Theorem elrest 12563

Description: The predicate "is an open set of a subspace topology". (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elrest	|- ( ( J e. V /\ B e. W ) -> ( A e. ( J ↾t B ) <-> E. x e. J A = ( x i^i B ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, J

Allowed substitution hints:   V( x)   W( x)

Proof of Theorem elrest

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restval 12562	. . 3 |- ( ( J e. V /\ B e. W ) -> ( J ↾t B ) = ran ( x e. J |-> ( x i^i B ) ) )
2	1	eleq2d 2236	. 2 |- ( ( J e. V /\ B e. W ) -> ( A e. ( J ↾t B ) <-> A e. ran ( x e. J |-> ( x i^i B ) ) ) )
3		eqid 2165	. . 3 |- ( x e. J |-> ( x i^i B ) ) = ( x e. J |-> ( x i^i B ) )
4		vex 2729	. . . 4 |- x e. _V
5	4	inex1 4116	. . 3 |- ( x i^i B ) e. _V
6	3, 5	elrnmpti 4857	. 2 |- ( A e. ran ( x e. J |-> ( x i^i B ) ) <-> E. x e. J A = ( x i^i B ) )
7	2, 6	bitrdi 195	1 |- ( ( J e. V /\ B e. W ) -> ( A e. ( J ↾t B ) <-> E. x e. J A = ( x i^i B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   E.wrex 2445   i^i cin 3115   |-> cmpt 4043   ran crn 4605  (class class class)co 5842   ↾_t crest 12556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-rest 12558

This theorem is referenced by:  elrestr  12564  restsspw  12566  restbasg  12808  restsn  12820  restopnb  12821  ssrest  12822  cnrest2  12876  cnptopresti  12878  cnptoprest  12879  cnptoprest2  12880  lmss  12886  txrest  12916  metrest  13146