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Theorem prodeq2w 11332
Description: Equality theorem for product, when the class expressions 
B and  C are equal everywhere. Proved using only Extensionality. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
prodeq2w  |-  ( A. k  B  =  C  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ k  e.  A  C )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem prodeq2w
Dummy variables  f  j  m  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2139 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ZZ  =  ZZ
2 ifeq1 3477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  =  C  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )
32alimi 1431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. k  B  =  C  ->  A. k if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )
4 alral 2478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. k if ( k  e.  A ,  B , 
1 )  =  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  ->  A. k  e.  ZZ  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )
53, 4syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  B  =  C  ->  A. k  e.  ZZ  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )
6 mpteq12 4011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ZZ  =  ZZ  /\  A. k  e.  ZZ  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )  ->  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )
71, 5, 6sylancr 410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )
87seqeq3d 10233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  B  =  C  ->  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) ) )
98breq1d 3939 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  B  =  C  ->  (  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y  <->  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
109anbi2d 459 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <-> 
( y #  0  /\ 
seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
1110exbidv 1797 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
1211rexbidv 2438 . . . . . . 7  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
137seqeq3d 10233 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  B  =  C  ->  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq m
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) ) )
1413breq1d 3939 . . . . . . 7  |-  ( A. k  B  =  C  ->  (  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq m
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
1512, 14anbi12d 464 . . . . . 6  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) ) )
1615anbi2d 459 . . . . 5  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )  <->  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) ) ) )
1716rexbidv 2438 . . . 4  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )  <->  E. m  e.  ZZ  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) ) ) )
18 csbeq2 3026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  B  =  C  ->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
)
1918ifeq1d 3489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  B  =  C  ->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `
 n )  / 
k ]_ B ,  1 )  =  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  1 ) )
2019mpteq2dv 4019 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  1 ) ) )
2120seqeq3d 10233 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  B  =  C  ->  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  1 ) ) )  =  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  1 ) ) ) )
2221fveq1d 5423 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  B  =  C  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  m
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  1 ) ) ) `  m
) )
2322eqeq2d 2151 . . . . . . 7  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  m
)  <->  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  1 ) ) ) `  m
) ) )
2423anbi2d 459 . . . . . 6  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  m
) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  1 ) ) ) `  m
) ) ) )
2524exbidv 1797 . . . . 5  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  m
) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  1 ) ) ) `  m
) ) ) )
2625rexbidv 2438 . . . 4  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  m
) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  1 ) ) ) `  m
) ) ) )
2717, 26orbi12d 782 . . 3  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  m
) ) )  <->  ( E. m  e.  ZZ  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  1 ) ) ) `  m
) ) ) ) )
2827iotabidv 5109 . 2  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  m
) ) ) )  =  ( iota x
( E. m  e.  ZZ  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  1 ) ) ) `  m
) ) ) ) )
29 df-proddc 11327 . 2  |-  prod_ k  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  m
) ) ) )
30 df-proddc 11327 . 2  |-  prod_ k  e.  A  C  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  1 ) ) ) `  m
) ) ) )
3128, 29, 303eqtr4g 2197 1  |-  ( A. k  B  =  C  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ k  e.  A  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 697  DECID wdc 819   A.wal 1329    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   [_csb 3003    C_ wss 3071   ifcif 3474   class class class wbr 3929    |-> cmpt 3989   iotacio 5086   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   0cc0 7627   1c1 7628    x. cmul 7632    <_ cle 7808   # cap 8350   NNcn 8727   ZZcz 9061   ZZ>=cuz 9333   ...cfz 9797    seqcseq 10225    ~~> cli 11054   prod_cprod 11326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-cnv 4547  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-recs 6202  df-frec 6288  df-seqfrec 10226  df-proddc 11327
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