Theorem subcmnd 13406

Description: A submonoid of a commutative monoid is also commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subcmnd.h	|- ( ph -> H = ( G ↾s S ) )
subcmnd.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
subcmnd.m	|- ( ph -> H e. Mnd )
subcmnd.s	|- ( ph -> S e. V )

Assertion

Ref	Expression
subcmnd	|- ( ph -> H e. CMnd )

Proof of Theorem subcmnd

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2194	. 2 |- ( ph -> ( Base ` H ) = ( Base ` H ) )
2		subcmnd.h	. . 3 |- ( ph -> H = ( G ↾s S ) )
3		eqidd 2194	. . 3 |- ( ph -> ( +g ` G ) = ( +g ` G ) )
4		subcmnd.s	. . 3 |- ( ph -> S e. V )
5		subcmnd.g	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
6	2, 3, 4, 5	ressplusgd 12749	. 2 |- ( ph -> ( +g ` G ) = ( +g ` H ) )
7		subcmnd.m	. 2 |- ( ph -> H e. Mnd )
8	5	3ad2ant1 1020	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` H ) /\ y e. ( Base ` H ) ) -> G e. CMnd )
9		eqidd 2194	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Base ` G ) = ( Base ` G ) )
10	2, 9, 5, 4	ressbasssd 12690	. . . . 5 |- ( ph -> ( Base ` H ) C_ ( Base ` G ) )
11	10	sselda 3180	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` H ) ) -> x e. ( Base ` G ) )
12	11	3adant3 1019	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` H ) /\ y e. ( Base ` H ) ) -> x e. ( Base ` G ) )
13	10	sselda 3180	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` H ) ) -> y e. ( Base ` G ) )
14	13	3adant2 1018	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` H ) /\ y e. ( Base ` H ) ) -> y e. ( Base ` G ) )
15		eqid 2193	. . . 4 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
16		eqid 2193	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
17	15, 16	cmncom 13375	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) )
18	8, 12, 14, 17	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` H ) /\ y e. ( Base ` H ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) )
19	1, 6, 7, 18	iscmnd 13371	1 |- ( ph -> H e. CMnd )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   ↾_s cress 12622   +g cplusg 12698   Mndcmnd 13000  CMndccmn 13357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-iress 12629  df-plusg 12711  df-cmn 13359

This theorem is referenced by:  unitabl  13616  subrgcrng  13724