Theorem ringcl 13976

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	|- B = ( Base ` R )
ringcl.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringcl	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )

Proof of Theorem ringcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . . 5 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
2	1	ringmgp 13965	. . . 4 |- ( R e. Ring -> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
3	2	3ad2ant1 1042	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
4		simp2 1022	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
5		ringcl.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
6	1, 5	mgpbasg 13889	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> B = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
7	6	eleq2d 2299	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( X e. B <-> X e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) )
8	7	3ad2ant1 1042	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X e. B <-> X e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) )
9	4, 8	mpbid 147	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
10		simp3 1023	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
11	6	eleq2d 2299	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( Y e. B <-> Y e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) )
12	11	3ad2ant1 1042	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y e. B <-> Y e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) )
13	10, 12	mpbid 147	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
14		eqid 2229	. . . 4 |- ( Base ` (mulGrp ` R ) ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
15		eqid 2229	. . . 4 |- ( +g ` (mulGrp ` R ) ) = ( +g ` (mulGrp ` R ) )
16	14, 15	mndcl 13456	. . 3 |- ( ( (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ X e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) /\ Y e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) -> ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
17	3, 9, 13, 16	syl3anc 1271	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
18		ringcl.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .r ` R )
19	1, 18	mgpplusgg 13887	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> .x. = ( +g ` (mulGrp ` R ) ) )
20	19	oveqd 6018	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( X .x. Y ) = ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) )
21	20, 6	eleq12d 2300	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ( X .x. Y ) e. B <-> ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) )
22	21	3ad2ant1 1042	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .x. Y ) e. B <-> ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) )
23	17, 22	mpbird 167	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Basecbs 13032   +g cplusg 13110   .rcmulr 13111   Mndcmnd 13449  mulGrpcmgp 13883   Ringcrg 13959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-sets 13039  df-plusg 13123  df-mulr 13124  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450  df-mgp 13884  df-ring 13961

This theorem is referenced by:  ringlz  14006  ringrz  14007  ringnegl  14014  ringnegr  14015  ringmneg1  14016  ringmneg2  14017  ringm2neg  14018  ringsubdi  14019  ringsubdir  14020  mulgass2  14021  ringlghm  14024  ringrghm  14025  ringressid  14026  imasring  14027  qusring2  14029  opprring  14042  dvdsrcl2  14063  dvdsrtr  14065  dvdsrmul1  14066  dvrvald  14098  dvrcl  14099  dvrass  14103  rdivmuldivd  14108  subrgmcl  14197  lmodmcl  14264  lmodprop2d  14312  rmodislmodlem  14314  sralmod  14414  qusrhm  14492  qusmul2  14493