Theorem mgpf 13567

Description: Restricted functionality of the multiplicative group on rings. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mgpf	|- (mulGrp |` Ring ) : Ring --> Mnd

Proof of Theorem mgpf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmgp 13478	. . 3 |- mulGrp Fn _V
2		ssv 3205	. . 3 |- Ring C_ _V
3		fnssres 5371	. . 3 |- ( (mulGrp Fn _V /\ Ring C_ _V ) -> (mulGrp |` Ring ) Fn Ring )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. 2 |- (mulGrp |` Ring ) Fn Ring
5		fvres 5582	. . . 4 |- ( a e. Ring -> ( (mulGrp |` Ring ) ` a ) = (mulGrp ` a ) )
6		eqid 2196	. . . . 5 |- (mulGrp ` a ) = (mulGrp ` a )
7	6	ringmgp 13558	. . . 4 |- ( a e. Ring -> (mulGrp ` a ) e. Mnd )
8	5, 7	eqeltrd 2273	. . 3 |- ( a e. Ring -> ( (mulGrp |` Ring ) ` a ) e. Mnd )
9	8	rgen 2550	. 2 |- A. a e. Ring ( (mulGrp |` Ring ) ` a ) e. Mnd
10		ffnfv 5720	. 2 |- ( (mulGrp |` Ring ) : Ring --> Mnd <-> ( (mulGrp |` Ring ) Fn Ring /\ A. a e. Ring ( (mulGrp |` Ring ) ` a ) e. Mnd ) )
11	4, 9, 10	mpbir2an 944	1 |- (mulGrp |` Ring ) : Ring --> Mnd

Syntax hints:   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   |` cres 4665   Fn wfn 5253   -->wf 5254   ` cfv 5258   Mndcmnd 13057  mulGrpcmgp 13476   Ringcrg 13552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-mgp 13477  df-ring 13554

This theorem is referenced by: (None)