Theorem subcmnd 13060

Description: A submonoid of a commutative monoid is also commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subcmnd.h	|- ( ph -> H = ( G ↾s S ) )
subcmnd.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
subcmnd.m	|- ( ph -> H e. Mnd )
subcmnd.s	|- ( ph -> S e. V )

Assertion

Ref	Expression
subcmnd	|- ( ph -> H e. CMnd )

Proof of Theorem subcmnd

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2178	. 2 |- ( ph -> ( Base ` H ) = ( Base ` H ) )
2		subcmnd.h	. . 3 |- ( ph -> H = ( G ↾s S ) )
3		eqidd 2178	. . 3 |- ( ph -> ( +g ` G ) = ( +g ` G ) )
4		subcmnd.s	. . 3 |- ( ph -> S e. V )
5		subcmnd.g	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
6	2, 3, 4, 5	ressplusgd 12579	. 2 |- ( ph -> ( +g ` G ) = ( +g ` H ) )
7		subcmnd.m	. 2 |- ( ph -> H e. Mnd )
8	5	3ad2ant1 1018	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` H ) /\ y e. ( Base ` H ) ) -> G e. CMnd )
9		eqidd 2178	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Base ` G ) = ( Base ` G ) )
10	2, 9, 5, 4	ressbasssd 12521	. . . . 5 |- ( ph -> ( Base ` H ) C_ ( Base ` G ) )
11	10	sselda 3155	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` H ) ) -> x e. ( Base ` G ) )
12	11	3adant3 1017	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` H ) /\ y e. ( Base ` H ) ) -> x e. ( Base ` G ) )
13	10	sselda 3155	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` H ) ) -> y e. ( Base ` G ) )
14	13	3adant2 1016	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` H ) /\ y e. ( Base ` H ) ) -> y e. ( Base ` G ) )
15		eqid 2177	. . . 4 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
16		eqid 2177	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
17	15, 16	cmncom 13036	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) )
18	8, 12, 14, 17	syl3anc 1238	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` H ) /\ y e. ( Base ` H ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) )
19	1, 6, 7, 18	iscmnd 13032	1 |- ( ph -> H e. CMnd )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5215  (class class class)co 5872   Basecbs 12454   ↾_s cress 12455   +g cplusg 12528   Mndcmnd 12749  CMndccmn 13019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltadd 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fv 5223  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-inn 8916  df-2 8974  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-iress 12462  df-plusg 12541  df-cmn 13021

This theorem is referenced by:  unitabl  13217  subrgcrng  13284