Theorem ressbasssd 12690

Description: The base set of a restriction is a subset of the base set of the original structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbasd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴))
ressbasd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
ressbasd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
ressbasssd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ressbasssd	⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem ressbasssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbasd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴))
2		ressbasd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
3		ressbasd.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
4		ressbasssd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5	1, 2, 3, 4	ressbasd 12688	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
6		inss2 3381	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
7	5, 6	eqsstrrdi 3233	1 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ∩ cin 3153   ⊆ wss 3154  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  Basecbs 12621   ↾_s cress 12622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-inn 8985  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-iress 12629

This theorem is referenced by:  subcmnd  13406  lidlssbas  13976