Theorem enq0er 7055

Description: The equivalence relation for nonnegative fractions is an equivalence relation. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0er	|- ~Q0 Er ( om X. N. )

Proof of Theorem enq0er

Dummy variables f g h x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-enq0 7044	. . . . 5 |- ~Q0 = { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) }
2	1	relopabi 4576	. . . 4 |- Rel ~Q0
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> Rel ~Q0 )
4		enq0sym 7052	. . . 4 |- ( f ~Q0 g -> g ~Q0 f )
5	4	adantl 272	. . 3 |- ( ( T. /\ f ~Q0 g ) -> g ~Q0 f )
6		enq0tr 7054	. . . 4 |- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) -> f ~Q0 h )
7	6	adantl 272	. . 3 |- ( ( T. /\ ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) ) -> f ~Q0 h )
8		enq0ref 7053	. . . 4 |- ( f e. ( om X. N. ) <-> f ~Q0 f )
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( f e. ( om X. N. ) <-> f ~Q0 f ) )
10	3, 5, 7, 9	iserd 6332	. 2 |- ( T. -> ~Q0 Er ( om X. N. ) )
11	10	mptru 1299	1 |- ~Q0 Er ( om X. N. )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1290   T. wtru 1291   E.wex 1427   e. wcel 1439   <.cop 3453   class class class wbr 3851   omcom 4418   X. cxp 4450   Rel wrel 4457  (class class class)co 5666   .o comu 6193   Er wer 6303   N.cnpi 6892   ~_Q0 ceq0 6906

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ni 6924  df-enq0 7044

This theorem is referenced by:  enq0eceq  7057  nqnq0pi  7058  mulcanenq0ec  7065  nnnq0lem1  7066  addnq0mo  7067  mulnq0mo  7068