ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloc Unicode version
Theorem prarloc 7722
Description: A Dedekind cut is arithmetically located. Part of Proposition 11.15 of [BauerTaylor], p. 52, slightly modified. It states that given a tolerance P, there are elements of the lower and upper cut which are within that tolerance of each other.

Usually, proofs will be shorter if they use prarloc2 7723 instead. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Oct-2019.)

Assertion
Ref Expression
prarloc |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) -> E. a e. L E. b e. U b <Q ( a +Q P ) )
Distinct variable groups:   L, a, b   P, a, b   U, a, b
Proof of Theorem prarloc
Dummy variables m n q x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prml 7696 . . . . . . 7 |- ( <. L , U >. e. P. -> E. x e. Q. x e. L )
2 df-rex 2516 . . . . . . 7 |- ( E. x e. Q. x e. L <-> E. x ( x e. Q. /\ x e. L ) )
31, 2sylib 122 . . . . . 6 |- ( <. L , U >. e. P. -> E. x ( x e. Q. /\ x e. L ) )
43adantr 276 . . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) -> E. x ( x e. Q. /\ x e. L ) )
5 prmu 7697 . . . . . . 7 |- ( <. L , U >. e. P. -> E. y e. Q. y e. U )
6 df-rex 2516 . . . . . . 7 |- ( E. y e. Q. y e. U <-> E. y ( y e. Q. /\ y e. U ) )
75, 6sylib 122 . . . . . 6 |- ( <. L , U >. e. P. -> E. y ( y e. Q. /\ y e. U ) )
87adantr 276 . . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) -> E. y ( y e. Q. /\ y e. U ) )
9 subhalfnqq 7633 . . . . . . . . 9 |- ( P e. Q. -> E. q e. Q. ( q +Q q ) <Q P )
109adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) -> E. q e. Q. ( q +Q q ) <Q P )
11 df-rex 2516 . . . . . . . 8 |- ( E. q e. Q. ( q +Q q ) <Q P <-> E. q ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) )
1210, 11sylib 122 . . . . . . 7 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) -> E. q ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) )
1312ancli 323 . . . . . 6 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ E. q ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) )
14 19.42v 1955 . . . . . 6 |- ( E. q ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) <-> ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ E. q ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) )
1513, 14sylibr 134 . . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) -> E. q ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) )
16 eeeanv 1986 . . . . 5 |- ( E. x E. y E. q ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) <-> ( E. x ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ E. y ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ E. q ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) )
174, 8, 15, 16syl3anbrc 1207 . . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) -> E. x E. y E. q ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) )
18 prarloclemarch2 7638 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. Q. /\ x e. Q. /\ q e. Q. ) -> E. n e. N. ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) )
19 df-rex 2516 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. n e. N. ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) <-> E. n ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) )
2018, 19sylib 122 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. Q. /\ x e. Q. /\ q e. Q. ) -> E. n ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) )
21203com12 1233 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. /\ q e. Q. ) -> E. n ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) )
22213adant1r 1257 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ y e. Q. /\ q e. Q. ) -> E. n ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) )
23223adant2r 1259 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ q e. Q. ) -> E. n ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) )
24233adant3r 1261 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) -> E. n ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) )
25243adant3l 1260 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) -> E. n ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) )
2625ancli 323 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) -> ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ E. n ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) )
27 19.42v 1955 . . . . . . 7 |- ( E. n ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) <-> ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ E. n ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) )
2826, 27sylibr 134 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) -> E. n ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) )
29282eximi 1649 . . . . 5 |- ( E. y E. q ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) -> E. y E. q E. n ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) )
3029eximi 1648 . . . 4 |- ( E. x E. y E. q ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) -> E. x E. y E. q E. n ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) )
31 simpl1l 1074 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> x e. Q. )
32 simp3rl 1096 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) -> q e. Q. )
3332adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> q e. Q. )
34 simp3rr 1097 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) -> ( q +Q q ) <Q P )
3534adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> ( q +Q q ) <Q P )
3631, 33, 353jca 1203 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) )
37 simp3ll 1094 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) -> <. L , U >. e. P. )
3837adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> <. L , U >. e. P. )
39 simpl1r 1075 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> x e. L )
40 simprl 531 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> n e. N. )
41 simprrl 541 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> 1o <N n )
42 simprrr 542 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) )
43 simpl2r 1077 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> y e. U )
44 prcunqu 7704 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ y e. U ) -> ( y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) -> ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) )
4538, 43, 44syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> ( y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) -> ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) )
4642, 45mpd 13 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U )
47 prarloclem 7720 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ x e. L ) /\ ( n e. N. /\ q e. Q. /\ 1o <N n ) /\ ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) -> E. m e. om ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) )
4838, 39, 40, 33, 41, 46, 47syl231anc 1293 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> E. m e. om ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) )
49 df-rex 2516 . . . . . . . . . 10 |- ( E. m e. om ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) <-> E. m ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) )
5048, 49sylib 122 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> E. m ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) )
5136, 50jca 306 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ E. m ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) )
52 19.42v 1955 . . . . . . . 8 |- ( E. m ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) <-> ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ E. m ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) )
5351, 52sylibr 134 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> E. m ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) )
54 simprrl 541 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) -> ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L )
55 eleq1 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) -> ( a e. L <-> ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L ) )
5655anbi1d 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) -> ( ( a e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) <-> ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) )
5756anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) -> ( ( m e. om /\ ( a e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) <-> ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) )
5857anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) -> ( ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) <-> ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) ) )
5958ceqsexgv 2935 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L -> ( E. a ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) ) <-> ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) ) )
6059biimprcd 160 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) -> ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L -> E. a ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) ) ) )
6154, 60mpd 13 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) -> E. a ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) ) )
62 simprrr 542 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) -> ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U )
63 eleq1 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) -> ( b e. U <-> ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) )
6463anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) -> ( ( a e. L /\ b e. U ) <-> ( a e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) )
6564anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) -> ( ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) <-> ( m e. om /\ ( a e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) )
6665anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) -> ( ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) <-> ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) ) )
6766anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) -> ( ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) <-> ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) ) ) )
6867exbidv 1873 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) -> ( E. a ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) <-> E. a ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) ) ) )
6968ceqsexgv 2935 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U -> ( E. b ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) /\ E. a ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) ) <-> E. a ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) ) ) )
7069biimprcd 160 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. a ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) ) -> ( ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U -> E. b ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) /\ E. a ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) ) ) )
7161, 62, 70sylc 62 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) -> E. b ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) /\ E. a ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) ) )
72 19.42v 1955 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. a ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) /\ ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) ) <-> ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) /\ E. a ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) ) )
7372exbii 1653 . . . . . . . . . 10 |- ( E. b E. a ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) /\ ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) ) <-> E. b ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) /\ E. a ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) ) )
7471, 73sylibr 134 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) -> E. b E. a ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) /\ ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) ) )
75 simprrl 541 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) -> a e. L )
7675adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) -> a e. L )
77 simprrr 542 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) -> b e. U )
7877adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) -> b e. U )
79 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) -> ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) )
80 simprl2 1069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) -> q e. Q. )
81 simprl3 1070 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) -> ( q +Q q ) <Q P )
8280, 81jca 306 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) -> ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) )
83 simprl1 1068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) -> x e. Q. )
84 simprrl 541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) -> m e. om )
8583, 84jca 306 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) -> ( x e. Q. /\ m e. om ) )
86 prarloclemcalc 7721 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) /\ ( ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( x e. Q. /\ m e. om ) ) ) -> b <Q ( a +Q P ) )
8779, 82, 85, 86syl12anc 1271 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) -> b <Q ( a +Q P ) )
8878, 87jca 306 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) -> ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) )
8976, 88jca 306 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) -> ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) )
9089ancom1s 571 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) /\ a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) -> ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) )
9190anasss 399 . . . . . . . . . 10 |- ( ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) /\ ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) ) -> ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) )
92912eximi 1649 . . . . . . . . 9 |- ( E. b E. a ( b = ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) /\ ( a = ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) /\ ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( a e. L /\ b e. U ) ) ) ) ) -> E. b E. a ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) )
9374, 92syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) -> E. b E. a ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) )
9493exlimiv 1646 . . . . . . 7 |- ( E. m ( ( x e. Q. /\ q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) /\ ( m e. om /\ ( ( x +Q0 ( [ <. m , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 q ) ) e. L /\ ( x +Q ( [ <. ( m +o 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) e. U ) ) ) -> E. b E. a ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) )
9553, 94syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> E. b E. a ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) )
9695exlimivv 1945 . . . . 5 |- ( E. q E. n ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> E. b E. a ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) )
9796exlimivv 1945 . . . 4 |- ( E. x E. y E. q E. n ( ( ( x e. Q. /\ x e. L ) /\ ( y e. Q. /\ y e. U ) /\ ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) /\ ( q e. Q. /\ ( q +Q q ) <Q P ) ) ) /\ ( n e. N. /\ ( 1o <N n /\ y <Q ( x +Q ( [ <. n , 1o >. ] ~Q .Q q ) ) ) ) ) -> E. b E. a ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) )
9817, 30, 973syl 17 . . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) -> E. b E. a ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) )
99 excom 1712 . . 3 |- ( E. b E. a ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) <-> E. a E. b ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) )
10098, 99sylib 122 . 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) -> E. a E. b ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) )
101 19.42v 1955 . . . . 5 |- ( E. b ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) <-> ( a e. L /\ E. b ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) )
102 df-rex 2516 . . . . . 6 |- ( E. b e. U b <Q ( a +Q P ) <-> E. b ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) )
103102anbi2i 457 . . . . 5 |- ( ( a e. L /\ E. b e. U b <Q ( a +Q P ) ) <-> ( a e. L /\ E. b ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) )
104101, 103bitr4i 187 . . . 4 |- ( E. b ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) <-> ( a e. L /\ E. b e. U b <Q ( a +Q P ) ) )
105104exbii 1653 . . 3 |- ( E. a E. b ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) <-> E. a ( a e. L /\ E. b e. U b <Q ( a +Q P ) ) )
106 df-rex 2516 . . 3 |- ( E. a e. L E. b e. U b <Q ( a +Q P ) <-> E. a ( a e. L /\ E. b e. U b <Q ( a +Q P ) ) )
107105, 106bitr4i 187 . 2 |- ( E. a E. b ( a e. L /\ ( b e. U /\ b <Q ( a +Q P ) ) ) <-> E. a e. L E. b e. U b <Q ( a +Q P ) )
108100, 107sylib 122 1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) -> E. a e. L E. b e. U b <Q ( a +Q P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   E.wrex 2511   <.cop 3672   class class class wbr 4088   omcom 4688  (class class class)co 6017   1oc1o 6574   2oc2o 6575   +o coa 6578   [cec 6699   N.cnpi 7491   <N clti 7494   ~Q ceq 7498   Q.cnq 7499   +Q cplq 7501   .Q cmq 7502   <Q cltq 7504   ~Q0 ceq0 7505   +Q0 cplq0 7508   ·Q0 cmq0 7509   P.cnp 7510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-1o 6581  df-2o 6582  df-oadd 6585  df-omul 6586  df-er 6701  df-ec 6703  df-qs 6707  df-ni 7523  df-pli 7524  df-mi 7525  df-lti 7526  df-plpq 7563  df-mpq 7564  df-enq 7566  df-nqqs 7567  df-plqqs 7568  df-mqqs 7569  df-1nqqs 7570  df-rq 7571  df-ltnqqs 7572  df-enq0 7643  df-nq0 7644  df-0nq0 7645  df-plq0 7646  df-mq0 7647  df-inp 7685
This theorem is referenced by:  prarloc2  7723  addlocpr  7755  prmuloc  7785  ltaddpr  7816  ltexprlemloc  7826  ltexprlemrl  7829  ltexprlemru  7831
  Copyright terms: Public domain W3C validator