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Theorem ltexprlemm 7372
Description: Our constructed difference is inhabited. Lemma for ltexpri 7385. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1  |-  C  = 
<. { x  e.  Q.  |  E. y ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  x )  e.  ( 1st `  B ) ) } ,  {
x  e.  Q.  |  E. y ( y  e.  ( 1st `  A
)  /\  ( y  +Q  x )  e.  ( 2nd `  B ) ) } >.
Assertion
Ref Expression
ltexprlemm  |-  ( A 
<P  B  ->  ( E. q  e.  Q.  q  e.  ( 1st `  C
)  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  ( 2nd `  C ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, q, r, A    x, B, y, q, r    x, C, y, q, r

Proof of Theorem ltexprlemm
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelpr 7277 . . . . . . . . 9  |-  <P  C_  ( P.  X.  P. )
21brel 4559 . . . . . . . 8  |-  ( A 
<P  B  ->  ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. ) )
3 ltdfpr 7278 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  <P  B  <->  E. y  e.  Q.  ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  y  e.  ( 1st `  B ) ) ) )
43biimpd 143 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  <P  B  ->  E. y  e.  Q.  ( y  e.  ( 2nd `  A )  /\  y  e.  ( 1st `  B ) ) ) )
52, 4mpcom 36 . . . . . . 7  |-  ( A 
<P  B  ->  E. y  e.  Q.  ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  y  e.  ( 1st `  B ) ) )
6 simprrl 511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  <P  B  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( y  e.  ( 2nd `  A )  /\  y  e.  ( 1st `  B ) ) ) )  -> 
y  e.  ( 2nd `  A ) )
72simprd 113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
<P  B  ->  B  e. 
P. )
8 prop 7247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  P.  ->  <. ( 1st `  B ) ,  ( 2nd `  B
) >.  e.  P. )
9 prnmaxl 7260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
<. ( 1st `  B
) ,  ( 2nd `  B ) >.  e.  P.  /\  y  e.  ( 1st `  B ) )  ->  E. w  e.  ( 1st `  B ) y 
<Q  w )
108, 9sylan 279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  P.  /\  y  e.  ( 1st `  B ) )  ->  E. w  e.  ( 1st `  B ) y 
<Q  w )
11 ltexnqi 7181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y 
<Q  w  ->  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q )  =  w )
1211reximi 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. w  e.  ( 1st `  B ) y  <Q  w  ->  E. w  e.  ( 1st `  B ) E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q
)  =  w )
1310, 12syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  P.  /\  y  e.  ( 1st `  B ) )  ->  E. w  e.  ( 1st `  B ) E. q  e.  Q.  (
y  +Q  q )  =  w )
14 df-rex 2397 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. w  e.  ( 1st `  B ) E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q )  =  w  <->  E. w ( w  e.  ( 1st `  B
)  /\  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q )  =  w ) )
1513, 14sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  P.  /\  y  e.  ( 1st `  B ) )  ->  E. w ( w  e.  ( 1st `  B
)  /\  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q )  =  w ) )
16 r19.42v 2563 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. q  e.  Q.  (
w  e.  ( 1st `  B )  /\  (
y  +Q  q )  =  w )  <->  ( w  e.  ( 1st `  B
)  /\  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q )  =  w ) )
1716exbii 1567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. w E. q  e. 
Q.  ( w  e.  ( 1st `  B
)  /\  ( y  +Q  q )  =  w )  <->  E. w ( w  e.  ( 1st `  B
)  /\  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q )  =  w ) )
1815, 17sylibr 133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  P.  /\  y  e.  ( 1st `  B ) )  ->  E. w E. q  e. 
Q.  ( w  e.  ( 1st `  B
)  /\  ( y  +Q  q )  =  w ) )
19 eleq1 2178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  +Q  q )  =  w  ->  (
( y  +Q  q
)  e.  ( 1st `  B )  <->  w  e.  ( 1st `  B ) ) )
2019biimparc 295 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  ( 1st `  B )  /\  (
y  +Q  q )  =  w )  -> 
( y  +Q  q
)  e.  ( 1st `  B ) )
2120reximi 2504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. q  e.  Q.  (
w  e.  ( 1st `  B )  /\  (
y  +Q  q )  =  w )  ->  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q
)  e.  ( 1st `  B ) )
2221exlimiv 1560 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. w E. q  e. 
Q.  ( w  e.  ( 1st `  B
)  /\  ( y  +Q  q )  =  w )  ->  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) )
2318, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  P.  /\  y  e.  ( 1st `  B ) )  ->  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q
)  e.  ( 1st `  B ) )
247, 23sylan 279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  <P  B  /\  y  e.  ( 1st `  B ) )  ->  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q
)  e.  ( 1st `  B ) )
2524adantrl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  <P  B  /\  ( y  e.  ( 2nd `  A )  /\  y  e.  ( 1st `  B ) ) )  ->  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) )
2625adantrl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  <P  B  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( y  e.  ( 2nd `  A )  /\  y  e.  ( 1st `  B ) ) ) )  ->  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q
)  e.  ( 1st `  B ) )
276, 26jca 302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  <P  B  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( y  e.  ( 2nd `  A )  /\  y  e.  ( 1st `  B ) ) ) )  -> 
( y  e.  ( 2nd `  A )  /\  E. q  e. 
Q.  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) )
2827expr 370 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  <P  B  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  y  e.  ( 1st `  B ) )  ->  ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) ) )
2928reximdva 2509 . . . . . . 7  |-  ( A 
<P  B  ->  ( E. y  e.  Q.  (
y  e.  ( 2nd `  A )  /\  y  e.  ( 1st `  B
) )  ->  E. y  e.  Q.  ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) ) )
305, 29mpd 13 . . . . . 6  |-  ( A 
<P  B  ->  E. y  e.  Q.  ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) )
31 r19.42v 2563 . . . . . . 7  |-  ( E. q  e.  Q.  (
y  e.  ( 2nd `  A )  /\  (
y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B
) )  <->  ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) )
3231rexbii 2417 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  Q.  E. q  e.  Q.  (
y  e.  ( 2nd `  A )  /\  (
y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B
) )  <->  E. y  e.  Q.  ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  E. q  e.  Q.  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) )
3330, 32sylibr 133 . . . . 5  |-  ( A 
<P  B  ->  E. y  e.  Q.  E. q  e. 
Q.  ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) )
34 rexcom 2570 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  Q.  E. q  e.  Q.  (
y  e.  ( 2nd `  A )  /\  (
y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B
) )  <->  E. q  e.  Q.  E. y  e. 
Q.  ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) )
3533, 34sylib 121 . . . 4  |-  ( A 
<P  B  ->  E. q  e.  Q.  E. y  e. 
Q.  ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) )
362simpld 111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
<P  B  ->  A  e. 
P. )
37 prop 7247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  P.  ->  <. ( 1st `  A ) ,  ( 2nd `  A
) >.  e.  P. )
38 elprnqu 7254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
<. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  /\  y  e.  ( 2nd `  A ) )  -> 
y  e.  Q. )
3937, 38sylan 279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  P.  /\  y  e.  ( 2nd `  A ) )  -> 
y  e.  Q. )
4036, 39sylan 279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  <P  B  /\  y  e.  ( 2nd `  A ) )  -> 
y  e.  Q. )
4140ex 114 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
<P  B  ->  ( y  e.  ( 2nd `  A
)  ->  y  e.  Q. ) )
4241pm4.71rd 389 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
<P  B  ->  ( y  e.  ( 2nd `  A
)  <->  ( y  e. 
Q.  /\  y  e.  ( 2nd `  A ) ) ) )
4342anbi1d 458 . . . . . . . 8  |-  ( A 
<P  B  ->  ( ( y  e.  ( 2nd `  A )  /\  (
y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B
) )  <->  ( (
y  e.  Q.  /\  y  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  ( y  +Q  q
)  e.  ( 1st `  B ) ) ) )
44 anass 396 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Q.  /\  y  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  ( y  +Q  q
)  e.  ( 1st `  B ) )  <->  ( y  e.  Q.  /\  ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) ) )
4543, 44syl6bb 195 . . . . . . 7  |-  ( A 
<P  B  ->  ( ( y  e.  ( 2nd `  A )  /\  (
y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B
) )  <->  ( y  e.  Q.  /\  ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) ) ) )
4645exbidv 1779 . . . . . 6  |-  ( A 
<P  B  ->  ( E. y ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) )  <->  E. y ( y  e.  Q.  /\  (
y  e.  ( 2nd `  A )  /\  (
y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B
) ) ) ) )
4746rexbidv 2413 . . . . 5  |-  ( A 
<P  B  ->  ( E. q  e.  Q.  E. y ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) )  <->  E. q  e.  Q.  E. y ( y  e. 
Q.  /\  ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) ) ) )
48 df-rex 2397 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  Q.  (
y  e.  ( 2nd `  A )  /\  (
y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B
) )  <->  E. y
( y  e.  Q.  /\  ( y  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) ) )
4948rexbii 2417 . . . . 5  |-  ( E. q  e.  Q.  E. y  e.  Q.  (
y  e.  ( 2nd `  A )  /\  (
y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B
) )  <->  E. q  e.  Q.  E. y ( y  e.  Q.  /\  ( y  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) ) )
5047, 49syl6bbr 197 . . . 4  |-  ( A 
<P  B  ->  ( E. q  e.  Q.  E. y ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) )  <->  E. q  e.  Q.  E. y  e.  Q.  (
y  e.  ( 2nd `  A )  /\  (
y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B
) ) ) )
5135, 50mpbird 166 . . 3  |-  ( A 
<P  B  ->  E. q  e.  Q.  E. y ( y  e.  ( 2nd `  A )  /\  (
y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B
) ) )
52 ltexprlem.1 . . . . . 6  |-  C  = 
<. { x  e.  Q.  |  E. y ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  x )  e.  ( 1st `  B ) ) } ,  {
x  e.  Q.  |  E. y ( y  e.  ( 1st `  A
)  /\  ( y  +Q  x )  e.  ( 2nd `  B ) ) } >.
5352ltexprlemell 7370 . . . . 5  |-  ( q  e.  ( 1st `  C
)  <->  ( q  e. 
Q.  /\  E. y
( y  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) ) )
5453rexbii 2417 . . . 4  |-  ( E. q  e.  Q.  q  e.  ( 1st `  C
)  <->  E. q  e.  Q.  ( q  e.  Q.  /\ 
E. y ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) ) )
55 ssid 3085 . . . . 5  |-  Q.  C_  Q.
56 rexss 3132 . . . . 5  |-  ( Q.  C_  Q.  ->  ( E. q  e.  Q.  E. y
( y  e.  ( 2nd `  A )  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) )  <->  E. q  e.  Q.  ( q  e.  Q.  /\ 
E. y ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) ) ) )
5755, 56ax-mp 5 . . . 4  |-  ( E. q  e.  Q.  E. y ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) )  <->  E. q  e.  Q.  ( q  e.  Q.  /\ 
E. y ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) ) )
5854, 57bitr4i 186 . . 3  |-  ( E. q  e.  Q.  q  e.  ( 1st `  C
)  <->  E. q  e.  Q.  E. y ( y  e.  ( 2nd `  A
)  /\  ( y  +Q  q )  e.  ( 1st `  B ) ) )
5951, 58sylibr 133 . 2  |-  ( A 
<P  B  ->  E. q  e.  Q.  q  e.  ( 1st `  C ) )
60 nfv 1491 . . 3  |-  F/ r  A  <P  B
61 nfre1 2451 . . 3  |-  F/ r E. r  e.  Q.  r  e.  ( 2nd `  C )
62 prmu 7250 . . . . 5  |-  ( <.
( 1st `  B
) ,  ( 2nd `  B ) >.  e.  P.  ->  E. r  e.  Q.  r  e.  ( 2nd `  B ) )
63 rexex 2454 . . . . 5  |-  ( E. r  e.  Q.  r  e.  ( 2nd `  B
)  ->  E. r 
r  e.  ( 2nd `  B ) )
6462, 63syl 14 . . . 4  |-  ( <.
( 1st `  B
) ,  ( 2nd `  B ) >.  e.  P.  ->  E. r  r  e.  ( 2nd `  B
) )
657, 8, 643syl 17 . . 3  |-  ( A 
<P  B  ->  E. r 
r  e.  ( 2nd `  B ) )
66 elprnqu 7254 . . . . . . 7  |-  ( (
<. ( 1st `  B
) ,  ( 2nd `  B ) >.  e.  P.  /\  r  e.  ( 2nd `  B ) )  -> 
r  e.  Q. )
678, 66sylan 279 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  P.  /\  r  e.  ( 2nd `  B ) )  -> 
r  e.  Q. )
687, 67sylan 279 . . . . 5  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B ) )  -> 
r  e.  Q. )
69 prml 7249 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  ->  E. y  e.  Q.  y  e.  ( 1st `  A ) )
7037, 69syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  P.  ->  E. y  e.  Q.  y  e.  ( 1st `  A ) )
71 rexex 2454 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  Q.  y  e.  ( 1st `  A
)  ->  E. y 
y  e.  ( 1st `  A ) )
7236, 70, 713syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A 
<P  B  ->  E. y 
y  e.  ( 1st `  A ) )
7372adantr 272 . . . . . 6  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B ) )  ->  E. y  y  e.  ( 1st `  A ) )
74683adant3 984 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B )  /\  y  e.  ( 1st `  A
) )  ->  r  e.  Q. )
75 simp3 966 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B )  /\  y  e.  ( 1st `  A
) )  ->  y  e.  ( 1st `  A
) )
76 elprnql 7253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  /\  y  e.  ( 1st `  A ) )  -> 
y  e.  Q. )
7737, 76sylan 279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  P.  /\  y  e.  ( 1st `  A ) )  -> 
y  e.  Q. )
7836, 77sylan 279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  <P  B  /\  y  e.  ( 1st `  A ) )  -> 
y  e.  Q. )
79783adant2 983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B )  /\  y  e.  ( 1st `  A
) )  ->  y  e.  Q. )
80 addcomnqg 7153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( r  +Q  y
)  =  ( y  +Q  r ) )
8174, 79, 80syl2anc 406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B )  /\  y  e.  ( 1st `  A
) )  ->  (
r  +Q  y )  =  ( y  +Q  r ) )
82 ltaddnq 7179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  r  <Q  ( r  +Q  y ) )
8374, 79, 82syl2anc 406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B )  /\  y  e.  ( 1st `  A
) )  ->  r  <Q  ( r  +Q  y
) )
84 prcunqu 7257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. ( 1st `  B
) ,  ( 2nd `  B ) >.  e.  P.  /\  r  e.  ( 2nd `  B ) )  -> 
( r  <Q  (
r  +Q  y )  ->  ( r  +Q  y )  e.  ( 2nd `  B ) ) )
858, 84sylan 279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  P.  /\  r  e.  ( 2nd `  B ) )  -> 
( r  <Q  (
r  +Q  y )  ->  ( r  +Q  y )  e.  ( 2nd `  B ) ) )
867, 85sylan 279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B ) )  -> 
( r  <Q  (
r  +Q  y )  ->  ( r  +Q  y )  e.  ( 2nd `  B ) ) )
87863adant3 984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B )  /\  y  e.  ( 1st `  A
) )  ->  (
r  <Q  ( r  +Q  y )  ->  (
r  +Q  y )  e.  ( 2nd `  B
) ) )
8883, 87mpd 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B )  /\  y  e.  ( 1st `  A
) )  ->  (
r  +Q  y )  e.  ( 2nd `  B
) )
8981, 88eqeltrrd 2193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B )  /\  y  e.  ( 1st `  A
) )  ->  (
y  +Q  r )  e.  ( 2nd `  B
) )
90 19.8a 1552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( 1st `  A )  /\  (
y  +Q  r )  e.  ( 2nd `  B
) )  ->  E. y
( y  e.  ( 1st `  A )  /\  ( y  +Q  r )  e.  ( 2nd `  B ) ) )
9175, 89, 90syl2anc 406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B )  /\  y  e.  ( 1st `  A
) )  ->  E. y
( y  e.  ( 1st `  A )  /\  ( y  +Q  r )  e.  ( 2nd `  B ) ) )
9274, 91jca 302 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B )  /\  y  e.  ( 1st `  A
) )  ->  (
r  e.  Q.  /\  E. y ( y  e.  ( 1st `  A
)  /\  ( y  +Q  r )  e.  ( 2nd `  B ) ) ) )
9352ltexprlemelu 7371 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  ( 2nd `  C
)  <->  ( r  e. 
Q.  /\  E. y
( y  e.  ( 1st `  A )  /\  ( y  +Q  r )  e.  ( 2nd `  B ) ) ) )
9492, 93sylibr 133 . . . . . . 7  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B )  /\  y  e.  ( 1st `  A
) )  ->  r  e.  ( 2nd `  C
) )
95943expa 1164 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B ) )  /\  y  e.  ( 1st `  A ) )  -> 
r  e.  ( 2nd `  C ) )
9673, 95exlimddv 1852 . . . . 5  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B ) )  -> 
r  e.  ( 2nd `  C ) )
97 19.8a 1552 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  Q.  /\  r  e.  ( 2nd `  C ) )  ->  E. r ( r  e. 
Q.  /\  r  e.  ( 2nd `  C ) ) )
9868, 96, 97syl2anc 406 . . . 4  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B ) )  ->  E. r ( r  e. 
Q.  /\  r  e.  ( 2nd `  C ) ) )
99 df-rex 2397 . . . 4  |-  ( E. r  e.  Q.  r  e.  ( 2nd `  C
)  <->  E. r ( r  e.  Q.  /\  r  e.  ( 2nd `  C
) ) )
10098, 99sylibr 133 . . 3  |-  ( ( A  <P  B  /\  r  e.  ( 2nd `  B ) )  ->  E. r  e.  Q.  r  e.  ( 2nd `  C ) )
10160, 61, 65, 100exlimdd 1826 . 2  |-  ( A 
<P  B  ->  E. r  e.  Q.  r  e.  ( 2nd `  C ) )
10259, 101jca 302 1  |-  ( A 
<P  B  ->  ( E. q  e.  Q.  q  e.  ( 1st `  C
)  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  ( 2nd `  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 945    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   E.wrex 2392   {crab 2395    C_ wss 3039   <.cop 3498   class class class wbr 3897   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   1stc1st 6002   2ndc2nd 6003   Q.cnq 7052    +Q cplq 7054    <Q cltq 7057   P.cnp 7063    <P cltp 7067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-eprel 4179  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-omul 6284  df-er 6395  df-ec 6397  df-qs 6401  df-ni 7076  df-pli 7077  df-mi 7078  df-lti 7079  df-plpq 7116  df-mpq 7117  df-enq 7119  df-nqqs 7120  df-plqqs 7121  df-mqqs 7122  df-1nqqs 7123  df-ltnqqs 7125  df-inp 7238  df-iltp 7242
This theorem is referenced by:  ltexprlempr  7380
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