ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0er Unicode version

Theorem enq0er 7459
Description: The equivalence relation for nonnegative fractions is an equivalence relation. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0er  |- ~Q0  Er  ( om  X.  N. )

Proof of Theorem enq0er
Dummy variables  f  g  h  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-enq0 7448 . . . . 5  |- ~Q0  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) }
21relopabi 4767 . . . 4  |-  Rel ~Q0
32a1i 9 . . 3  |-  ( T. 
->  Rel ~Q0  )
4 enq0sym 7456 . . . 4  |-  ( f ~Q0  g  ->  g ~Q0  f )
54adantl 277 . . 3  |-  ( ( T.  /\  f ~Q0  g )  ->  g ~Q0  f )
6 enq0tr 7458 . . . 4  |-  ( ( f ~Q0  g  /\  g ~Q0  h )  ->  f ~Q0  h )
76adantl 277 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( f ~Q0  g  /\  g ~Q0  h ) )  -> 
f ~Q0  h )
8 enq0ref 7457 . . . 4  |-  ( f  e.  ( om  X.  N. )  <->  f ~Q0  f )
98a1i 9 . . 3  |-  ( T. 
->  ( f  e.  ( om  X.  N. )  <->  f ~Q0  f
) )
103, 5, 7, 9iserd 6580 . 2  |-  ( T. 
-> ~Q0  Er  ( om  X.  N. ) )
1110mptru 1373 1  |- ~Q0  Er  ( om  X.  N. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364   T. wtru 1365   E.wex 1503    e. wcel 2160   <.cop 3610   class class class wbr 4018   omcom 4604    X. cxp 4639   Rel wrel 4646  (class class class)co 5892    .o comu 6434    Er wer 6551   N.cnpi 7296   ~Q0 ceq0 7310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-irdg 6390  df-oadd 6440  df-omul 6441  df-er 6554  df-ni 7328  df-enq0 7448
This theorem is referenced by:  enq0eceq  7461  nqnq0pi  7462  mulcanenq0ec  7469  nnnq0lem1  7470  addnq0mo  7471  mulnq0mo  7472
  Copyright terms: Public domain W3C validator