Theorem ressbasid 12688

Description: The trivial structure restriction leaves the base set unchanged. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Apr-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressbasid.b	|- B = ( Base ` W )

Assertion

Ref	Expression
ressbasid	|- ( W e. V -> ( Base ` ( W ↾s B ) ) = B )

Proof of Theorem ressbasid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2194	. . 3 |- ( W e. V -> ( W ↾s B ) = ( W ↾s B ) )
2		ressbasid.b	. . . 4 |- B = ( Base ` W )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( W e. V -> B = ( Base ` W ) )
4		id 19	. . 3 |- ( W e. V -> W e. V )
5		basfn 12676	. . . . 5 |- Base Fn _V
6		elex 2771	. . . . 5 |- ( W e. V -> W e. _V )
7		funfvex 5571	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ W e. dom Base ) -> ( Base ` W ) e. _V )
8	7	funfni 5354	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ W e. _V ) -> ( Base ` W ) e. _V )
9	5, 6, 8	sylancr 414	. . . 4 |- ( W e. V -> ( Base ` W ) e. _V )
10	2, 9	eqeltrid 2280	. . 3 |- ( W e. V -> B e. _V )
11	1, 3, 4, 10	ressbasd 12685	. 2 |- ( W e. V -> ( B i^i B ) = ( Base ` ( W ↾s B ) ) )
12		inidm 3368	. 2 |- ( B i^i B ) = B
13	11, 12	eqtr3di 2241	1 |- ( W e. V -> ( Base ` ( W ↾s B ) ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   i^i cin 3152   Fn wfn 5249   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   ↾_s cress 12619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-inn 8983  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626

This theorem is referenced by:  rlmscabas  13956