Theorem ringcl 14317

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	|- B = ( Base ` R )
ringcl.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringcl	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )

Proof of Theorem ringcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . . 5 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
2	1	ringmgp 14306	. . . 4 |- ( R e. Ring -> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
3	2	3ad2ant1 1049	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
4		simp2 1029	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
5		ringcl.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
6	1, 5	mgpbasg 14224	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> B = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
7	6	eleq2d 2308	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( X e. B <-> X e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) )
8	7	3ad2ant1 1049	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X e. B <-> X e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) )
9	4, 8	mpbid 147	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
10		simp3 1030	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
11	6	eleq2d 2308	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( Y e. B <-> Y e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) )
12	11	3ad2ant1 1049	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y e. B <-> Y e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) )
13	10, 12	mpbid 147	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
14		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` (mulGrp ` R ) ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
15		eqid 2238	. . . 4 |- ( +g ` (mulGrp ` R ) ) = ( +g ` (mulGrp ` R ) )
16	14, 15	mndcl 13736	. . 3 |- ( ( (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ X e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) /\ Y e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) -> ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
17	3, 9, 13, 16	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
18		ringcl.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .r ` R )
19	1, 18	mgpplusgg 14221	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> .x. = ( +g ` (mulGrp ` R ) ) )
20	19	oveqd 6102	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( X .x. Y ) = ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) )
21	20, 6	eleq12d 2309	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ( X .x. Y ) e. B <-> ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) )
22	21	3ad2ant1 1049	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .x. Y ) e. B <-> ( X ( +g ` (mulGrp ` R ) ) Y ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) ) )
23	17, 22	mpbird 167	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13352   +g cplusg 13431   .rcmulr 13432   Mndcmnd 13729  mulGrpcmgp 14217   Ringcrg 14300

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-mgp 14218  df-ring 14302

This theorem is used by:  ringcld  14322  ringlz  14348  ringrz  14349  ringnegl  14356  ringnegr  14357  ringmneg1  14358  ringmneg2  14359  ringm2neg  14360  ringsubdi  14361  ringsubdir  14362  mulgass2  14363  ringlghm  14366  ringrghm  14367  ringressid  14368  imasring  14369  qusring2  14371  opprring  14384  dvdsrcl2  14406  dvdsrtr  14408  dvdsrmul1  14409  dvrvald  14441  dvrcl  14442  dvrass  14446  rdivmuldivd  14451  subrgmcl  14541  rrgsupp  14574  lmodmcl  14636  lmodprop2d  14685  rmodislmodlem  14687  sralmod  14787  qusrhm  14865  qusmul2  14866  ascldimul  15031