Theorem ressbasssd 13299

Description: The base set of a restriction is a subset of the base set of the original structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbasd.r	|- ( ph -> R = ( W ↾s A ) )
ressbasd.b	|- ( ph -> B = ( Base ` W ) )
ressbasd.w	|- ( ph -> W e. X )
ressbasssd.a	|- ( ph -> A e. V )

Assertion

Ref	Expression
ressbasssd	|- ( ph -> ( Base ` R ) C_ B )

Proof of Theorem ressbasssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbasd.r	. . 3 |- ( ph -> R = ( W ↾s A ) )
2		ressbasd.b	. . 3 |- ( ph -> B = ( Base ` W ) )
3		ressbasd.w	. . 3 |- ( ph -> W e. X )
4		ressbasssd.a	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
5	1, 2, 3, 4	ressbasd 13297	. 2 |- ( ph -> ( A i^i B ) = ( Base ` R ) )
6		inss2 3444	. 2 |- ( A i^i B ) C_ B
7	5, 6	eqsstrrdi 3293	1 |- ( ph -> ( Base ` R ) C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   i^i cin 3212   C_ wss 3213   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   Basecbs 13229   ↾_s cress 13230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1re 8223  ax-addrcl 8226

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-inn 9240  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-sets 13236  df-iress 13237

This theorem is referenced by:  subcmnd  14067  lidlssbas  14642