Theorem restsspw 13580

Description: The subspace topology is a collection of subsets of the restriction set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restsspw	⊢ (𝐽 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴

Proof of Theorem restsspw

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rest 13572	. . . . . . 7 ⊢ ↾t = (𝑗 ∈ V, 𝑥 ∈ V ↦ ran (𝑦 ∈ 𝑗 ↦ (𝑦 ∩ 𝑥)))
2	1	elmpocl 6274	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
3		elrest 13577	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
5	4	ibi 176	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴))
6		inss2 3452	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴
7		sseq1 3271	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑦 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴))
8	6, 7	mpbiri 168	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
9	8	rexlimivw 2664	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐽 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
10	5, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
11		velpw 3692	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)
12	10, 11	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
13	12	ssriv 3252	1 ⊢ (𝐽 ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  Vcvv 2821   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3685   ↦ cmpt 4187  ran crn 4770  (class class class)co 6075   ↾_t crest 13570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-rest 13572

This theorem is referenced by:  dvidsslem  15717  dvconstss  15722