ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ressbasssd Unicode version

Theorem ressbasssd 12508
Description: The base set of a restriction is a subset of the base set of the original structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbasd.r  |-  ( ph  ->  R  =  ( Ws  A ) )
ressbasd.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  W ) )
ressbasd.w  |-  ( ph  ->  W  e.  X )
ressbasssd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
Assertion
Ref Expression
ressbasssd  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  C_  B )

Proof of Theorem ressbasssd
StepHypRef Expression
1 ressbasd.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  =  ( Ws  A ) )
2 ressbasd.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  W ) )
3 ressbasd.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  X )
4 ressbasssd.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
51, 2, 3, 4ressbasd 12506 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  ( Base `  R ) )
6 inss2 3356 . 2  |-  ( A  i^i  B )  C_  B
75, 6eqsstrrdi 3208 1  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  C_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353    e. wcel 2148    i^i cin 3128    C_ wss 3129   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   Basecbs 12442   ↾s cress 12443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1re 7893  ax-addrcl 7896
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-inn 8906  df-ndx 12445  df-slot 12446  df-base 12448  df-sets 12449  df-iress 12450
This theorem is referenced by:  subcmnd  12953
  Copyright terms: Public domain W3C validator