Theorem ressbasssd 13062

Description: The base set of a restriction is a subset of the base set of the original structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbasd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴))
ressbasd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
ressbasd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
ressbasssd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ressbasssd	⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem ressbasssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbasd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴))
2		ressbasd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
3		ressbasd.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
4		ressbasssd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5	1, 2, 3, 4	ressbasd 13060	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
6		inss2 3403	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
7	5, 6	eqsstrrdi 3255	1 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   ∩ cin 3174   ⊆ wss 3175  ‘cfv 5291  (class class class)co 5969  Basecbs 12993   ↾_s cress 12994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1re 8056  ax-addrcl 8059

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-nul 3470  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-id 4359  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fv 5299  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-inn 9074  df-ndx 12996  df-slot 12997  df-base 12999  df-sets 13000  df-iress 13001

This theorem is referenced by:  subcmnd  13830  lidlssbas  14400