ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloc Unicode version
Theorem prarloc 7834
Description: A Dedekind cut is arithmetically located. Part of Proposition 11.15 of [BauerTaylor], p. 52, slightly modified. It states that given a tolerance P, there are elements of the lower and upper cut which are within that tolerance of each other.

Usually, proofs will be shorter if they use prarloc2 7835 instead. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Oct-2019.)

Assertion
Ref Expression
prarloc |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) -> E. a e. L E. b e. U b <Q ( a +Q P ) )
Distinct variable groups:   L, a, b   P, a, b   U, a, b
Proof of Theorem prarloc
Dummy variables m n q x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prml 7808 . . . . . . 7 |- ( <. L , U >. e. P. -> E. x e. Q. x e. L )
2 df-rex 2528 . . . . . . 7 |- ( E. x e. Q. x e. L <-> E. x ( x e. Q. /\ x e. L ) )
31, 2sylib 122 . . . . . 6 |- ( <. L , U >. e. P. -> E. x ( x e. Q. /\ x e. L ) )
43adantr 276 . . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) -> E. x ( x e. Q. /\ x e. L ) )
5 prmu 7809 . . . . . . 7 |- ( <. L , U >. e. P. -> E. y e. Q. y e. U )
6 df-rex 2528 . . . . . . 7 |- ( E. y e. Q. y e. U <-> E. y ( y e. Q. /\ y e. U ) )
75, 6sylib 122 . . . . . 6 |- ( <. L , U >. e. P. -> E. y ( y e. Q. /\ y e. U ) )
87adantr 276 . . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) -> E. y ( y e. Q. /\ y e. U ) )
9 subhalfnqq 7745 . . . . . . . . 9 |- ( P e. Q. -> E. q e. Q. ( q +Q q ) <Q P )
109adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) -> E. q e. Q. ( q +Q q ) <Q P )
11 df-rex 2528 . . . . . . . 8 |- ( E. q e. Q. ( q +Q q ) <Q P <-> E. q ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) )
1210, 11sylib 122 . . . . . . 7 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) -> E. q ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) )
1312ancli 323 . . . . . 6 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ E. q ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) )
14 19.42v 1958 . . . . . 6 |- ( E. q ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) <-> ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ E. q ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) )
1513, 14sylibr 134 . . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) -> E. q ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) )
16 eeeanv 1989 . . . . 5 |- ( E. x E. y E. q ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) <-> ( E. x ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ E. y ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ E. q ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) )
174, 8, 15, 16syl3anbrc 1208 . . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) -> E. x E. y E. q ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) )
18 prarloclemarch2 7750 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. Q. /\ x e. Q. /\ q e. Q. ) -> E. n e. N. ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) )
19 df-rex 2528 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. n e. N. ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) <-> E. n ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) )
2018, 19sylib 122 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. Q. /\ x e. Q. /\ q e. Q. ) -> E. n ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) )
21203com12 1234 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. /\ q e. Q. ) -> E. n ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) )
22213adant1r 1258 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ y e. Q. /\ q e. Q. ) -> E. n ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) )
23223adant2r 1260 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ q e. Q. ) -> E. n ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) )
24233adant3r 1262 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) -> E. n ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) )
25243adant3l 1261 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) -> E. n ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) )
2625ancli 323 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) -> ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ E. n ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) )
27 19.42v 1958 . . . . . . 7 |- ( E. n ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) <-> ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ E. n ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) )
2826, 27sylibr 134 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) -> E. n ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) )
29282eximi 1650 . . . . 5 |- ( E. y E. q ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) -> E. y E. q E. n ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) )
3029eximi 1649 . . . 4 |- ( E. x E. y E. q ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) -> E. x E. y E. q E. n ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) )
31 simpl1l 1075 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> x e. Q. )
32 simp3rl 1097 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) -> q e. Q. )
3332adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> q e. Q. )
34 simp3rr 1098 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) -> ( q +Q q ) <Q P )
3534adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> ( q +Q q ) <Q P )
3631, 33, 353jca 1204 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) )
37 simp3ll 1095 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) -> <. L , U >. e. P. )
3837adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> <. L , U >. e. P. )
39 simpl1r 1076 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> x e. L )
40 simprl 531 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> n e. N. )
41 simprrl 541 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> 1o <N n )
42 simprrr 542 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) )
43 simpl2r 1078 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> y e. U )
44 prcunqu 7816 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ y e. U ) -> ( y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) -> ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) )
4538, 43, 44syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> ( y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) -> ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) )
4642, 45mpd 13 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U )
47 prarloclem 7832 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ x e. L ) /\ ( n e. N. /\ q e. Q. /\ 1o <N n ) /\ ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) -> E. m e. om ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) )
4838, 39, 40, 33, 41, 46, 47syl231anc 1294 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> E. m e. om ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) )
49 df-rex 2528 . . . . . . . . . 10 |- ( E. m e. om ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) <-> E. m ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) )
5048, 49sylib 122 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> E. m ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) )
5136, 50jca 306 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ E. m ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) )
52 19.42v 1958 . . . . . . . 8 |- ( E. m ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) <-> ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ E. m ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) )
5351, 52sylibr 134 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> E. m ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) )
54 simprrl 541 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) -> ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L )
55 eleq1 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) -> ( a e. L <-> ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L ) )
5655anbi1d 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) -> ( ( a e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) <-> ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) )
5756anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) -> ( ( m e. om /\ ( a e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) <-> ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) )
5857anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) -> ( ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) <-> ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) ) )
5958ceqsexgv 2949 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L -> ( E. a ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) ) <-> ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) ) )
6059biimprcd 160 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) -> ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L -> E. a ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) ) ) )
6154, 60mpd 13 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) -> E. a ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) ) )
62 simprrr 542 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) -> ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U )
63 eleq1 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) -> ( b e. U <-> ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) )
6463anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) -> ( ( a e. L /\ b e. U ) <-> ( a e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) )
6564anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) -> ( ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) <-> ( m e. om /\ ( a e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) )
6665anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) -> ( ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) <-> ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) ) )
6766anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) -> ( ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) <-> ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) ) ) )
6867exbidv 1874 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) -> ( E. a ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) <-> E. a ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) ) ) )
6968ceqsexgv 2949 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U -> ( E. b ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) /\ E. a ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) ) <-> E. a ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) ) ) )
7069biimprcd 160 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. a ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) ) -> ( ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U -> E. b ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) /\ E. a ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) ) ) )
7161, 62, 70sylc 62 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) -> E. b ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) /\ E. a ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) ) )
72 19.42v 1958 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. a ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) /\ ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) ) <-> ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) /\ E. a ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) ) )
7372exbii 1654 . . . . . . . . . 10 |- ( E. b E. a ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) /\ ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) ) <-> E. b ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) /\ E. a ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) ) )
7471, 73sylibr 134 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) -> E. b E. a ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) /\ ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) ) )
75 simprrl 541 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) -> a e. L )
7675adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) -> a e. L )
77 simprrr 542 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) -> b e. U )
7877adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) -> b e. U )
79 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) -> ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) )
80 simprl2 1070 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) -> q e. Q. )
81 simprl3 1071 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) -> ( q +Q q ) <Q P )
8280, 81jca 306 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) -> ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) )
83 simprl1 1069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) -> x e. Q. )
84 simprrl 541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) -> m e. om )
8583, 84jca 306 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) -> ( x e. Q. /\ m e. om ) )
86 prarloclemcalc 7833 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) /\ ( ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( x e. Q. /\ m e. om ) ) ) -> b <Q ( a +Q P ) )
8779, 82, 85, 86syl12anc 1272 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) -> b <Q ( a +Q P ) )
8878, 87jca 306 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) -> ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) )
8976, 88jca 306 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) -> ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) )
9089ancom1s 571 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) /\ a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) -> ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) )
9190anasss 399 . . . . . . . . . 10 |- ( ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) /\ ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) ) -> ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) )
92912eximi 1650 . . . . . . . . 9 |- ( E. b E. a ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) /\ ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) ) -> E. b E. a ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) )
9374, 92syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) -> E. b E. a ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) )
9493exlimiv 1647 . . . . . . 7 |- ( E. m ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) -> E. b E. a ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) )
9553, 94syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> E. b E. a ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) )
9695exlimivv 1948 . . . . 5 |- ( E. q E. n ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> E. b E. a ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) )
9796exlimivv 1948 . . . 4 |- ( E. x E. y E. q E. n ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> E. b E. a ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) )
9817, 30, 973syl 17 . . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) -> E. b E. a ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) )
99 excom 1712 . . 3 |- ( E. b E. a ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) <-> E. a E. b ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) )
10098, 99sylib 122 . 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) -> E. a E. b ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) )
101 19.42v 1958 . . . . 5 |- ( E. b ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) <-> ( a e. L /\ E. b ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) )
102 df-rex 2528 . . . . . 6 |- ( E. b e. U b <Q ( a +Q P ) <-> E. b ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) )
103102anbi2i 457 . . . . 5 |- ( ( a e. L /\ E. b e. U b <Q ( a +Q P ) ) <-> ( a e. L /\ E. b ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) )
104101, 103bitr4i 187 . . . 4 |- ( E. b ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) <-> ( a e. L /\ E. b e. U b <Q ( a +Q P ) ) )
105104exbii 1654 . . 3 |- ( E. a E. b ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) <-> E. a ( a e. L /\ E. b e. U b <Q ( a +Q P ) ) )
106 df-rex 2528 . . 3 |- ( E. a e. L E. b e. U b <Q ( a +Q P ) <-> E. a ( a e. L /\ E. b e. U b <Q ( a +Q P ) ) )
107105, 106bitr4i 187 . 2 |- ( E. a E. b ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) <-> E. a e. L E. b e. U b <Q ( a +Q P ) )
108100, 107sylib 122 1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) -> E. a e. L E. b e. U b <Q ( a +Q P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   E.wrex 2523   <.cop 3697   class class class wbr 4114   omcom 4717  (class class class)co 6058   1oc1o 6653   2oc2o 6654   +o coa 6657   [cec 6778   N.cnpi 7603   <N clti 7606   ~Q ceq 7610   Q.cnq 7611   +Q cplq 7613   .Q cmq 7614   <Q cltq 7616   ~Q0 ceq0 7617   +Q0 cplq0 7620   ·Q0 cmq0 7621   P.cnp 7622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-eprel 4415  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6780  df-ec 6782  df-qs 6786  df-ni 7635  df-pli 7636  df-mi 7637  df-lti 7638  df-plpq 7675  df-mpq 7676  df-enq 7678  df-nqqs 7679  df-plqqs 7680  df-mqqs 7681  df-1nqqs 7682  df-rq 7683  df-ltnqqs 7684  df-enq0 7755  df-nq0 7756  df-0nq0 7757  df-plq0 7758  df-mq0 7759  df-inp 7797
This theorem is referenced by:  prarloc2  7835  addlocpr  7867  prmuloc  7897  ltaddpr  7928  ltexprlemloc  7938  ltexprlemrl  7941  ltexprlemru  7943
  Copyright terms: Public domain W3C validator