Theorem lidlssbas 13973

Description: The base set of the restriction of the ring to a (left) ideal is a subset of the base set of the ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlssbas.l	|- L = (LIdeal ` R )
lidlssbas.i	|- I = ( R ↾s U )

Assertion

Ref	Expression
lidlssbas	|- ( U e. L -> ( Base ` I ) C_ ( Base ` R ) )

Proof of Theorem lidlssbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlssbas.i	. . 3 |- I = ( R ↾s U )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( U e. L -> I = ( R ↾s U ) )
3		eqidd 2194	. 2 |- ( U e. L -> ( Base ` R ) = ( Base ` R ) )
4		lidlssbas.l	. . 3 |- L = (LIdeal ` R )
5	4	lidlmex 13971	. 2 |- ( U e. L -> R e. _V )
6		id 19	. 2 |- ( U e. L -> U e. L )
7	2, 3, 5, 6	ressbasssd 12687	1 |- ( U e. L -> ( Base ` I ) C_ ( Base ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   C_ wss 3153   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   ↾_s cress 12619  LIdealclidl 13963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-mulr 12709  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-ip 12713  df-lssm 13849  df-sra 13931  df-rgmod 13932  df-lidl 13965

This theorem is referenced by:  rnglidlmmgm  13992  rnglidlmsgrp  13993  rnglidlrng  13994