Theorem elrest 12615

Description: The predicate "is an open set of a subspace topology". (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elrest	|- ( ( J e. V /\ B e. W ) -> ( A e. ( J ↾t B ) <-> E. x e. J A = ( x i^i B ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, J

Allowed substitution hints:   V( x)   W( x)

Proof of Theorem elrest

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restval 12614	. . 3 |- ( ( J e. V /\ B e. W ) -> ( J ↾t B ) = ran ( x e. J |-> ( x i^i B ) ) )
2	1	eleq2d 2245	. 2 |- ( ( J e. V /\ B e. W ) -> ( A e. ( J ↾t B ) <-> A e. ran ( x e. J |-> ( x i^i B ) ) ) )
3		eqid 2175	. . 3 |- ( x e. J |-> ( x i^i B ) ) = ( x e. J |-> ( x i^i B ) )
4		vex 2738	. . . 4 |- x e. _V
5	4	inex1 4132	. . 3 |- ( x i^i B ) e. _V
6	3, 5	elrnmpti 4873	. 2 |- ( A e. ran ( x e. J |-> ( x i^i B ) ) <-> E. x e. J A = ( x i^i B ) )
7	2, 6	bitrdi 196	1 |- ( ( J e. V /\ B e. W ) -> ( A e. ( J ↾t B ) <-> E. x e. J A = ( x i^i B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2146   E.wrex 2454   i^i cin 3126   |-> cmpt 4059   ran crn 4621  (class class class)co 5865   ↾_t crest 12608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-rest 12610

This theorem is referenced by:  elrestr  12616  restsspw  12618  restbasg  13219  restsn  13231  restopnb  13232  ssrest  13233  cnrest2  13287  cnptopresti  13289  cnptoprest  13290  cnptoprest2  13291  lmss  13297  txrest  13327  metrest  13557