Theorem ltexprlemm 7713

Description: Our constructed difference is inhabited. Lemma for ltexpri 7726. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	|- C = <. { x e. Q. | E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q x ) e. ( 1st ` B ) ) } , { x e. Q. | E. y ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q x ) e. ( 2nd ` B ) ) } >.

Assertion

Ref	Expression
ltexprlemm	|- ( A <P B -> ( E. q e. Q. q e. ( 1st ` C ) /\ E. r e. Q. r e. ( 2nd ` C ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, q, r, A   x, B, y, q, r   x, C, y, q, r

Proof of Theorem ltexprlemm

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelpr 7618	. . . . . . . . 9 |- <P C_ ( P. X. P. )
2	1	brel 4727	. . . . . . . 8 |- ( A <P B -> ( A e. P. /\ B e. P. ) )
3		ltdfpr 7619	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( A <P B <-> E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) ) )
4	3	biimpd 144	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( A <P B -> E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) ) )
5	2, 4	mpcom 36	. . . . . . 7 |- ( A <P B -> E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) )
6		simprrl 539	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A <P B /\ ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) ) ) -> y e. ( 2nd ` A ) )
7	2	simprd 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A <P B -> B e. P. )
8		prop 7588	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B e. P. -> <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. )
9		prnmaxl 7601	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. w e. ( 1st ` B ) y <Q w )
10	8, 9	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. P. /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. w e. ( 1st ` B ) y <Q w )
11		ltexnqi 7522	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y <Q w -> E. q e. Q. ( y +Q q ) = w )
12	11	reximi 2603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. w e. ( 1st ` B ) y <Q w -> E. w e. ( 1st ` B ) E. q e. Q. ( y +Q q ) = w )
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. P. /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. w e. ( 1st ` B ) E. q e. Q. ( y +Q q ) = w )
14		df-rex 2490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. w e. ( 1st ` B ) E. q e. Q. ( y +Q q ) = w <-> E. w ( w e. ( 1st ` B ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) = w ) )
15	13, 14	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. P. /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. w ( w e. ( 1st ` B ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) = w ) )
16		r19.42v 2663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. q e. Q. ( w e. ( 1st ` B ) /\ ( y +Q q ) = w ) <-> ( w e. ( 1st ` B ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) = w ) )
17	16	exbii 1628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. w E. q e. Q. ( w e. ( 1st ` B ) /\ ( y +Q q ) = w ) <-> E. w ( w e. ( 1st ` B ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) = w ) )
18	15, 17	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. P. /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. w E. q e. Q. ( w e. ( 1st ` B ) /\ ( y +Q q ) = w ) )
19		eleq1 2268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y +Q q ) = w -> ( ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) <-> w e. ( 1st ` B ) ) )
20	19	biimparc 299	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. ( 1st ` B ) /\ ( y +Q q ) = w ) -> ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
21	20	reximi 2603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. q e. Q. ( w e. ( 1st ` B ) /\ ( y +Q q ) = w ) -> E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
22	21	exlimiv 1621	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. w E. q e. Q. ( w e. ( 1st ` B ) /\ ( y +Q q ) = w ) -> E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
23	18, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. P. /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
24	7, 23	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A <P B /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
25	24	adantrl 478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A <P B /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) ) -> E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
26	25	adantrl 478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A <P B /\ ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) ) ) -> E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
27	6, 26	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( A <P B /\ ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) ) ) -> ( y e. ( 2nd ` A ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
28	27	expr 375	. . . . . . . 8 |- ( ( A <P B /\ y e. Q. ) -> ( ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> ( y e. ( 2nd ` A ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
29	28	reximdva 2608	. . . . . . 7 |- ( A <P B -> ( E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
30	5, 29	mpd 13	. . . . . 6 |- ( A <P B -> E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
31		r19.42v 2663	. . . . . . 7 |- ( E. q e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> ( y e. ( 2nd ` A ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
32	31	rexbii 2513	. . . . . 6 |- ( E. y e. Q. E. q e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
33	30, 32	sylibr 134	. . . . 5 |- ( A <P B -> E. y e. Q. E. q e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
34		rexcom 2670	. . . . 5 |- ( E. y e. Q. E. q e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. q e. Q. E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
35	33, 34	sylib 122	. . . 4 |- ( A <P B -> E. q e. Q. E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
36	2	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A <P B -> A e. P. )
37		prop 7588	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )
38		elprnqu 7595	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ y e. ( 2nd ` A ) ) -> y e. Q. )
39	37, 38	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. P. /\ y e. ( 2nd ` A ) ) -> y e. Q. )
40	36, 39	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A <P B /\ y e. ( 2nd ` A ) ) -> y e. Q. )
41	40	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( A <P B -> ( y e. ( 2nd ` A ) -> y e. Q. ) )
42	41	pm4.71rd 394	. . . . . . . . 9 |- ( A <P B -> ( y e. ( 2nd ` A ) <-> ( y e. Q. /\ y e. ( 2nd ` A ) ) ) )
43	42	anbi1d 465	. . . . . . . 8 |- ( A <P B -> ( ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> ( ( y e. Q. /\ y e. ( 2nd ` A ) ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
44		anass 401	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Q. /\ y e. ( 2nd ` A ) ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
45	43, 44	bitrdi 196	. . . . . . 7 |- ( A <P B -> ( ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) ) )
46	45	exbidv 1848	. . . . . 6 |- ( A <P B -> ( E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. y ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) ) )
47	46	rexbidv 2507	. . . . 5 |- ( A <P B -> ( E. q e. Q. E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. q e. Q. E. y ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) ) )
48		df-rex 2490	. . . . . 6 |- ( E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. y ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
49	48	rexbii 2513	. . . . 5 |- ( E. q e. Q. E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. q e. Q. E. y ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
50	47, 49	bitr4di 198	. . . 4 |- ( A <P B -> ( E. q e. Q. E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. q e. Q. E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
51	35, 50	mpbird 167	. . 3 |- ( A <P B -> E. q e. Q. E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
52		ltexprlem.1	. . . . . 6 |- C = <. { x e. Q. | E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q x ) e. ( 1st ` B ) ) } , { x e. Q. | E. y ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q x ) e. ( 2nd ` B ) ) } >.
53	52	ltexprlemell 7711	. . . . 5 |- ( q e. ( 1st ` C ) <-> ( q e. Q. /\ E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
54	53	rexbii 2513	. . . 4 |- ( E. q e. Q. q e. ( 1st ` C ) <-> E. q e. Q. ( q e. Q. /\ E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
55		ssid 3213	. . . . 5 |- Q. C_ Q.
56		rexss 3260	. . . . 5 |- ( Q. C_ Q. -> ( E. q e. Q. E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. q e. Q. ( q e. Q. /\ E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) ) )
57	55, 56	ax-mp 5	. . . 4 |- ( E. q e. Q. E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. q e. Q. ( q e. Q. /\ E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
58	54, 57	bitr4i 187	. . 3 |- ( E. q e. Q. q e. ( 1st ` C ) <-> E. q e. Q. E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
59	51, 58	sylibr 134	. 2 |- ( A <P B -> E. q e. Q. q e. ( 1st ` C ) )
60		nfv 1551	. . 3 |- F/ r A <P B
61		nfre1 2549	. . 3 |- F/ r E. r e. Q. r e. ( 2nd ` C )
62		prmu 7591	. . . . 5 |- ( <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. -> E. r e. Q. r e. ( 2nd ` B ) )
63		rexex 2552	. . . . 5 |- ( E. r e. Q. r e. ( 2nd ` B ) -> E. r r e. ( 2nd ` B ) )
64	62, 63	syl 14	. . . 4 |- ( <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. -> E. r r e. ( 2nd ` B ) )
65	7, 8, 64	3syl 17	. . 3 |- ( A <P B -> E. r r e. ( 2nd ` B ) )
66		elprnqu 7595	. . . . . . 7 |- ( ( <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> r e. Q. )
67	8, 66	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( B e. P. /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> r e. Q. )
68	7, 67	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> r e. Q. )
69		prml 7590	. . . . . . . . 9 |- ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. -> E. y e. Q. y e. ( 1st ` A ) )
70	37, 69	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. P. -> E. y e. Q. y e. ( 1st ` A ) )
71		rexex 2552	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. Q. y e. ( 1st ` A ) -> E. y y e. ( 1st ` A ) )
72	36, 70, 71	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( A <P B -> E. y y e. ( 1st ` A ) )
73	72	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> E. y y e. ( 1st ` A ) )
74	68	3adant3 1020	. . . . . . . . 9 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> r e. Q. )
75		simp3 1002	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> y e. ( 1st ` A ) )
76		elprnql 7594	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> y e. Q. )
77	37, 76	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. P. /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> y e. Q. )
78	36, 77	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A <P B /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> y e. Q. )
79	78	3adant2 1019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> y e. Q. )
80		addcomnqg 7494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( r e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( r +Q y ) = ( y +Q r ) )
81	74, 79, 80	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> ( r +Q y ) = ( y +Q r ) )
82		ltaddnq 7520	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( r e. Q. /\ y e. Q. ) -> r <Q ( r +Q y ) )
83	74, 79, 82	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> r <Q ( r +Q y ) )
84		prcunqu 7598	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> ( r <Q ( r +Q y ) -> ( r +Q y ) e. ( 2nd ` B ) ) )
85	8, 84	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. P. /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> ( r <Q ( r +Q y ) -> ( r +Q y ) e. ( 2nd ` B ) ) )
86	7, 85	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> ( r <Q ( r +Q y ) -> ( r +Q y ) e. ( 2nd ` B ) ) )
87	86	3adant3 1020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> ( r <Q ( r +Q y ) -> ( r +Q y ) e. ( 2nd ` B ) ) )
88	83, 87	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> ( r +Q y ) e. ( 2nd ` B ) )
89	81, 88	eqeltrrd 2283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> ( y +Q r ) e. ( 2nd ` B ) )
90		19.8a 1613	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q r ) e. ( 2nd ` B ) ) -> E. y ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q r ) e. ( 2nd ` B ) ) )
91	75, 89, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> E. y ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q r ) e. ( 2nd ` B ) ) )
92	74, 91	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> ( r e. Q. /\ E. y ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q r ) e. ( 2nd ` B ) ) ) )
93	52	ltexprlemelu 7712	. . . . . . . 8 |- ( r e. ( 2nd ` C ) <-> ( r e. Q. /\ E. y ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q r ) e. ( 2nd ` B ) ) ) )
94	92, 93	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> r e. ( 2nd ` C ) )
95	94	3expa 1206	. . . . . 6 |- ( ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> r e. ( 2nd ` C ) )
96	73, 95	exlimddv 1922	. . . . 5 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> r e. ( 2nd ` C ) )
97		19.8a 1613	. . . . 5 |- ( ( r e. Q. /\ r e. ( 2nd ` C ) ) -> E. r ( r e. Q. /\ r e. ( 2nd ` C ) ) )
98	68, 96, 97	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> E. r ( r e. Q. /\ r e. ( 2nd ` C ) ) )
99		df-rex 2490	. . . 4 |- ( E. r e. Q. r e. ( 2nd ` C ) <-> E. r ( r e. Q. /\ r e. ( 2nd ` C ) ) )
100	98, 99	sylibr 134	. . 3 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> E. r e. Q. r e. ( 2nd ` C ) )
101	60, 61, 65, 100	exlimdd 1895	. 2 |- ( A <P B -> E. r e. Q. r e. ( 2nd ` C ) )
102	59, 101	jca 306	1 |- ( A <P B -> ( E. q e. Q. q e. ( 1st ` C ) /\ E. r e. Q. r e. ( 2nd ` C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   E.wrex 2485   {crab 2488   C_ wss 3166   <.cop 3636   class class class wbr 4044   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   1stc1st 6224   2ndc2nd 6225   Q.cnq 7393   +Q cplq 7395   <Q cltq 7398   P.cnp 7404   <P cltp 7408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-eprel 4336  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-1o 6502  df-oadd 6506  df-omul 6507  df-er 6620  df-ec 6622  df-qs 6626  df-ni 7417  df-pli 7418  df-mi 7419  df-lti 7420  df-plpq 7457  df-mpq 7458  df-enq 7460  df-nqqs 7461  df-plqqs 7462  df-mqqs 7463  df-1nqqs 7464  df-ltnqqs 7466  df-inp 7579  df-iltp 7583

This theorem is referenced by:  ltexprlempr  7721