Theorem ringcl 14424

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	|- B = ( Base ` R )
ringcl.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringcl	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )

Proof of Theorem ringcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . . 5 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
2	1	ringmgp 14413	. . . 4 |- ( R e. Ring -> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
3	2	3ad2ant1 1049	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
4		simp2 1029	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
5		ringcl.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
6	1, 5	mgpbasg 14331	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> B = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
7	6	eleq2d 2308	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( X e. B <-> X e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) )
8	7	3ad2ant1 1049	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X e. B <-> X e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) )
9	4, 8	mpbid 147	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
10		simp3 1030	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
11	6	eleq2d 2308	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( Y e. B <-> Y e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) )
12	11	3ad2ant1 1049	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y e. B <-> Y e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) )
13	10, 12	mpbid 147	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
14		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` (mulGrp ` R ) ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
15		eqid 2238	. . . 4 |- ( +g ` (mulGrp ` R ) ) = ( +g ` (mulGrp ` R ) )
16	14, 15	mndcl 13795	. . 3 |- ( ( (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ X e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) /\ Y e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) -> ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
17	3, 9, 13, 16	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
18		ringcl.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .r ` R )
19	1, 18	mgpplusgg 14328	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> .x. = ( +g ` (mulGrp ` R ) ) )
20	19	oveqd 6105	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( X .x. Y ) = ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) )
21	20, 6	eleq12d 2309	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ( X .x. Y ) e. B <-> ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) )
22	21	3ad2ant1 1049	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .x. Y ) e. B <-> ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) )
23	17, 22	mpbird 167	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13410   +g cplusg 13490   .rcmulr 13491   Mndcmnd 13788  mulGrpcmgp 14324   Ringcrg 14407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-mgp 14325  df-ring 14409

This theorem is used by:  ringcld  14429  ringlz  14455  ringrz  14456  ringnegl  14463  ringnegr  14464  ringmneg1  14465  ringmneg2  14466  ringm2neg  14467  ringsubdi  14468  ringsubdir  14469  mulgass2  14470  ringlghm  14473  ringrghm  14474  ringressid  14477  imasring  14478  qusring2  14480  opprring  14493  dvdsrcl2  14515  dvdsrtr  14517  dvdsrmul1  14518  dvrvald  14550  dvrcl  14551  dvrass  14555  rdivmuldivd  14560  subrgmcl  14650  rrgsupp  14683  lmodmcl  14745  lmodprop2d  14794  rmodislmodlem  14796  sralmod  14896  qusrhm  14974  qusmul2  14975  ascldimul  15140