Theorem enq0er 7497

Description: The equivalence relation for nonnegative fractions is an equivalence relation. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0er	|- ~Q0 Er ( om X. N. )

Proof of Theorem enq0er

Dummy variables f g h x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-enq0 7486	. . . . 5 |- ~Q0 = { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) }
2	1	relopabi 4788	. . . 4 |- Rel ~Q0
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> Rel ~Q0 )
4		enq0sym 7494	. . . 4 |- ( f ~Q0 g -> g ~Q0 f )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ f ~Q0 g ) -> g ~Q0 f )
6		enq0tr 7496	. . . 4 |- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) -> f ~Q0 h )
7	6	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) ) -> f ~Q0 h )
8		enq0ref 7495	. . . 4 |- ( f e. ( om X. N. ) <-> f ~Q0 f )
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( f e. ( om X. N. ) <-> f ~Q0 f ) )
10	3, 5, 7, 9	iserd 6615	. 2 |- ( T. -> ~Q0 Er ( om X. N. ) )
11	10	mptru 1373	1 |- ~Q0 Er ( om X. N. )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   T. wtru 1365   E.wex 1503   e. wcel 2164   <.cop 3622   class class class wbr 4030   omcom 4623   X. cxp 4658   Rel wrel 4665  (class class class)co 5919   .o comu 6469   Er wer 6586   N.cnpi 7334   ~_Q0 ceq0 7348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-oadd 6475  df-omul 6476  df-er 6589  df-ni 7366  df-enq0 7486

This theorem is referenced by:  enq0eceq  7499  nqnq0pi  7500  mulcanenq0ec  7507  nnnq0lem1  7508  addnq0mo  7509  mulnq0mo  7510