ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  restsspw GIF version

Theorem restsspw 12863
Description: The subspace topology is a collection of subsets of the restriction set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
restsspw (𝐽t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴

Proof of Theorem restsspw
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rest 12855 . . . . . . 7 t = (𝑗 ∈ V, 𝑥 ∈ V ↦ ran (𝑦𝑗 ↦ (𝑦𝑥)))
21elmpocl 6115 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐽t 𝐴) → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
3 elrest 12860 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ ∃𝑦𝐽 𝑥 = (𝑦𝐴)))
42, 3syl 14 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐽t 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ ∃𝑦𝐽 𝑥 = (𝑦𝐴)))
54ibi 176 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐽t 𝐴) → ∃𝑦𝐽 𝑥 = (𝑦𝐴))
6 inss2 3381 . . . . . 6 (𝑦𝐴) ⊆ 𝐴
7 sseq1 3203 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦𝐴) → (𝑥𝐴 ↔ (𝑦𝐴) ⊆ 𝐴))
86, 7mpbiri 168 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦𝐴) → 𝑥𝐴)
98rexlimivw 2607 . . . 4 (∃𝑦𝐽 𝑥 = (𝑦𝐴) → 𝑥𝐴)
105, 9syl 14 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐽t 𝐴) → 𝑥𝐴)
11 velpw 3609 . . 3 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
1210, 11sylibr 134 . 2 (𝑥 ∈ (𝐽t 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
1312ssriv 3184 1 (𝐽t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2164  wrex 2473  Vcvv 2760  cin 3153  wss 3154  𝒫 cpw 3602  cmpt 4091  ran crn 4661  (class class class)co 5919  t crest 12853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-rest 12855
This theorem is referenced by:  dvidsslem  14872  dvconstss  14877
  Copyright terms: Public domain W3C validator