Theorem ressbasid 13152

Description: The trivial structure restriction leaves the base set unchanged. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Apr-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressbasid.b	|- B = ( Base ` W )

Assertion

Ref	Expression
ressbasid	|- ( W e. V -> ( Base ` ( W ↾s B ) ) = B )

Proof of Theorem ressbasid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2232	. . 3 |- ( W e. V -> ( W ↾s B ) = ( W ↾s B ) )
2		ressbasid.b	. . . 4 |- B = ( Base ` W )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( W e. V -> B = ( Base ` W ) )
4		id 19	. . 3 |- ( W e. V -> W e. V )
5		basfn 13140	. . . . 5 |- Base Fn _V
6		elex 2814	. . . . 5 |- ( W e. V -> W e. _V )
7		funfvex 5656	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ W e. dom Base ) -> ( Base ` W ) e. _V )
8	7	funfni 5432	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ W e. _V ) -> ( Base ` W ) e. _V )
9	5, 6, 8	sylancr 414	. . . 4 |- ( W e. V -> ( Base ` W ) e. _V )
10	2, 9	eqeltrid 2318	. . 3 |- ( W e. V -> B e. _V )
11	1, 3, 4, 10	ressbasd 13149	. 2 |- ( W e. V -> ( B i^i B ) = ( Base ` ( W ↾s B ) ) )
12		inidm 3416	. 2 |- ( B i^i B ) = B
13	11, 12	eqtr3di 2279	1 |- ( W e. V -> ( Base ` ( W ↾s B ) ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   i^i cin 3199   Fn wfn 5321   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   ↾_s cress 13082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-inn 9143  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-iress 13089

This theorem is referenced by:  rlmscabas  14473