Theorem ressbasssd 13406

Description: The base set of a restriction is a subset of the base set of the original structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbasd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴))
ressbasd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
ressbasd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
ressbasssd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ressbasssd	⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem ressbasssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbasd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴))
2		ressbasd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
3		ressbasd.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
4		ressbasssd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5	1, 2, 3, 4	ressbasd 13404	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
6		inss2 3452	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
7	5, 6	eqsstrrdi 3301	1 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Basecbs 13335   ↾_s cress 13336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-inn 9288  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-iress 13343

This theorem is referenced by:  subcmnd  14120  lidlssbas  14797