Theorem prml 7561

Description: A positive real's lower cut is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prml	|- ( <. L , U >. e. P. -> E. x e. Q. x e. L )

Distinct variable groups:   x, L   x, U

Proof of Theorem prml

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinp 7558	. 2 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. x e. Q. x e. L /\ E. y e. Q. y e. U ) ) /\ ( ( A. x e. Q. ( x e. L <-> E. y e. Q. ( x <Q y /\ y e. L ) ) /\ A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) ) /\ A. x e. Q. -. ( x e. L /\ x e. U ) /\ A. x e. Q. A. y e. Q. ( x <Q y -> ( x e. L \/ y e. U ) ) ) ) )
2		simplrl 535	. 2 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. x e. Q. x e. L /\ E. y e. Q. y e. U ) ) /\ ( ( A. x e. Q. ( x e. L <-> E. y e. Q. ( x <Q y /\ y e. L ) ) /\ A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) ) /\ A. x e. Q. -. ( x e. L /\ x e. U ) /\ A. x e. Q. A. y e. Q. ( x <Q y -> ( x e. L \/ y e. U ) ) ) ) -> E. x e. Q. x e. L )
3	1, 2	sylbi 121	1 |- ( <. L , U >. e. P. -> E. x e. Q. x e. L )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   C_ wss 3157   <.cop 3626   class class class wbr 4034   Q.cnq 7364   <Q cltq 7369   P.cnp 7375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-qs 6607  df-ni 7388  df-nqqs 7432  df-inp 7550

This theorem is referenced by:  0npr  7567  prarloc  7587  genpml  7601  prmuloc  7650  ltaddpr  7681  ltexprlemm  7684  ltexprlemloc  7691  recexprlemm  7708  archrecpr  7748  caucvgprprlemml  7778  suplocexprlemml  7800