Theorem ltexprlemm 7915

Description: Our constructed difference is inhabited. Lemma for ltexpri 7928. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	|- C = <. { x e. Q. | E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q x ) e. ( 1st ` B ) ) } , { x e. Q. | E. y ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q x ) e. ( 2nd ` B ) ) } >.

Assertion

Ref	Expression
ltexprlemm	|- ( A <P B -> ( E. q e. Q. q e. ( 1st ` C ) /\ E. r e. Q. r e. ( 2nd ` C ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, q, r, A   x, B, y, q, r   x, C, y, q, r

Proof of Theorem ltexprlemm

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelpr 7820	. . . . . . . . 9 |- <P C_ ( P. X. P. )
2	1	brel 4802	. . . . . . . 8 |- ( A <P B -> ( A e. P. /\ B e. P. ) )
3		ltdfpr 7821	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( A <P B <-> E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) ) )
4	3	biimpd 144	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( A <P B -> E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) ) )
5	2, 4	mpcom 36	. . . . . . 7 |- ( A <P B -> E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) )
6		simprrl 541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A <P B /\ ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) ) ) -> y e. ( 2nd ` A ) )
7	2	simprd 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A <P B -> B e. P. )
8		prop 7790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B e. P. -> <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. )
9		prnmaxl 7803	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. w e. ( 1st ` B ) y <Q w )
10	8, 9	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. P. /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. w e. ( 1st ` B ) y <Q w )
11		ltexnqi 7724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y <Q w -> E. q e. Q. ( y +Q q ) = w )
12	11	reximi 2639	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. w e. ( 1st ` B ) y <Q w -> E. w e. ( 1st ` B ) E. q e. Q. ( y +Q q ) = w )
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. P. /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. w e. ( 1st ` B ) E. q e. Q. ( y +Q q ) = w )
14		df-rex 2526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. w e. ( 1st ` B ) E. q e. Q. ( y +Q q ) = w <-> E. w ( w e. ( 1st ` B ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) = w ) )
15	13, 14	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. P. /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. w ( w e. ( 1st ` B ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) = w ) )
16		r19.42v 2700	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. q e. Q. ( w e. ( 1st ` B ) /\ ( y +Q q ) = w ) <-> ( w e. ( 1st ` B ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) = w ) )
17	16	exbii 1654	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. w E. q e. Q. ( w e. ( 1st ` B ) /\ ( y +Q q ) = w ) <-> E. w ( w e. ( 1st ` B ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) = w ) )
18	15, 17	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. P. /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. w E. q e. Q. ( w e. ( 1st ` B ) /\ ( y +Q q ) = w ) )
19		eleq1 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y +Q q ) = w -> ( ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) <-> w e. ( 1st ` B ) ) )
20	19	biimparc 299	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. ( 1st ` B ) /\ ( y +Q q ) = w ) -> ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
21	20	reximi 2639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. q e. Q. ( w e. ( 1st ` B ) /\ ( y +Q q ) = w ) -> E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
22	21	exlimiv 1647	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. w E. q e. Q. ( w e. ( 1st ` B ) /\ ( y +Q q ) = w ) -> E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
23	18, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. P. /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
24	7, 23	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A <P B /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
25	24	adantrl 478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A <P B /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) ) -> E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
26	25	adantrl 478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A <P B /\ ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) ) ) -> E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
27	6, 26	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( A <P B /\ ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) ) ) -> ( y e. ( 2nd ` A ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
28	27	expr 375	. . . . . . . 8 |- ( ( A <P B /\ y e. Q. ) -> ( ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> ( y e. ( 2nd ` A ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
29	28	reximdva 2644	. . . . . . 7 |- ( A <P B -> ( E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
30	5, 29	mpd 13	. . . . . 6 |- ( A <P B -> E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
31		r19.42v 2700	. . . . . . 7 |- ( E. q e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> ( y e. ( 2nd ` A ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
32	31	rexbii 2549	. . . . . 6 |- ( E. y e. Q. E. q e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
33	30, 32	sylibr 134	. . . . 5 |- ( A <P B -> E. y e. Q. E. q e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
34		rexcom 2707	. . . . 5 |- ( E. y e. Q. E. q e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. q e. Q. E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
35	33, 34	sylib 122	. . . 4 |- ( A <P B -> E. q e. Q. E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
36	2	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A <P B -> A e. P. )
37		prop 7790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )
38		elprnqu 7797	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ y e. ( 2nd ` A ) ) -> y e. Q. )
39	37, 38	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. P. /\ y e. ( 2nd ` A ) ) -> y e. Q. )
40	36, 39	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A <P B /\ y e. ( 2nd ` A ) ) -> y e. Q. )
41	40	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( A <P B -> ( y e. ( 2nd ` A ) -> y e. Q. ) )
42	41	pm4.71rd 394	. . . . . . . . 9 |- ( A <P B -> ( y e. ( 2nd ` A ) <-> ( y e. Q. /\ y e. ( 2nd ` A ) ) ) )
43	42	anbi1d 465	. . . . . . . 8 |- ( A <P B -> ( ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> ( ( y e. Q. /\ y e. ( 2nd ` A ) ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
44		anass 401	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Q. /\ y e. ( 2nd ` A ) ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
45	43, 44	bitrdi 196	. . . . . . 7 |- ( A <P B -> ( ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) ) )
46	45	exbidv 1874	. . . . . 6 |- ( A <P B -> ( E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. y ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) ) )
47	46	rexbidv 2543	. . . . 5 |- ( A <P B -> ( E. q e. Q. E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. q e. Q. E. y ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) ) )
48		df-rex 2526	. . . . . 6 |- ( E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. y ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
49	48	rexbii 2549	. . . . 5 |- ( E. q e. Q. E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. q e. Q. E. y ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
50	47, 49	bitr4di 198	. . . 4 |- ( A <P B -> ( E. q e. Q. E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. q e. Q. E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
51	35, 50	mpbird 167	. . 3 |- ( A <P B -> E. q e. Q. E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
52		ltexprlem.1	. . . . . 6 |- C = <. { x e. Q. | E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q x ) e. ( 1st ` B ) ) } , { x e. Q. | E. y ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q x ) e. ( 2nd ` B ) ) } >.
53	52	ltexprlemell 7913	. . . . 5 |- ( q e. ( 1st ` C ) <-> ( q e. Q. /\ E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
54	53	rexbii 2549	. . . 4 |- ( E. q e. Q. q e. ( 1st ` C ) <-> E. q e. Q. ( q e. Q. /\ E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
55		ssid 3258	. . . . 5 |- Q. C_ Q.
56		rexss 3305	. . . . 5 |- ( Q. C_ Q. -> ( E. q e. Q. E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. q e. Q. ( q e. Q. /\ E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) ) )
57	55, 56	ax-mp 5	. . . 4 |- ( E. q e. Q. E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. q e. Q. ( q e. Q. /\ E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
58	54, 57	bitr4i 187	. . 3 |- ( E. q e. Q. q e. ( 1st ` C ) <-> E. q e. Q. E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
59	51, 58	sylibr 134	. 2 |- ( A <P B -> E. q e. Q. q e. ( 1st ` C ) )
60		nfv 1577	. . 3 |- F/ r A <P B
61		nfre1 2585	. . 3 |- F/ r E. r e. Q. r e. ( 2nd ` C )
62		prmu 7793	. . . . 5 |- ( <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. -> E. r e. Q. r e. ( 2nd ` B ) )
63		rexex 2588	. . . . 5 |- ( E. r e. Q. r e. ( 2nd ` B ) -> E. r r e. ( 2nd ` B ) )
64	62, 63	syl 14	. . . 4 |- ( <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. -> E. r r e. ( 2nd ` B ) )
65	7, 8, 64	3syl 17	. . 3 |- ( A <P B -> E. r r e. ( 2nd ` B ) )
66		elprnqu 7797	. . . . . . 7 |- ( ( <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> r e. Q. )
67	8, 66	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( B e. P. /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> r e. Q. )
68	7, 67	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> r e. Q. )
69		prml 7792	. . . . . . . . 9 |- ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. -> E. y e. Q. y e. ( 1st ` A ) )
70	37, 69	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. P. -> E. y e. Q. y e. ( 1st ` A ) )
71		rexex 2588	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. Q. y e. ( 1st ` A ) -> E. y y e. ( 1st ` A ) )
72	36, 70, 71	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( A <P B -> E. y y e. ( 1st ` A ) )
73	72	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> E. y y e. ( 1st ` A ) )
74	68	3adant3 1044	. . . . . . . . 9 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> r e. Q. )
75		simp3 1026	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> y e. ( 1st ` A ) )
76		elprnql 7796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> y e. Q. )
77	37, 76	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. P. /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> y e. Q. )
78	36, 77	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A <P B /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> y e. Q. )
79	78	3adant2 1043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> y e. Q. )
80		addcomnqg 7696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( r e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( r +Q y ) = ( y +Q r ) )
81	74, 79, 80	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> ( r +Q y ) = ( y +Q r ) )
82		ltaddnq 7722	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( r e. Q. /\ y e. Q. ) -> r <Q ( r +Q y ) )
83	74, 79, 82	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> r <Q ( r +Q y ) )
84		prcunqu 7800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> ( r <Q ( r +Q y ) -> ( r +Q y ) e. ( 2nd ` B ) ) )
85	8, 84	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. P. /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> ( r <Q ( r +Q y ) -> ( r +Q y ) e. ( 2nd ` B ) ) )
86	7, 85	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> ( r <Q ( r +Q y ) -> ( r +Q y ) e. ( 2nd ` B ) ) )
87	86	3adant3 1044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> ( r <Q ( r +Q y ) -> ( r +Q y ) e. ( 2nd ` B ) ) )
88	83, 87	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> ( r +Q y ) e. ( 2nd ` B ) )
89	81, 88	eqeltrrd 2310	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> ( y +Q r ) e. ( 2nd ` B ) )
90		19.8a 1639	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q r ) e. ( 2nd ` B ) ) -> E. y ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q r ) e. ( 2nd ` B ) ) )
91	75, 89, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> E. y ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q r ) e. ( 2nd ` B ) ) )
92	74, 91	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> ( r e. Q. /\ E. y ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q r ) e. ( 2nd ` B ) ) ) )
93	52	ltexprlemelu 7914	. . . . . . . 8 |- ( r e. ( 2nd ` C ) <-> ( r e. Q. /\ E. y ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q r ) e. ( 2nd ` B ) ) ) )
94	92, 93	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> r e. ( 2nd ` C ) )
95	94	3expa 1230	. . . . . 6 |- ( ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> r e. ( 2nd ` C ) )
96	73, 95	exlimddv 1948	. . . . 5 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> r e. ( 2nd ` C ) )
97		19.8a 1639	. . . . 5 |- ( ( r e. Q. /\ r e. ( 2nd ` C ) ) -> E. r ( r e. Q. /\ r e. ( 2nd ` C ) ) )
98	68, 96, 97	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> E. r ( r e. Q. /\ r e. ( 2nd ` C ) ) )
99		df-rex 2526	. . . 4 |- ( E. r e. Q. r e. ( 2nd ` C ) <-> E. r ( r e. Q. /\ r e. ( 2nd ` C ) ) )
100	98, 99	sylibr 134	. . 3 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> E. r e. Q. r e. ( 2nd ` C ) )
101	60, 61, 65, 100	exlimdd 1921	. 2 |- ( A <P B -> E. r e. Q. r e. ( 2nd ` C ) )
102	59, 101	jca 306	1 |- ( A <P B -> ( E. q e. Q. q e. ( 1st ` C ) /\ E. r e. Q. r e. ( 2nd ` C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   E.wrex 2521   {crab 2524   C_ wss 3211   <.cop 3692   class class class wbr 4109   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   1stc1st 6332   2ndc2nd 6333   Q.cnq 7595   +Q cplq 7597   <Q cltq 7600   P.cnp 7606   <P cltp 7610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-eprel 4410  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-1o 6647  df-oadd 6651  df-omul 6652  df-er 6767  df-ec 6769  df-qs 6773  df-ni 7619  df-pli 7620  df-mi 7621  df-lti 7622  df-plpq 7659  df-mpq 7660  df-enq 7662  df-nqqs 7663  df-plqqs 7664  df-mqqs 7665  df-1nqqs 7666  df-ltnqqs 7668  df-inp 7781  df-iltp 7785

This theorem is referenced by:  ltexprlempr  7923