Theorem ringcl 13890

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	|- B = ( Base ` R )
ringcl.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringcl	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )

Proof of Theorem ringcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2207	. . . . 5 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
2	1	ringmgp 13879	. . . 4 |- ( R e. Ring -> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
3	2	3ad2ant1 1021	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
4		simp2 1001	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
5		ringcl.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
6	1, 5	mgpbasg 13803	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> B = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
7	6	eleq2d 2277	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( X e. B <-> X e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) )
8	7	3ad2ant1 1021	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X e. B <-> X e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) )
9	4, 8	mpbid 147	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
10		simp3 1002	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
11	6	eleq2d 2277	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( Y e. B <-> Y e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) )
12	11	3ad2ant1 1021	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y e. B <-> Y e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) )
13	10, 12	mpbid 147	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
14		eqid 2207	. . . 4 |- ( Base ` (mulGrp ` R ) ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
15		eqid 2207	. . . 4 |- ( +g ` (mulGrp ` R ) ) = ( +g ` (mulGrp ` R ) )
16	14, 15	mndcl 13370	. . 3 |- ( ( (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ X e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) /\ Y e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) -> ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
17	3, 9, 13, 16	syl3anc 1250	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
18		ringcl.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .r ` R )
19	1, 18	mgpplusgg 13801	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> .x. = ( +g ` (mulGrp ` R ) ) )
20	19	oveqd 5984	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( X .x. Y ) = ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) )
21	20, 6	eleq12d 2278	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ( X .x. Y ) e. B <-> ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) )
22	21	3ad2ant1 1021	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .x. Y ) e. B <-> ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) )
23	17, 22	mpbird 167	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Basecbs 12947   +g cplusg 13024   .rcmulr 13025   Mndcmnd 13363  mulGrpcmgp 13797   Ringcrg 13873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-mgp 13798  df-ring 13875

This theorem is referenced by:  ringlz  13920  ringrz  13921  ringnegl  13928  ringnegr  13929  ringmneg1  13930  ringmneg2  13931  ringm2neg  13932  ringsubdi  13933  ringsubdir  13934  mulgass2  13935  ringlghm  13938  ringrghm  13939  ringressid  13940  imasring  13941  qusring2  13943  opprring  13956  dvdsrcl2  13976  dvdsrtr  13978  dvdsrmul1  13979  dvrvald  14011  dvrcl  14012  dvrass  14016  rdivmuldivd  14021  subrgmcl  14110  lmodmcl  14177  lmodprop2d  14225  rmodislmodlem  14227  sralmod  14327  qusrhm  14405  qusmul2  14406