Theorem ltexprlemm 7601

Description: Our constructed difference is inhabited. Lemma for ltexpri 7614. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	|- C = <. { x e. Q. | E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q x ) e. ( 1st ` B ) ) } , { x e. Q. | E. y ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q x ) e. ( 2nd ` B ) ) } >.

Assertion

Ref	Expression
ltexprlemm	|- ( A <P B -> ( E. q e. Q. q e. ( 1st ` C ) /\ E. r e. Q. r e. ( 2nd ` C ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, q, r, A   x, B, y, q, r   x, C, y, q, r

Proof of Theorem ltexprlemm

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelpr 7506	. . . . . . . . 9 |- <P C_ ( P. X. P. )
2	1	brel 4680	. . . . . . . 8 |- ( A <P B -> ( A e. P. /\ B e. P. ) )
3		ltdfpr 7507	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( A <P B <-> E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) ) )
4	3	biimpd 144	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( A <P B -> E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) ) )
5	2, 4	mpcom 36	. . . . . . 7 |- ( A <P B -> E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) )
6		simprrl 539	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A <P B /\ ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) ) ) -> y e. ( 2nd ` A ) )
7	2	simprd 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A <P B -> B e. P. )
8		prop 7476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B e. P. -> <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. )
9		prnmaxl 7489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. w e. ( 1st ` B ) y <Q w )
10	8, 9	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. P. /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. w e. ( 1st ` B ) y <Q w )
11		ltexnqi 7410	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y <Q w -> E. q e. Q. ( y +Q q ) = w )
12	11	reximi 2574	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. w e. ( 1st ` B ) y <Q w -> E. w e. ( 1st ` B ) E. q e. Q. ( y +Q q ) = w )
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. P. /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. w e. ( 1st ` B ) E. q e. Q. ( y +Q q ) = w )
14		df-rex 2461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. w e. ( 1st ` B ) E. q e. Q. ( y +Q q ) = w <-> E. w ( w e. ( 1st ` B ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) = w ) )
15	13, 14	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. P. /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. w ( w e. ( 1st ` B ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) = w ) )
16		r19.42v 2634	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. q e. Q. ( w e. ( 1st ` B ) /\ ( y +Q q ) = w ) <-> ( w e. ( 1st ` B ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) = w ) )
17	16	exbii 1605	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. w E. q e. Q. ( w e. ( 1st ` B ) /\ ( y +Q q ) = w ) <-> E. w ( w e. ( 1st ` B ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) = w ) )
18	15, 17	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. P. /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. w E. q e. Q. ( w e. ( 1st ` B ) /\ ( y +Q q ) = w ) )
19		eleq1 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y +Q q ) = w -> ( ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) <-> w e. ( 1st ` B ) ) )
20	19	biimparc 299	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. ( 1st ` B ) /\ ( y +Q q ) = w ) -> ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
21	20	reximi 2574	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. q e. Q. ( w e. ( 1st ` B ) /\ ( y +Q q ) = w ) -> E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
22	21	exlimiv 1598	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. w E. q e. Q. ( w e. ( 1st ` B ) /\ ( y +Q q ) = w ) -> E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
23	18, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. P. /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
24	7, 23	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A <P B /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
25	24	adantrl 478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A <P B /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) ) -> E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
26	25	adantrl 478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A <P B /\ ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) ) ) -> E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) )
27	6, 26	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( A <P B /\ ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) ) ) -> ( y e. ( 2nd ` A ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
28	27	expr 375	. . . . . . . 8 |- ( ( A <P B /\ y e. Q. ) -> ( ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> ( y e. ( 2nd ` A ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
29	28	reximdva 2579	. . . . . . 7 |- ( A <P B -> ( E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ y e. ( 1st ` B ) ) -> E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
30	5, 29	mpd 13	. . . . . 6 |- ( A <P B -> E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
31		r19.42v 2634	. . . . . . 7 |- ( E. q e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> ( y e. ( 2nd ` A ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
32	31	rexbii 2484	. . . . . 6 |- ( E. y e. Q. E. q e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ E. q e. Q. ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
33	30, 32	sylibr 134	. . . . 5 |- ( A <P B -> E. y e. Q. E. q e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
34		rexcom 2641	. . . . 5 |- ( E. y e. Q. E. q e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. q e. Q. E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
35	33, 34	sylib 122	. . . 4 |- ( A <P B -> E. q e. Q. E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
36	2	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A <P B -> A e. P. )
37		prop 7476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )
38		elprnqu 7483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ y e. ( 2nd ` A ) ) -> y e. Q. )
39	37, 38	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. P. /\ y e. ( 2nd ` A ) ) -> y e. Q. )
40	36, 39	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A <P B /\ y e. ( 2nd ` A ) ) -> y e. Q. )
41	40	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( A <P B -> ( y e. ( 2nd ` A ) -> y e. Q. ) )
42	41	pm4.71rd 394	. . . . . . . . 9 |- ( A <P B -> ( y e. ( 2nd ` A ) <-> ( y e. Q. /\ y e. ( 2nd ` A ) ) ) )
43	42	anbi1d 465	. . . . . . . 8 |- ( A <P B -> ( ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> ( ( y e. Q. /\ y e. ( 2nd ` A ) ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
44		anass 401	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Q. /\ y e. ( 2nd ` A ) ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
45	43, 44	bitrdi 196	. . . . . . 7 |- ( A <P B -> ( ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) ) )
46	45	exbidv 1825	. . . . . 6 |- ( A <P B -> ( E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. y ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) ) )
47	46	rexbidv 2478	. . . . 5 |- ( A <P B -> ( E. q e. Q. E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. q e. Q. E. y ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) ) )
48		df-rex 2461	. . . . . 6 |- ( E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. y ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
49	48	rexbii 2484	. . . . 5 |- ( E. q e. Q. E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. q e. Q. E. y ( y e. Q. /\ ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
50	47, 49	bitr4di 198	. . . 4 |- ( A <P B -> ( E. q e. Q. E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. q e. Q. E. y e. Q. ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
51	35, 50	mpbird 167	. . 3 |- ( A <P B -> E. q e. Q. E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
52		ltexprlem.1	. . . . . 6 |- C = <. { x e. Q. | E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q x ) e. ( 1st ` B ) ) } , { x e. Q. | E. y ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q x ) e. ( 2nd ` B ) ) } >.
53	52	ltexprlemell 7599	. . . . 5 |- ( q e. ( 1st ` C ) <-> ( q e. Q. /\ E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
54	53	rexbii 2484	. . . 4 |- ( E. q e. Q. q e. ( 1st ` C ) <-> E. q e. Q. ( q e. Q. /\ E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
55		ssid 3177	. . . . 5 |- Q. C_ Q.
56		rexss 3224	. . . . 5 |- ( Q. C_ Q. -> ( E. q e. Q. E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. q e. Q. ( q e. Q. /\ E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) ) )
57	55, 56	ax-mp 5	. . . 4 |- ( E. q e. Q. E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) <-> E. q e. Q. ( q e. Q. /\ E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) ) )
58	54, 57	bitr4i 187	. . 3 |- ( E. q e. Q. q e. ( 1st ` C ) <-> E. q e. Q. E. y ( y e. ( 2nd ` A ) /\ ( y +Q q ) e. ( 1st ` B ) ) )
59	51, 58	sylibr 134	. 2 |- ( A <P B -> E. q e. Q. q e. ( 1st ` C ) )
60		nfv 1528	. . 3 |- F/ r A <P B
61		nfre1 2520	. . 3 |- F/ r E. r e. Q. r e. ( 2nd ` C )
62		prmu 7479	. . . . 5 |- ( <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. -> E. r e. Q. r e. ( 2nd ` B ) )
63		rexex 2523	. . . . 5 |- ( E. r e. Q. r e. ( 2nd ` B ) -> E. r r e. ( 2nd ` B ) )
64	62, 63	syl 14	. . . 4 |- ( <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. -> E. r r e. ( 2nd ` B ) )
65	7, 8, 64	3syl 17	. . 3 |- ( A <P B -> E. r r e. ( 2nd ` B ) )
66		elprnqu 7483	. . . . . . 7 |- ( ( <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> r e. Q. )
67	8, 66	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( B e. P. /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> r e. Q. )
68	7, 67	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> r e. Q. )
69		prml 7478	. . . . . . . . 9 |- ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. -> E. y e. Q. y e. ( 1st ` A ) )
70	37, 69	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. P. -> E. y e. Q. y e. ( 1st ` A ) )
71		rexex 2523	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. Q. y e. ( 1st ` A ) -> E. y y e. ( 1st ` A ) )
72	36, 70, 71	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( A <P B -> E. y y e. ( 1st ` A ) )
73	72	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> E. y y e. ( 1st ` A ) )
74	68	3adant3 1017	. . . . . . . . 9 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> r e. Q. )
75		simp3 999	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> y e. ( 1st ` A ) )
76		elprnql 7482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> y e. Q. )
77	37, 76	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. P. /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> y e. Q. )
78	36, 77	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A <P B /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> y e. Q. )
79	78	3adant2 1016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> y e. Q. )
80		addcomnqg 7382	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( r e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( r +Q y ) = ( y +Q r ) )
81	74, 79, 80	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> ( r +Q y ) = ( y +Q r ) )
82		ltaddnq 7408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( r e. Q. /\ y e. Q. ) -> r <Q ( r +Q y ) )
83	74, 79, 82	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> r <Q ( r +Q y ) )
84		prcunqu 7486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> ( r <Q ( r +Q y ) -> ( r +Q y ) e. ( 2nd ` B ) ) )
85	8, 84	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. P. /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> ( r <Q ( r +Q y ) -> ( r +Q y ) e. ( 2nd ` B ) ) )
86	7, 85	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> ( r <Q ( r +Q y ) -> ( r +Q y ) e. ( 2nd ` B ) ) )
87	86	3adant3 1017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> ( r <Q ( r +Q y ) -> ( r +Q y ) e. ( 2nd ` B ) ) )
88	83, 87	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> ( r +Q y ) e. ( 2nd ` B ) )
89	81, 88	eqeltrrd 2255	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> ( y +Q r ) e. ( 2nd ` B ) )
90		19.8a 1590	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q r ) e. ( 2nd ` B ) ) -> E. y ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q r ) e. ( 2nd ` B ) ) )
91	75, 89, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> E. y ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q r ) e. ( 2nd ` B ) ) )
92	74, 91	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> ( r e. Q. /\ E. y ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q r ) e. ( 2nd ` B ) ) ) )
93	52	ltexprlemelu 7600	. . . . . . . 8 |- ( r e. ( 2nd ` C ) <-> ( r e. Q. /\ E. y ( y e. ( 1st ` A ) /\ ( y +Q r ) e. ( 2nd ` B ) ) ) )
94	92, 93	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> r e. ( 2nd ` C ) )
95	94	3expa 1203	. . . . . 6 |- ( ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) /\ y e. ( 1st ` A ) ) -> r e. ( 2nd ` C ) )
96	73, 95	exlimddv 1898	. . . . 5 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> r e. ( 2nd ` C ) )
97		19.8a 1590	. . . . 5 |- ( ( r e. Q. /\ r e. ( 2nd ` C ) ) -> E. r ( r e. Q. /\ r e. ( 2nd ` C ) ) )
98	68, 96, 97	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> E. r ( r e. Q. /\ r e. ( 2nd ` C ) ) )
99		df-rex 2461	. . . 4 |- ( E. r e. Q. r e. ( 2nd ` C ) <-> E. r ( r e. Q. /\ r e. ( 2nd ` C ) ) )
100	98, 99	sylibr 134	. . 3 |- ( ( A <P B /\ r e. ( 2nd ` B ) ) -> E. r e. Q. r e. ( 2nd ` C ) )
101	60, 61, 65, 100	exlimdd 1872	. 2 |- ( A <P B -> E. r e. Q. r e. ( 2nd ` C ) )
102	59, 101	jca 306	1 |- ( A <P B -> ( E. q e. Q. q e. ( 1st ` C ) /\ E. r e. Q. r e. ( 2nd ` C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   E.wrex 2456   {crab 2459   C_ wss 3131   <.cop 3597   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   1stc1st 6141   2ndc2nd 6142   Q.cnq 7281   +Q cplq 7283   <Q cltq 7286   P.cnp 7292   <P cltp 7296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-pli 7306  df-mi 7307  df-lti 7308  df-plpq 7345  df-mpq 7346  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-plqqs 7350  df-mqqs 7351  df-1nqqs 7352  df-ltnqqs 7354  df-inp 7467  df-iltp 7471

This theorem is referenced by:  ltexprlempr  7609