Theorem ressbasssd 13423

Description: The base set of a restriction is a subset of the base set of the original structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbasd.r	|- ( ph -> R = ( W ↾s A ) )
ressbasd.b	|- ( ph -> B = ( Base ` W ) )
ressbasd.w	|- ( ph -> W e. X )
ressbasssd.a	|- ( ph -> A e. V )

Assertion

Ref	Expression
ressbasssd	|- ( ph -> ( Base ` R ) C_ B )

Proof of Theorem ressbasssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbasd.r	. . 3 |- ( ph -> R = ( W ↾s A ) )
2		ressbasd.b	. . 3 |- ( ph -> B = ( Base ` W ) )
3		ressbasd.w	. . 3 |- ( ph -> W e. X )
4		ressbasssd.a	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
5	1, 2, 3, 4	ressbasd 13421	. 2 |- ( ph -> ( A i^i B ) = ( Base ` R ) )
6		inss2 3452	. 2 |- ( A i^i B ) C_ B
7	5, 6	eqsstrrdi 3301	1 |- ( ph -> ( Base ` R ) C_ B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   i^i cin 3219   C_ wss 3220   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13352   ↾_s cress 13353

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-inn 9305  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-iress 13360

This theorem is used by:  subcmnd  14137  lidlssbas  14814