Theorem mgpf 13194

Description: Restricted functionality of the multiplicative group on rings. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mgpf	|- (mulGrp |` Ring ) : Ring --> Mnd

Proof of Theorem mgpf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmgp 13132	. . 3 |- mulGrp Fn _V
2		ssv 3178	. . 3 |- Ring C_ _V
3		fnssres 5330	. . 3 |- ( (mulGrp Fn _V /\ Ring C_ _V ) -> (mulGrp |` Ring ) Fn Ring )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. 2 |- (mulGrp |` Ring ) Fn Ring
5		fvres 5540	. . . 4 |- ( a e. Ring -> ( (mulGrp |` Ring ) ` a ) = (mulGrp ` a ) )
6		eqid 2177	. . . . 5 |- (mulGrp ` a ) = (mulGrp ` a )
7	6	ringmgp 13185	. . . 4 |- ( a e. Ring -> (mulGrp ` a ) e. Mnd )
8	5, 7	eqeltrd 2254	. . 3 |- ( a e. Ring -> ( (mulGrp |` Ring ) ` a ) e. Mnd )
9	8	rgen 2530	. 2 |- A. a e. Ring ( (mulGrp |` Ring ) ` a ) e. Mnd
10		ffnfv 5675	. 2 |- ( (mulGrp |` Ring ) : Ring --> Mnd <-> ( (mulGrp |` Ring ) Fn Ring /\ A. a e. Ring ( (mulGrp |` Ring ) ` a ) e. Mnd ) )
11	4, 9, 10	mpbir2an 942	1 |- (mulGrp |` Ring ) : Ring --> Mnd

Syntax hints:   e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2738   C_ wss 3130   |` cres 4629   Fn wfn 5212   -->wf 5213   ` cfv 5217   Mndcmnd 12817  mulGrpcmgp 13130   Ringcrg 13179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1re 7905  ax-addrcl 7908

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-sets 12469  df-plusg 12549  df-mulr 12550  df-mgp 13131  df-ring 13181

This theorem is referenced by: (None)