ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0er Unicode version

Theorem enq0er 7055
Description: The equivalence relation for nonnegative fractions is an equivalence relation. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0er  |- ~Q0  Er  ( om  X.  N. )

Proof of Theorem enq0er
Dummy variables  f  g  h  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-enq0 7044 . . . . 5  |- ~Q0  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) }
21relopabi 4576 . . . 4  |-  Rel ~Q0
32a1i 9 . . 3  |-  ( T. 
->  Rel ~Q0  )
4 enq0sym 7052 . . . 4  |-  ( f ~Q0  g  ->  g ~Q0  f )
54adantl 272 . . 3  |-  ( ( T.  /\  f ~Q0  g )  ->  g ~Q0  f )
6 enq0tr 7054 . . . 4  |-  ( ( f ~Q0  g  /\  g ~Q0  h )  ->  f ~Q0  h )
76adantl 272 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( f ~Q0  g  /\  g ~Q0  h ) )  -> 
f ~Q0  h )
8 enq0ref 7053 . . . 4  |-  ( f  e.  ( om  X.  N. )  <->  f ~Q0  f )
98a1i 9 . . 3  |-  ( T. 
->  ( f  e.  ( om  X.  N. )  <->  f ~Q0  f
) )
103, 5, 7, 9iserd 6332 . 2  |-  ( T. 
-> ~Q0  Er  ( om  X.  N. ) )
1110mptru 1299 1  |- ~Q0  Er  ( om  X.  N. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1290   T. wtru 1291   E.wex 1427    e. wcel 1439   <.cop 3453   class class class wbr 3851   omcom 4418    X. cxp 4450   Rel wrel 4457  (class class class)co 5666    .o comu 6193    Er wer 6303   N.cnpi 6892   ~Q0 ceq0 6906
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ni 6924  df-enq0 7044
This theorem is referenced by:  enq0eceq  7057  nqnq0pi  7058  mulcanenq0ec  7065  nnnq0lem1  7066  addnq0mo  7067  mulnq0mo  7068
  Copyright terms: Public domain W3C validator