 70, 713syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A 
<P  B  ->  E. y 
y  e.  ( 1st `  A ) )
7372adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B ) )  ->  E. y  y  e.  ( 1st `  A ) )
74683adant3 963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B )  /\  y  e.  ( 1st `  A
) )  ->  r  e.  Q. )
75 simp3 945 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B )  /\  y  e.  ( 1st `  A
) )  ->  y  e.  ( 1st `  A
) )
76 elprnql 7040 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  /\  y  e.  ( 1st `  A ) )  -> 
y  e.  Q. )
7737, 76sylan 277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  P.  /\  y  e.  ( 1st `  A ) )  -> 
y  e.  Q. )
7836, 77sylan 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  <P  B  /\  y  e.  ( 1st `  A ) )  -> 
y  e.  Q. )
79783adant2 962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B )  /\  y  e.  ( 1st `  A
) )  ->  y  e.  Q. )
80 addcomnqg 6940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( r  +Q  y
)  =  ( y  +Q  r ) )
8174, 79, 80syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B )  /\  y  e.  ( 1st `  A
) )  ->  (
r  +Q  y )  =  ( y  +Q  r ) )
82 ltaddnq 6966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  r  <Q  ( r  +Q  y ) )
8374, 79, 82syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B )  /\  y  e.  ( 1st `  A
) )  ->  r  <Q  ( r  +Q  y
) )
84 prcunqu 7044 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. ( 1st `  B
) ,  ( 2nd `  B ) >.  e.  P.  /\  r  e.  ( 2nd `  B ) )  -> 
( r  <Q  (
r  +Q  y )  ->  ( r  +Q  y )  e.  ( 2nd `  B ) ) )
858, 84sylan 277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  P.  /\  r  e.  ( 2nd `  B ) )  -> 
( r  <Q  (
r  +Q  y )  ->  ( r  +Q  y )  e.  ( 2nd `  B ) ) )
867, 85sylan 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B ) )  -> 
( r  <Q  (
r  +Q  y )  ->  ( r  +Q  y )  e.  ( 2nd `  B ) ) )
87863adant3 963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B )  /\  y  e.  ( 1st `  A
) )  ->  (
r  <Q  ( r  +Q  y )  ->  (
r  +Q  y )  e.  ( 2nd `  B
) ) )
8883, 87mpd 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B )  /\  y  e.  ( 1st `  A
) )  ->  (
r  +Q  y )  e.  ( 2nd `  B
) )
8981, 88eqeltrrd 2165 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B )  /\  y  e.  ( 1st `  A
) )  ->  (
y  +Q  r )  e.  ( 2nd `  B
) )
90 19.8a 1527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( 1st `  A )  /\  (
y  +Q  r )  e.  ( 2nd `  B
) )  ->  E. y
( y  e.  ( 1st `  A )  /\  ( y  +Q  r )  e.  ( 2nd `  B ) ) )
9175, 89, 90syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B )  /\  y  e.  ( 1st `  A
) )  ->  E. y
( y  e.  ( 1st `  A )  /\  ( y  +Q  r )  e.  ( 2nd `  B ) ) )
9274, 91jca 300 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B )  /\  y  e.  ( 1st `  A
) )  ->  (
r  e.  Q.  /\  E. y ( y  e.  ( 1st `  A
)  /\  ( y  +Q  r )  e.  ( 2nd `  B ) ) ) )
9352ltexprlemelu 7158 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  ( 2nd `  C
)  <->  ( r  e. 
Q.  /\  E. y
( y  e.  ( 1st `  A )  /\  ( y  +Q  r )  e.  ( 2nd `  B ) ) ) )
9492, 93sylibr 132 . . . . . . 7  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B )  /\  y  e.  ( 1st `  A
) )  ->  r  e.  ( 2nd `  C
) )
95943expa 1143 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B ) )  /\  y  e.  ( 1st `  A ) )  -> 
r  e.  ( 2nd `  C ) )
9673, 95exlimddv 1826 . . . . 5  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B ) )  -> 
r  e.  ( 2nd `  C ) )
97 19.8a 1527 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  Q.  /\  r  e.  ( 2nd `  C ) )  ->  E. r ( r  e. 
Q.  /\  r  e.  ( 2nd `  C ) ) )
9868, 96, 97syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B ) )  ->  E. r ( r  e. 
Q.  /\  r  e.  ( 2nd `  C ) ) )
99 df-rex 2365 . . . 4  |-  ( E. r  e.  Q.  r  e.  ( 2nd `  C
)  <->  E. r ( r  e.  Q.  /\  r  e.  ( 2nd `  C
) ) )
10098, 99sylibr 132 . . 3  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B ) )  ->  E. r  e.  Q.  r  e.  ( 2nd `  C ) )
10160, 61, 65, 100exlimdd 1800 . 2  |-  ( A 
<P  B  ->  E. r  e.  Q.  r  e.  ( 2nd `  C ) )
10259, 101jca 300 1  |-  ( A 
<P  B  ->  ( E. q  e.  Q.  q  e.  ( 1st `  C
)  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  ( 2nd `  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   E.wrex 2360   {crab 2363    C_ wss 2999   <.cop 3449   class class class wbr 3845   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   1stc1st 5909   2ndc2nd 5910   Q.cnq 6839    +Q cplq 6841    <Q cltq 6844   P.cnp 6850    <P cltp 6854
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-eprel 4116  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-er 6292  df-ec 6294  df-qs 6298  df-ni 6863  df-pli 6864  df-mi 6865  df-lti 6866  df-plpq 6903  df-mpq 6904  df-enq 6906  df-nqqs 6907  df-plqqs 6908  df-mqqs 6909  df-1nqqs 6910  df-ltnqqs 6912  df-inp 7025  df-iltp 7029
This theorem is referenced by:  ltexprlempr  7167
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