Theorem ressbasssd 13173

Description: The base set of a restriction is a subset of the base set of the original structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbasd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴))
ressbasd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
ressbasd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
ressbasssd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ressbasssd	⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem ressbasssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbasd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴))
2		ressbasd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
3		ressbasd.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
4		ressbasssd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5	1, 2, 3, 4	ressbasd 13171	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
6		inss2 3428	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
7	5, 6	eqsstrrdi 3280	1 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ∩ cin 3199   ⊆ wss 3200  ‘cfv 5326  (class class class)co 6021  Basecbs 13103   ↾_s cress 13104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1re 8129  ax-addrcl 8132

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-inn 9147  df-ndx 13106  df-slot 13107  df-base 13109  df-sets 13110  df-iress 13111

This theorem is referenced by:  subcmnd  13941  lidlssbas  14513