Theorem enq0er 7698

Description: The equivalence relation for nonnegative fractions is an equivalence relation. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0er	|- ~Q0 Er ( om X. N. )

Proof of Theorem enq0er

Dummy variables f g h x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-enq0 7687	. . . . 5 |- ~Q0 = { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) }
2	1	relopabi 4861	. . . 4 |- Rel ~Q0
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> Rel ~Q0 )
4		enq0sym 7695	. . . 4 |- ( f ~Q0 g -> g ~Q0 f )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ f ~Q0 g ) -> g ~Q0 f )
6		enq0tr 7697	. . . 4 |- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) -> f ~Q0 h )
7	6	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) ) -> f ~Q0 h )
8		enq0ref 7696	. . . 4 |- ( f e. ( om X. N. ) <-> f ~Q0 f )
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( f e. ( om X. N. ) <-> f ~Q0 f ) )
10	3, 5, 7, 9	iserd 6771	. 2 |- ( T. -> ~Q0 Er ( om X. N. ) )
11	10	mptru 1407	1 |- ~Q0 Er ( om X. N. )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   T. wtru 1399   E.wex 1541   e. wcel 2202   <.cop 3676   class class class wbr 4093   omcom 4694   X. cxp 4729   Rel wrel 4736  (class class class)co 6028   .o comu 6623   Er wer 6742   N.cnpi 7535   ~_Q0 ceq0 7549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ni 7567  df-enq0 7687

This theorem is referenced by:  enq0eceq  7700  nqnq0pi  7701  mulcanenq0ec  7708  nnnq0lem1  7709  addnq0mo  7710  mulnq0mo  7711