Theorem ressbas2d 12746

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbasd.r	|- ( ph -> R = ( W ↾s A ) )
ressbasd.b	|- ( ph -> B = ( Base ` W ) )
ressbasd.w	|- ( ph -> W e. X )
ressbas2d.ss	|- ( ph -> A C_ B )

Assertion

Ref	Expression
ressbas2d	|- ( ph -> A = ( Base ` R ) )

Proof of Theorem ressbas2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbas2d.ss	. . 3 |- ( ph -> A C_ B )
2		df-ss 3170	. . 3 |- ( A C_ B <-> ( A i^i B ) = A )
3	1, 2	sylib 122	. 2 |- ( ph -> ( A i^i B ) = A )
4		ressbasd.r	. . 3 |- ( ph -> R = ( W ↾s A ) )
5		ressbasd.b	. . 3 |- ( ph -> B = ( Base ` W ) )
6		ressbasd.w	. . 3 |- ( ph -> W e. X )
7		basfn 12736	. . . . . 6 |- Base Fn _V
8	6	elexd 2776	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. _V )
9		funfvex 5575	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ W e. dom Base ) -> ( Base ` W ) e. _V )
10	9	funfni 5358	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ W e. _V ) -> ( Base ` W ) e. _V )
11	7, 8, 10	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> ( Base ` W ) e. _V )
12	5, 11	eqeltrd 2273	. . . 4 |- ( ph -> B e. _V )
13	12, 1	ssexd 4173	. . 3 |- ( ph -> A e. _V )
14	4, 5, 6, 13	ressbasd 12745	. 2 |- ( ph -> ( A i^i B ) = ( Base ` R ) )
15	3, 14	eqtr3d 2231	1 |- ( ph -> A = ( Base ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   i^i cin 3156   C_ wss 3157   Fn wfn 5253   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   ↾_s cress 12679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-inn 8991  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686

This theorem is referenced by:  gsumress  13038  issubmnd  13083  ress0g  13084  submbas  13113  resmhm  13119  subgbas  13308  issubg2m  13319  resghm  13390  ablressid  13465  rngressid  13510  ringidss  13585  ringressid  13619  unitgrpbasd  13671  islss3  13935  lsslss  13937  lsslsp  13985  2idlbas  14071  zringbas  14152  expghmap  14163