Theorem mgpf 13974

Description: Restricted functionality of the multiplicative group on rings. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mgpf	|- (mulGrp |` Ring ) : Ring --> Mnd

Proof of Theorem mgpf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmgp 13885	. . 3 |- mulGrp Fn _V
2		ssv 3246	. . 3 |- Ring C_ _V
3		fnssres 5436	. . 3 |- ( (mulGrp Fn _V /\ Ring C_ _V ) -> (mulGrp |` Ring ) Fn Ring )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. 2 |- (mulGrp |` Ring ) Fn Ring
5		fvres 5651	. . . 4 |- ( a e. Ring -> ( (mulGrp |` Ring ) ` a ) = (mulGrp ` a ) )
6		eqid 2229	. . . . 5 |- (mulGrp ` a ) = (mulGrp ` a )
7	6	ringmgp 13965	. . . 4 |- ( a e. Ring -> (mulGrp ` a ) e. Mnd )
8	5, 7	eqeltrd 2306	. . 3 |- ( a e. Ring -> ( (mulGrp |` Ring ) ` a ) e. Mnd )
9	8	rgen 2583	. 2 |- A. a e. Ring ( (mulGrp |` Ring ) ` a ) e. Mnd
10		ffnfv 5793	. 2 |- ( (mulGrp |` Ring ) : Ring --> Mnd <-> ( (mulGrp |` Ring ) Fn Ring /\ A. a e. Ring ( (mulGrp |` Ring ) ` a ) e. Mnd ) )
11	4, 9, 10	mpbir2an 948	1 |- (mulGrp |` Ring ) : Ring --> Mnd

Syntax hints:   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   |` cres 4721   Fn wfn 5313   -->wf 5314   ` cfv 5318   Mndcmnd 13449  mulGrpcmgp 13883   Ringcrg 13959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1re 8093  ax-addrcl 8096

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-sets 13039  df-plusg 13123  df-mulr 13124  df-mgp 13884  df-ring 13961

This theorem is referenced by: (None)