Theorem ltexprlemm 7863

Description: Our constructed difference is inhabited. Lemma for ltexpri 7876. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	|- C = <. { x e. Q. | E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q x ) e. ( 1st ` B ) ) } , { x e. Q. | E. y ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q x ) e. ( 2nd ` B ) ) } >.

Assertion

Ref	Expression
ltexprlemm	|- ( A <P B -> ( E. q e. Q. q e. ( 1st ` C ) /\ E. r e. Q. r e. ( 2nd ` C ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, q, r, A   x, B, y, q, r   x, C, y, q, r

Proof of Theorem ltexprlemm

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelpr 7768	. . . . . . . . 9 |- <P C_ ( P. X. P. )
2	1	brel 4784	. . . . . . . 8 |- ( A <P B -> ( A e. P. /\ B e. P. ) )
3		ltdfpr 7769	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( A <P B <-> E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) ) )
4	3	biimpd 144	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( A <P B -> E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) ) )
5	2, 4	mpcom 36	. . . . . . 7 |- ( A <P B -> E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) )
6		simprrl 541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A <P B /\ ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) ) ) -> y e. ( 2nd ` A ) )
7	2	simprd 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A <P B -> B e. P. )
8		prop 7738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B e. P. -> <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. )
9		prnmaxl 7751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. w e. ( 1st ` B ) y <Q w )
10	8, 9	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. P. /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. w e. ( 1st ` B ) y <Q w )
11		ltexnqi 7672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y <Q w -> E. q e. Q. ( y +Q q ) = w )
12	11	reximi 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. w e. ( 1st ` B ) y <Q w -> E. w e. ( 1st ` B ) E. q e. Q. ( y +Q q ) = w )
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. P. /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. w e. ( 1st ` B ) E. q e. Q. ( y +Q q ) = w )
14		df-rex 2517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. w e. ( 1st ` B ) E. q e. Q. ( y +Q q ) = w <-> E. w ( w e. ( 1st ` B ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) = w ) )
15	13, 14	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. P. /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. w ( w e. ( 1st ` B ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) = w ) )
16		r19.42v 2691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. q e. Q. ( w e. ( 1st ` B ) /\ ( y +Q q ) = w ) <-> ( w e. ( 1st ` B ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) = w ) )
17	16	exbii 1654	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. w E. q e. Q. ( w e. ( 1st ` B ) /\ ( y +Q q ) = w ) <-> E. w ( w e. ( 1st ` B ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) = w ) )
18	15, 17	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. P. /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. w E. q e. Q. ( w e. ( 1st ` B ) /\ ( y +Q q ) = w ) )
19		eleq1 2294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y +Q q ) = w -> ( ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) <-> w e. ( 1st ` B ) ) )
20	19	biimparc 299	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. ( 1st ` B ) /\ ( y +Q q ) = w ) -> ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
21	20	reximi 2630	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. q e. Q. ( w e. ( 1st ` B ) /\ ( y +Q q ) = w ) -> E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
22	21	exlimiv 1647	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. w E. q e. Q. ( w e. ( 1st ` B ) /\ ( y +Q q ) = w ) -> E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
23	18, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. P. /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
24	7, 23	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A <P B /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
25	24	adantrl 478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A <P B /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) ) -> E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
26	25	adantrl 478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A <P B /\ ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) ) ) -> E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
27	6, 26	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( A <P B /\ ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) ) ) -> ( y e. ( 2nd ` A ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
28	27	expr 375	. . . . . . . 8 |- ( ( A <P B /\ y e. Q. ) -> ( ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> ( y e. ( 2nd ` A ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
29	28	reximdva 2635	. . . . . . 7 |- ( A <P B -> ( E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
30	5, 29	mpd 13	. . . . . 6 |- ( A <P B -> E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
31		r19.42v 2691	. . . . . . 7 |- ( E. q e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> ( y e. ( 2nd ` A ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
32	31	rexbii 2540	. . . . . 6 |- ( E. y e. Q. E. q e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
33	30, 32	sylibr 134	. . . . 5 |- ( A <P B -> E. y e. Q. E. q e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
34		rexcom 2698	. . . . 5 |- ( E. y e. Q. E. q e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. q e. Q. E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
35	33, 34	sylib 122	. . . 4 |- ( A <P B -> E. q e. Q. E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
36	2	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A <P B -> A e. P. )
37		prop 7738	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )
38		elprnqu 7745	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ y e. ( 2nd ` A ) ) -> y e. Q. )
39	37, 38	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. P. /\ y e. ( 2nd ` A ) ) -> y e. Q. )
40	36, 39	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A <P B /\ y e. ( 2nd ` A ) ) -> y e. Q. )
41	40	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( A <P B -> ( y e. ( 2nd ` A ) -> y e. Q. ) )
42	41	pm4.71rd 394	. . . . . . . . 9 |- ( A <P B -> ( y e. ( 2nd ` A ) <-> ( y e. Q. /\ y e. ( 2nd ` A ) ) ) )
43	42	anbi1d 465	. . . . . . . 8 |- ( A <P B -> ( ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> ( ( y e. Q. /\ y e. ( 2nd ` A ) ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
44		anass 401	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Q. /\ y e. ( 2nd ` A ) ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
45	43, 44	bitrdi 196	. . . . . . 7 |- ( A <P B -> ( ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) ) )
46	45	exbidv 1873	. . . . . 6 |- ( A <P B -> ( E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. y ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) ) )
47	46	rexbidv 2534	. . . . 5 |- ( A <P B -> ( E. q e. Q. E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. q e. Q. E. y ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) ) )
48		df-rex 2517	. . . . . 6 |- ( E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. y ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
49	48	rexbii 2540	. . . . 5 |- ( E. q e. Q. E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. q e. Q. E. y ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
50	47, 49	bitr4di 198	. . . 4 |- ( A <P B -> ( E. q e. Q. E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. q e. Q. E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
51	35, 50	mpbird 167	. . 3 |- ( A <P B -> E. q e. Q. E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
52		ltexprlem.1	. . . . . 6 |- C = <. { x e. Q. | E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q x ) e. ( 1st ` B ) ) } , { x e. Q. | E. y ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q x ) e. ( 2nd ` B ) ) } >.
53	52	ltexprlemell 7861	. . . . 5 |- ( q e. ( 1st ` C ) <-> ( q e. Q. /\ E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
54	53	rexbii 2540	. . . 4 |- ( E. q e. Q. q e. ( 1st ` C ) <-> E. q e. Q. ( q e. Q. /\ E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
55		ssid 3248	. . . . 5 |- Q. C_ Q.
56		rexss 3295	. . . . 5 |- ( Q. C_ Q. -> ( E. q e. Q. E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. q e. Q. ( q e. Q. /\ E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) ) )
57	55, 56	ax-mp 5	. . . 4 |- ( E. q e. Q. E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. q e. Q. ( q e. Q. /\ E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
58	54, 57	bitr4i 187	. . 3 |- ( E. q e. Q. q e. ( 1st ` C ) <-> E. q e. Q. E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
59	51, 58	sylibr 134	. 2 |- ( A <P B -> E. q e. Q. q e. ( 1st ` C ) )
60		nfv 1577	. . 3 |- F/ r A <P B
61		nfre1 2576	. . 3 |- F/ r E. r e. Q. r e. ( 2nd ` C )
62		prmu 7741	. . . . 5 |- ( <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. -> E. r e. Q. r e. ( 2nd ` B ) )
63		rexex 2579	. . . . 5 |- ( E. r e. Q. r e. ( 2nd ` B ) -> E. r r e. ( 2nd ` B ) )
64	62, 63	syl 14	. . . 4 |- ( <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. -> E. r r e. ( 2nd ` B ) )
65	7, 8, 64	3syl 17	. . 3 |- ( A <P B -> E. r r e. ( 2nd ` B ) )
66		elprnqu 7745	. . . . . . 7 |- ( ( <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> r e. Q. )
67	8, 66	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( B e. P. /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> r e. Q. )
68	7, 67	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> r e. Q. )
69		prml 7740	. . . . . . . . 9 |- ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. -> E. y e. Q. y e. ( 1st ` A ) )
70	37, 69	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. P. -> E. y e. Q. y e. ( 1st ` A ) )
71		rexex 2579	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. Q. y e. ( 1st ` A ) -> E. y y e. ( 1st ` A ) )
72	36, 70, 71	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( A <P B -> E. y y e. ( 1st ` A ) )
73	72	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> E. y y e. ( 1st ` A ) )
74	68	3adant3 1044	. . . . . . . . 9 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> r e. Q. )
75		simp3 1026	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> y e. ( 1st ` A ) )
76		elprnql 7744	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> y e. Q. )
77	37, 76	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. P. /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> y e. Q. )
78	36, 77	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A <P B /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> y e. Q. )
79	78	3adant2 1043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> y e. Q. )
80		addcomnqg 7644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( r e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( r +Q y ) = ( y +Q r ) )
81	74, 79, 80	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> ( r +Q y ) = ( y +Q r ) )
82		ltaddnq 7670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( r e. Q. /\ y e. Q. ) -> r <Q ( r +Q y ) )
83	74, 79, 82	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> r <Q ( r +Q y ) )
84		prcunqu 7748	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> ( r <Q ( r +Q y ) -> ( r +Q y ) e. ( 2nd ` B ) ) )
85	8, 84	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. P. /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> ( r <Q ( r +Q y ) -> ( r +Q y ) e. ( 2nd ` B ) ) )
86	7, 85	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> ( r <Q ( r +Q y ) -> ( r +Q y ) e. ( 2nd ` B ) ) )
87	86	3adant3 1044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> ( r <Q ( r +Q y ) -> ( r +Q y ) e. ( 2nd ` B ) ) )
88	83, 87	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> ( r +Q y ) e. ( 2nd ` B ) )
89	81, 88	eqeltrrd 2309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> ( y +Q r ) e. ( 2nd ` B ) )
90		19.8a 1639	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q r ) e. ( 2nd ` B ) ) -> E. y ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q r ) e. ( 2nd ` B ) ) )
91	75, 89, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> E. y ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q r ) e. ( 2nd ` B ) ) )
92	74, 91	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> ( r e. Q. /\ E. y ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q r ) e. ( 2nd ` B ) ) ) )
93	52	ltexprlemelu 7862	. . . . . . . 8 |- ( r e. ( 2nd ` C ) <-> ( r e. Q. /\ E. y ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q r ) e. ( 2nd ` B ) ) ) )
94	92, 93	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> r e. ( 2nd ` C ) )
95	94	3expa 1230	. . . . . 6 |- ( ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> r e. ( 2nd ` C ) )
96	73, 95	exlimddv 1947	. . . . 5 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> r e. ( 2nd ` C ) )
97		19.8a 1639	. . . . 5 |- ( ( r e. Q. /\ r e. ( 2nd ` C ) ) -> E. r ( r e. Q. /\ r e. ( 2nd ` C ) ) )
98	68, 96, 97	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> E. r ( r e. Q. /\ r e. ( 2nd ` C ) ) )
99		df-rex 2517	. . . 4 |- ( E. r e. Q. r e. ( 2nd ` C ) <-> E. r ( r e. Q. /\ r e. ( 2nd ` C ) ) )
100	98, 99	sylibr 134	. . 3 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> E. r e. Q. r e. ( 2nd ` C ) )
101	60, 61, 65, 100	exlimdd 1920	. 2 |- ( A <P B -> E. r e. Q. r e. ( 2nd ` C ) )
102	59, 101	jca 306	1 |- ( A <P B -> ( E. q e. Q. q e. ( 1st ` C ) /\ E. r e. Q. r e. ( 2nd ` C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   E.wrex 2512   {crab 2515   C_ wss 3201   <.cop 3676   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   1stc1st 6310   2ndc2nd 6311   Q.cnq 7543   +Q cplq 7545   <Q cltq 7548   P.cnp 7554   <P cltp 7558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-eprel 4392  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7567  df-pli 7568  df-mi 7569  df-lti 7570  df-plpq 7607  df-mpq 7608  df-enq 7610  df-nqqs 7611  df-plqqs 7612  df-mqqs 7613  df-1nqqs 7614  df-ltnqqs 7616  df-inp 7729  df-iltp 7733

This theorem is referenced by:  ltexprlempr  7871