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Theorem ringdilem 13333
Description: Properties of a unital ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringdilem.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
ringdilem.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
ringdilem.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
ringdilem  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .x.  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( X  .x.  Y )  .+  ( X  .x.  Z ) )  /\  ( ( X 
.+  Y )  .x.  Z )  =  ( ( X  .x.  Z
)  .+  ( Y  .x.  Z ) ) ) )

Proof of Theorem ringdilem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ringdilem.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 eqid 2189 . . . . . . . . . 10  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
3 ringdilem.p . . . . . . . . . 10  |-  .+  =  ( +g  `  R )
4 ringdilem.t . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  ( .r `  R )
51, 2, 3, 4isring 13321 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  <->  ( R  e. 
Grp  /\  (mulGrp `  R
)  e.  Mnd  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .x.  (
y  .+  z )
)  =  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
65simp3bi 1016 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) )
76adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) )
8 simpr1 1005 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  x  e.  B )
9 rsp 2537 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .x.  (
y  .+  z )
)  =  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  ->  ( x  e.  B  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
107, 8, 9sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) )
11 simpr2 1006 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  y  e.  B )
12 rsp 2537 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .x.  (
y  .+  z )
)  =  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  ->  ( y  e.  B  ->  A. z  e.  B  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
1310, 11, 12sylc 62 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  A. z  e.  B  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) )
14 simpr3 1007 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  z  e.  B )
15 rsp 2537 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  B  (
( x  .x.  (
y  .+  z )
)  =  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  ->  ( z  e.  B  ->  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
1613, 14, 15sylc 62 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) )
1716simpld 112 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) ) )
1817caovdig 6066 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( X  .x.  ( Y  .+  Z
) )  =  ( ( X  .x.  Y
)  .+  ( X  .x.  Z ) ) )
1916simprd 114 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) )
2019caovdirg 6069 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .+  Y )  .x.  Z )  =  ( ( X  .x.  Z
)  .+  ( Y  .x.  Z ) ) )
2118, 20jca 306 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .x.  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( X  .x.  Y )  .+  ( X  .x.  Z ) )  /\  ( ( X 
.+  Y )  .x.  Z )  =  ( ( X  .x.  Z
)  .+  ( Y  .x.  Z ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   A.wral 2468   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   Basecbs 12486   +g cplusg 12561   .rcmulr 12562   Mndcmnd 12849   Grpcgrp 12917  mulGrpcmgp 13241   Ringcrg 13317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1re 7924  ax-addrcl 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-fv 5239  df-ov 5894  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-ndx 12489  df-slot 12490  df-base 12492  df-plusg 12574  df-mulr 12575  df-ring 13319
This theorem is referenced by:  ringdi  13339  ringdir  13340
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