Theorem restsspw 12860

Description: The subspace topology is a collection of subsets of the restriction set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restsspw	⊢ (𝐽 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴

Proof of Theorem restsspw

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rest 12852	. . . . . . 7 ⊢ ↾t = (𝑗 ∈ V, 𝑥 ∈ V ↦ ran (𝑦 ∈ 𝑗 ↦ (𝑦 ∩ 𝑥)))
2	1	elmpocl 6113	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
3		elrest 12857	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
5	4	ibi 176	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴))
6		inss2 3380	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴
7		sseq1 3202	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑦 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴))
8	6, 7	mpbiri 168	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
9	8	rexlimivw 2607	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
10	5, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
11		velpw 3608	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)
12	10, 11	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
13	12	ssriv 3183	1 ⊢ (𝐽 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∃wrex 2473  Vcvv 2760   ∩ cin 3152   ⊆ wss 3153  𝒫 cpw 3601   ↦ cmpt 4090  ran crn 4660  (class class class)co 5918   ↾_t crest 12850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-rest 12852

This theorem is referenced by: (None)