Theorem ressbas2d 13399

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbasd.r	|- ( ph -> R = ( W ↾s A ) )
ressbasd.b	|- ( ph -> B = ( Base ` W ) )
ressbasd.w	|- ( ph -> W e. X )
ressbas2d.ss	|- ( ph -> A C_ B )

Assertion

Ref	Expression
ressbas2d	|- ( ph -> A = ( Base ` R ) )

Proof of Theorem ressbas2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbas2d.ss	. . 3 |- ( ph -> A C_ B )
2		df-ss 3233	. . 3 |- ( A C_ B <-> ( A i^i B ) = A )
3	1, 2	sylib 122	. 2 |- ( ph -> ( A i^i B ) = A )
4		ressbasd.r	. . 3 |- ( ph -> R = ( W ↾s A ) )
5		ressbasd.b	. . 3 |- ( ph -> B = ( Base ` W ) )
6		ressbasd.w	. . 3 |- ( ph -> W e. X )
7		basfn 13389	. . . . . 6 |- Base Fn _V
8	6	elexd 2835	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. _V )
9		funfvex 5707	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ W e. dom Base ) -> ( Base ` W ) e. _V )
10	9	funfni 5478	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ W e. _V ) -> ( Base ` W ) e. _V )
11	7, 8, 10	sylancr 418	. . . . 5 |- ( ph -> ( Base ` W ) e. _V )
12	5, 11	eqeltrd 2315	. . . 4 |- ( ph -> B e. _V )
13	12, 1	ssexd 4268	. . 3 |- ( ph -> A e. _V )
14	4, 5, 6, 13	ressbasd 13398	. 2 |- ( ph -> ( A i^i B ) = ( Base ` R ) )
15	3, 14	eqtr3d 2273	1 |- ( ph -> A = ( Base ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   i^i cin 3219   C_ wss 3220   Fn wfn 5367   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   ↾_s cress 13331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-inn 9284  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-iress 13338

This theorem is referenced by:  gzsumress  13689  issubmnd  13732  ress0g  13733  submbas  13765  resmhm  13771  subgbas  13958  issubg2m  13969  resghm  14040  ablressid  14116  gsumressfi  14144  rngressid  14228  ringidss  14307  ringressid  14341  unitgrpbasd  14395  islss3  14688  lsslss  14690  lsslsp  14738  2idlbas  14824  zringbas  14903  expghmap  14914  mplbascoe  15005