Theorem ringdir 13653

Description: Distributive law for the multiplication operation of a ring (right-distributivity). (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringdi.b	|- B = ( Base ` R )
ringdi.p	|- .+ = ( +g ` R )
ringdi.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringdir	|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .x. Z ) = ( ( X .x. Z ) .+ ( Y .x. Z ) ) )

Proof of Theorem ringdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringdi.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
2		ringdi.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` R )
3		ringdi.t	. . 3 |- .x. = ( .r ` R )
4	1, 2, 3	ringdilem 13646	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .x. ( Y .+ Z ) ) = ( ( X .x. Y ) .+ ( X .x. Z ) ) /\ ( ( X .+ Y ) .x. Z ) = ( ( X .x. Z ) .+ ( Y .x. Z ) ) ) )
5	4	simprd 114	1 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .x. Z ) = ( ( X .x. Z ) .+ ( Y .x. Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12705   +g cplusg 12782   .rcmulr 12783   Ringcrg 13630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1re 7992  ax-addrcl 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-plusg 12795  df-mulr 12796  df-ring 13632

This theorem is referenced by:  ringadd2  13661  ringo2times  13662  ringcom  13665  ringlz  13677  ringnegl  13685  ringsubdir  13691  mulgass2  13692  ringrghm  13696  ringressid  13697  imasring  13698  opprring  13713  dvrdir  13777  issubrg2  13875  sralmod  14084