Theorem mgpf 12987

Description: Restricted functionality of the multiplicative group on rings. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mgpf	|- (mulGrp |` Ring ) : Ring --> Mnd

Proof of Theorem mgpf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmgp 12927	. . 3 |- mulGrp Fn _V
2		ssv 3175	. . 3 |- Ring C_ _V
3		fnssres 5321	. . 3 |- ( (mulGrp Fn _V /\ Ring C_ _V ) -> (mulGrp |` Ring ) Fn Ring )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. 2 |- (mulGrp |` Ring ) Fn Ring
5		fvres 5531	. . . 4 |- ( a e. Ring -> ( (mulGrp |` Ring ) ` a ) = (mulGrp ` a ) )
6		eqid 2175	. . . . 5 |- (mulGrp ` a ) = (mulGrp ` a )
7	6	ringmgp 12978	. . . 4 |- ( a e. Ring -> (mulGrp ` a ) e. Mnd )
8	5, 7	eqeltrd 2252	. . 3 |- ( a e. Ring -> ( (mulGrp |` Ring ) ` a ) e. Mnd )
9	8	rgen 2528	. 2 |- A. a e. Ring ( (mulGrp |` Ring ) ` a ) e. Mnd
10		ffnfv 5666	. 2 |- ( (mulGrp |` Ring ) : Ring --> Mnd <-> ( (mulGrp |` Ring ) Fn Ring /\ A. a e. Ring ( (mulGrp |` Ring ) ` a ) e. Mnd ) )
11	4, 9, 10	mpbir2an 942	1 |- (mulGrp |` Ring ) : Ring --> Mnd

Syntax hints:   e. wcel 2146   A.wral 2453   _Vcvv 2735   C_ wss 3127   |` cres 4622   Fn wfn 5203   -->wf 5204   ` cfv 5208   Mndcmnd 12681  mulGrpcmgp 12925   Ringcrg 12972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1re 7880  ax-addrcl 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-ndx 12430  df-slot 12431  df-base 12433  df-sets 12434  df-plusg 12504  df-mulr 12505  df-mgp 12926  df-ring 12974

This theorem is referenced by: (None)