Theorem prmu 7697

Description: A positive real's upper cut is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prmu	⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑈

Proof of Theorem prmu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinp 7693	. 2 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑦 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑦 ∈ Q ¬ (𝑦 ∈ 𝐿 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑦 ∈ Q ∀𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐿 ∨ 𝑥 ∈ 𝑈)))))
2		simplrr 538	. 2 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑦 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑦 ∈ Q ¬ (𝑦 ∈ 𝐿 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑦 ∈ Q ∀𝑥 ∈ Q (𝑦 <Q 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐿 ∨ 𝑥 ∈ 𝑈)))) → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝑈)
3	1, 2	sylbi 121	1 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   ∧ w3a 1004   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃wrex 2511   ⊆ wss 3200  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088  Qcnq 7499   <_Q cltq 7504  Pcnp 7510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-qs 6707  df-ni 7523  df-nqqs 7567  df-inp 7685

This theorem is referenced by:  prarloc  7722  genpmu  7737  ltexprlemm  7819  ltexprlemloc  7826  recexprlemm  7843  archpr  7862  caucvgprprlemmu  7914  suplocexprlemmu  7937