Theorem ressbas2d 12773

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbasd.r	|- ( ph -> R = ( W ↾s A ) )
ressbasd.b	|- ( ph -> B = ( Base ` W ) )
ressbasd.w	|- ( ph -> W e. X )
ressbas2d.ss	|- ( ph -> A C_ B )

Assertion

Ref	Expression
ressbas2d	|- ( ph -> A = ( Base ` R ) )

Proof of Theorem ressbas2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbas2d.ss	. . 3 |- ( ph -> A C_ B )
2		df-ss 3170	. . 3 |- ( A C_ B <-> ( A i^i B ) = A )
3	1, 2	sylib 122	. 2 |- ( ph -> ( A i^i B ) = A )
4		ressbasd.r	. . 3 |- ( ph -> R = ( W ↾s A ) )
5		ressbasd.b	. . 3 |- ( ph -> B = ( Base ` W ) )
6		ressbasd.w	. . 3 |- ( ph -> W e. X )
7		basfn 12763	. . . . . 6 |- Base Fn _V
8	6	elexd 2776	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. _V )
9		funfvex 5578	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ W e. dom Base ) -> ( Base ` W ) e. _V )
10	9	funfni 5361	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ W e. _V ) -> ( Base ` W ) e. _V )
11	7, 8, 10	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> ( Base ` W ) e. _V )
12	5, 11	eqeltrd 2273	. . . 4 |- ( ph -> B e. _V )
13	12, 1	ssexd 4174	. . 3 |- ( ph -> A e. _V )
14	4, 5, 6, 13	ressbasd 12772	. 2 |- ( ph -> ( A i^i B ) = ( Base ` R ) )
15	3, 14	eqtr3d 2231	1 |- ( ph -> A = ( Base ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   i^i cin 3156   C_ wss 3157   Fn wfn 5254   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12705   ↾_s cress 12706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1re 7992  ax-addrcl 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-inn 9010  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-sets 12712  df-iress 12713

This theorem is referenced by:  gsumress  13099  issubmnd  13146  ress0g  13147  submbas  13185  resmhm  13191  subgbas  13386  issubg2m  13397  resghm  13468  ablressid  13543  rngressid  13588  ringidss  13663  ringressid  13697  unitgrpbasd  13749  islss3  14013  lsslss  14015  lsslsp  14063  2idlbas  14149  zringbas  14230  expghmap  14241  mplbascoe  14325