Theorem ltexprlemm 7503

Description: Our constructed difference is inhabited. Lemma for ltexpri 7516. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	|- C = <. { x e. Q. | E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q x ) e. ( 1st ` B ) ) } , { x e. Q. | E. y ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q x ) e. ( 2nd ` B ) ) } >.

Assertion

Ref	Expression
ltexprlemm	|- ( A <P B -> ( E. q e. Q. q e. ( 1st ` C ) /\ E. r e. Q. r e. ( 2nd ` C ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, q, r, A   x, B, y, q, r   x, C, y, q, r

Proof of Theorem ltexprlemm

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelpr 7408	. . . . . . . . 9 |- <P C_ ( P. X. P. )
2	1	brel 4635	. . . . . . . 8 |- ( A <P B -> ( A e. P. /\ B e. P. ) )
3		ltdfpr 7409	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( A <P B <-> E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) ) )
4	3	biimpd 143	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( A <P B -> E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) ) )
5	2, 4	mpcom 36	. . . . . . 7 |- ( A <P B -> E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) )
6		simprrl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A <P B /\ ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) ) ) -> y e. ( 2nd ` A ) )
7	2	simprd 113	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A <P B -> B e. P. )
8		prop 7378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B e. P. -> <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. )
9		prnmaxl 7391	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. w e. ( 1st ` B ) y <Q w )
10	8, 9	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. P. /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. w e. ( 1st ` B ) y <Q w )
11		ltexnqi 7312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y <Q w -> E. q e. Q. ( y +Q q ) = w )
12	11	reximi 2554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. w e. ( 1st ` B ) y <Q w -> E. w e. ( 1st ` B ) E. q e. Q. ( y +Q q ) = w )
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. P. /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. w e. ( 1st ` B ) E. q e. Q. ( y +Q q ) = w )
14		df-rex 2441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. w e. ( 1st ` B ) E. q e. Q. ( y +Q q ) = w <-> E. w ( w e. ( 1st ` B ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) = w ) )
15	13, 14	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. P. /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. w ( w e. ( 1st ` B ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) = w ) )
16		r19.42v 2614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. q e. Q. ( w e. ( 1st ` B ) /\ ( y +Q q ) = w ) <-> ( w e. ( 1st ` B ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) = w ) )
17	16	exbii 1585	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. w E. q e. Q. ( w e. ( 1st ` B ) /\ ( y +Q q ) = w ) <-> E. w ( w e. ( 1st ` B ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) = w ) )
18	15, 17	sylibr 133	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. P. /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. w E. q e. Q. ( w e. ( 1st ` B ) /\ ( y +Q q ) = w ) )
19		eleq1 2220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y +Q q ) = w -> ( ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) <-> w e. ( 1st ` B ) ) )
20	19	biimparc 297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. ( 1st ` B ) /\ ( y +Q q ) = w ) -> ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
21	20	reximi 2554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. q e. Q. ( w e. ( 1st ` B ) /\ ( y +Q q ) = w ) -> E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
22	21	exlimiv 1578	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. w E. q e. Q. ( w e. ( 1st ` B ) /\ ( y +Q q ) = w ) -> E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
23	18, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. P. /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
24	7, 23	sylan 281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A <P B /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
25	24	adantrl 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A <P B /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) ) -> E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
26	25	adantrl 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A <P B /\ ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) ) ) -> E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
27	6, 26	jca 304	. . . . . . . . 9 |- ( ( A <P B /\ ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) ) ) -> ( y e. ( 2nd ` A ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
28	27	expr 373	. . . . . . . 8 |- ( ( A <P B /\ y e. Q. ) -> ( ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> ( y e. ( 2nd ` A ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
29	28	reximdva 2559	. . . . . . 7 |- ( A <P B -> ( E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
30	5, 29	mpd 13	. . . . . 6 |- ( A <P B -> E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
31		r19.42v 2614	. . . . . . 7 |- ( E. q e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> ( y e. ( 2nd ` A ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
32	31	rexbii 2464	. . . . . 6 |- ( E. y e. Q. E. q e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
33	30, 32	sylibr 133	. . . . 5 |- ( A <P B -> E. y e. Q. E. q e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
34		rexcom 2621	. . . . 5 |- ( E. y e. Q. E. q e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. q e. Q. E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
35	33, 34	sylib 121	. . . 4 |- ( A <P B -> E. q e. Q. E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
36	2	simpld 111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A <P B -> A e. P. )
37		prop 7378	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )
38		elprnqu 7385	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ y e. ( 2nd ` A ) ) -> y e. Q. )
39	37, 38	sylan 281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. P. /\ y e. ( 2nd ` A ) ) -> y e. Q. )
40	36, 39	sylan 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A <P B /\ y e. ( 2nd ` A ) ) -> y e. Q. )
41	40	ex 114	. . . . . . . . . 10 |- ( A <P B -> ( y e. ( 2nd ` A ) -> y e. Q. ) )
42	41	pm4.71rd 392	. . . . . . . . 9 |- ( A <P B -> ( y e. ( 2nd ` A ) <-> ( y e. Q. /\ y e. ( 2nd ` A ) ) ) )
43	42	anbi1d 461	. . . . . . . 8 |- ( A <P B -> ( ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> ( ( y e. Q. /\ y e. ( 2nd ` A ) ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
44		anass 399	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Q. /\ y e. ( 2nd ` A ) ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
45	43, 44	bitrdi 195	. . . . . . 7 |- ( A <P B -> ( ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) ) )
46	45	exbidv 1805	. . . . . 6 |- ( A <P B -> ( E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. y ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) ) )
47	46	rexbidv 2458	. . . . 5 |- ( A <P B -> ( E. q e. Q. E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. q e. Q. E. y ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) ) )
48		df-rex 2441	. . . . . 6 |- ( E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. y ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
49	48	rexbii 2464	. . . . 5 |- ( E. q e. Q. E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. q e. Q. E. y ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
50	47, 49	bitr4di 197	. . . 4 |- ( A <P B -> ( E. q e. Q. E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. q e. Q. E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
51	35, 50	mpbird 166	. . 3 |- ( A <P B -> E. q e. Q. E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
52		ltexprlem.1	. . . . . 6 |- C = <. { x e. Q. | E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q x ) e. ( 1st ` B ) ) } , { x e. Q. | E. y ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q x ) e. ( 2nd ` B ) ) } >.
53	52	ltexprlemell 7501	. . . . 5 |- ( q e. ( 1st ` C ) <-> ( q e. Q. /\ E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
54	53	rexbii 2464	. . . 4 |- ( E. q e. Q. q e. ( 1st ` C ) <-> E. q e. Q. ( q e. Q. /\ E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
55		ssid 3148	. . . . 5 |- Q. C_ Q.
56		rexss 3195	. . . . 5 |- ( Q. C_ Q. -> ( E. q e. Q. E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. q e. Q. ( q e. Q. /\ E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) ) )
57	55, 56	ax-mp 5	. . . 4 |- ( E. q e. Q. E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. q e. Q. ( q e. Q. /\ E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
58	54, 57	bitr4i 186	. . 3 |- ( E. q e. Q. q e. ( 1st ` C ) <-> E. q e. Q. E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
59	51, 58	sylibr 133	. 2 |- ( A <P B -> E. q e. Q. q e. ( 1st ` C ) )
60		nfv 1508	. . 3 |- F/ r A <P B
61		nfre1 2500	. . 3 |- F/ r E. r e. Q. r e. ( 2nd ` C )
62		prmu 7381	. . . . 5 |- ( <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. -> E. r e. Q. r e. ( 2nd ` B ) )
63		rexex 2503	. . . . 5 |- ( E. r e. Q. r e. ( 2nd ` B ) -> E. r r e. ( 2nd ` B ) )
64	62, 63	syl 14	. . . 4 |- ( <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. -> E. r r e. ( 2nd ` B ) )
65	7, 8, 64	3syl 17	. . 3 |- ( A <P B -> E. r r e. ( 2nd ` B ) )
66		elprnqu 7385	. . . . . . 7 |- ( ( <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> r e. Q. )
67	8, 66	sylan 281	. . . . . 6 |- ( ( B e. P. /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> r e. Q. )
68	7, 67	sylan 281	. . . . 5 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> r e. Q. )
69		prml 7380	. . . . . . . . 9 |- ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. -> E. y e. Q. y e. ( 1st ` A ) )
70	37, 69	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. P. -> E. y e. Q. y e. ( 1st ` A ) )
71		rexex 2503	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. Q. y e. ( 1st ` A ) -> E. y y e. ( 1st ` A ) )
72	36, 70, 71	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( A <P B -> E. y y e. ( 1st ` A ) )
73	72	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> E. y y e. ( 1st ` A ) )
74	68	3adant3 1002	. . . . . . . . 9 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> r e. Q. )
75		simp3 984	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> y e. ( 1st ` A ) )
76		elprnql 7384	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> y e. Q. )
77	37, 76	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. P. /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> y e. Q. )
78	36, 77	sylan 281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A <P B /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> y e. Q. )
79	78	3adant2 1001	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> y e. Q. )
80		addcomnqg 7284	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( r e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( r +Q y ) = ( y +Q r ) )
81	74, 79, 80	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> ( r +Q y ) = ( y +Q r ) )
82		ltaddnq 7310	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( r e. Q. /\ y e. Q. ) -> r <Q ( r +Q y ) )
83	74, 79, 82	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> r <Q ( r +Q y ) )
84		prcunqu 7388	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> ( r <Q ( r +Q y ) -> ( r +Q y ) e. ( 2nd ` B ) ) )
85	8, 84	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. P. /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> ( r <Q ( r +Q y ) -> ( r +Q y ) e. ( 2nd ` B ) ) )
86	7, 85	sylan 281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> ( r <Q ( r +Q y ) -> ( r +Q y ) e. ( 2nd ` B ) ) )
87	86	3adant3 1002	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> ( r <Q ( r +Q y ) -> ( r +Q y ) e. ( 2nd ` B ) ) )
88	83, 87	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> ( r +Q y ) e. ( 2nd ` B ) )
89	81, 88	eqeltrrd 2235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> ( y +Q r ) e. ( 2nd ` B ) )
90		19.8a 1570	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q r ) e. ( 2nd ` B ) ) -> E. y ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q r ) e. ( 2nd ` B ) ) )
91	75, 89, 90	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> E. y ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q r ) e. ( 2nd ` B ) ) )
92	74, 91	jca 304	. . . . . . . 8 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> ( r e. Q. /\ E. y ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q r ) e. ( 2nd ` B ) ) ) )
93	52	ltexprlemelu 7502	. . . . . . . 8 |- ( r e. ( 2nd ` C ) <-> ( r e. Q. /\ E. y ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q r ) e. ( 2nd ` B ) ) ) )
94	92, 93	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> r e. ( 2nd ` C ) )
95	94	3expa 1185	. . . . . 6 |- ( ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> r e. ( 2nd ` C ) )
96	73, 95	exlimddv 1878	. . . . 5 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> r e. ( 2nd ` C ) )
97		19.8a 1570	. . . . 5 |- ( ( r e. Q. /\ r e. ( 2nd ` C ) ) -> E. r ( r e. Q. /\ r e. ( 2nd ` C ) ) )
98	68, 96, 97	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> E. r ( r e. Q. /\ r e. ( 2nd ` C ) ) )
99		df-rex 2441	. . . 4 |- ( E. r e. Q. r e. ( 2nd ` C ) <-> E. r ( r e. Q. /\ r e. ( 2nd ` C ) ) )
100	98, 99	sylibr 133	. . 3 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> E. r e. Q. r e. ( 2nd ` C ) )
101	60, 61, 65, 100	exlimdd 1852	. 2 |- ( A <P B -> E. r e. Q. r e. ( 2nd ` C ) )
102	59, 101	jca 304	1 |- ( A <P B -> ( E. q e. Q. q e. ( 1st ` C ) /\ E. r e. Q. r e. ( 2nd ` C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   E.wrex 2436   {crab 2439   C_ wss 3102   <.cop 3563   class class class wbr 3965   ` cfv 5167  (class class class)co 5818   1stc1st 6080   2ndc2nd 6081   Q.cnq 7183   +Q cplq 7185   <Q cltq 7188   P.cnp 7194   <P cltp 7198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-eprel 4248  df-id 4252  df-iord 4325  df-on 4327  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-1o 6357  df-oadd 6361  df-omul 6362  df-er 6473  df-ec 6475  df-qs 6479  df-ni 7207  df-pli 7208  df-mi 7209  df-lti 7210  df-plpq 7247  df-mpq 7248  df-enq 7250  df-nqqs 7251  df-plqqs 7252  df-mqqs 7253  df-1nqqs 7254  df-ltnqqs 7256  df-inp 7369  df-iltp 7373

This theorem is referenced by:  ltexprlempr  7511