Theorem ressbasssd 13123

Description: The base set of a restriction is a subset of the base set of the original structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbasd.r	|- ( ph -> R = ( W ↾s A ) )
ressbasd.b	|- ( ph -> B = ( Base ` W ) )
ressbasd.w	|- ( ph -> W e. X )
ressbasssd.a	|- ( ph -> A e. V )

Assertion

Ref	Expression
ressbasssd	|- ( ph -> ( Base ` R ) C_ B )

Proof of Theorem ressbasssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbasd.r	. . 3 |- ( ph -> R = ( W ↾s A ) )
2		ressbasd.b	. . 3 |- ( ph -> B = ( Base ` W ) )
3		ressbasd.w	. . 3 |- ( ph -> W e. X )
4		ressbasssd.a	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
5	1, 2, 3, 4	ressbasd 13121	. 2 |- ( ph -> ( A i^i B ) = ( Base ` R ) )
6		inss2 3425	. 2 |- ( A i^i B ) C_ B
7	5, 6	eqsstrrdi 3277	1 |- ( ph -> ( Base ` R ) C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   i^i cin 3196   C_ wss 3197   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   Basecbs 13053   ↾_s cress 13054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1re 8109  ax-addrcl 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fv 5329  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-inn 9127  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-sets 13060  df-iress 13061

This theorem is referenced by:  subcmnd  13891  lidlssbas  14462